Théorème ou conjecture

Générateur de nombres premiers

Il est impossible de ne générer que des nombres premiers au moyen d’un polynôme.
Mais il existe parfois des algorithmes qui donnent un coup de pouce.

Depuis longtemps, je m’intéresse à la découverte des nombres premiers, et j’ai mis au point le 9 janvier 2018 un algorithme intéressant.

  • Soient a, b, c, d, e des nombres premiers supérieurs à 2, donc tous impairs.
  • Alors lorsque ces nombres premiers sont inférieurs à 100, je trouve un nombre ((a*b*c)² – (d*e)²) – 1 qui a une probabilité 7 fois supérieure d’être un nombre premier par rapport à la proportion naturelle 1 / ln (((a*b*c)² – (d*e)²) – 1).
  • Je n’ai pas encore testé pour de plus grands nombres générés.

 

Exemple, je pose :

  • b = 67
  • c = 97
  • d = 13
  • e = 61
  • a = entre 3 inclus et 97 inclus, soit 25 nombres premiers à tester l’un après l’autre.

 

Sur 25 nombres générés par ce calcul, j’obtiens 7 assez grands nombres qui sont premiers !

  • ((7*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 2 068 984 199 est premier
  • ((17*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 12 205 864 439 est premier
  • ((19*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 15 246 928 511 est premier
  • ((23*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 22 342 744 679 est premier
  • ((31*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 40 589 129 111 est premier
  • ((47*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 93 300 906 359 est premier
  • ((89*67*97)² – (13*61)²) – 1 = 334 558 656 071 est premier

Normalement j’aurais dû avoir environ 4% de chance de tomber par hasard sur un nombre premier de 11 chiffres, mais là ça arrive à 28% avec le générateur. Bizarre, non ? Il faudrait explorer ça en profondeur.

Idées inspirées de la loi de Pareto

Le principe de Pareto, aussi appelé loi de Pareto, principe des 80-20 ou encore loi des 80-20, est un phénomène empirique constaté dans certains domaines : environ 80 % des effets sont le produit de 20 % des causes. Il a été appliqué à des domaines comme le contrôle qualité. On considère souvent que les phénomènes pour lesquels ce principe est vérifié suivent une forme particulière de distribution de Pareto.

  • 20% des causes ont 80% d’effets.
  • 0% des causes ont 0% d’effets.
  • 100% des causes ont 100% d’effets.

Équation des effets en fonction des causes :    y = 1 – e^(-8,04719*x)    (le principe de Pareto a peut-être une formule un peu différente, mais la mienne s’en approche sensiblement).

Mon équation est une solution de l’équation différentielle :   x(y – 1) = -y’

En essayant avec les équations habituelles de Pareto, je trouve que 1-(1/(1+0.086))^8.42747 donne la même courbe que y=1 – e^(-8,04719*x). Cela colle.

Qu’est-ce qu’on pourrait avancer avec ces pourcentages ?

    • En théorie, selon moi, construire optimalement les éoliennes dans 20% des endroits les plus venteux permettrait réaliser 80% du rendement total prévu. Les éoliennes, il ne faut pas en mettre partout, mais seulement là où c’est le plus nécessaire, c’est une affaire de bon sens et de calcul. Même raisonnement et mêmes proportions pour les panneaux solaires et le taux d’ensoleillement.
    • En théorie, selon moi, 8,6% des gens les plus intelligents (donc un QI d’au mois 120 sur l’échelle de Wechsler) parmi la population produisent 50% de la totalité des trucs intellectuels les plus utiles. Idée plus générale : si on recrute parmi 8,6% de la population les gens les plus compétents, on peut alors réduire de façon optimale les effectifs. Idée intéressante, qui reste à vérifier. En effet, si 100 employés (quelque soit leurs compétences) réalisent 100% du travail, alors seulement 9 personnes les plus compétentes suffisent pour réaliser 50% du travail. On voit l’intérêt de l’optimisation.
    • Empiriquement : 80 % des ventes dans un commerce sont réalisées grâce à 20% des meilleurs clients. Et aussi : 20 % des produits représentent 80 % du chiffre d’affaires.
    • Empiriquement : 80% des réclamations sont formulées par 20% des clients. Donc aussi : 50% des réclamations proviennent de 8,6% des clients.
    • Empiriquement : 80% d’accomplissement d’une mise au point nécessite 20% de l’effort (c’est notamment le cas dans une entreprise de développement de logiciels ou de jeux vidéo). Et aussi : 50% d’accomplissement avec 8,6% de l’effort.
    • Empiriquement : 20 % du trafic provient des mots clés principaux de la tête de la longue traîne. 80 % des mots clés secondaires de la queue de la longue traîne.
    • En théorie, 80% des contributions sur Wikipedia seraient réalisées par 20% des contributeurs. Mais selon la règle du 1%, sur Internet : moins de 1% de la population contribue de façon active, 9% participe occasionnellement et 90% sont des consommateurs passifs qui ne contribuent jamais. L’hypothèse de la répartition 90-9-1 aboutit à l’option soit d’intégrer la minorité émergente au pouvoir, soit de faire dégénérer la société.
    • Empirique : 20% des bugs informatiques sont responsables de 80% des plantages de logiciels.
    • Empirique : 20% des articles en stock représentent 80% du coût de stockage.
    • Empirique : 20% des lecteurs lisent 80% des livres vendus.
    • Empirique : 20% des citoyens imposables génèrent 80% de la trésorerie publique.
    • Empirique : 20% des mots de votre vocabulaire suffisent à vous exprimez dans 80% des cas.
    • En théorie, selon moi : 20% des pays de la planète engendre 80% de la pollution mondiale.
    • En théorie, selon moi : 20% des entreprises les mieux sécurisées en informatique dans le monde sont préservées de la menace de 80% des virus et cyber-attaques.
    • En théorie, selon moi : 80% des meilleurs scores dans un jeu vidéo sont réalisés par 20% des meilleurs joueurs.
    • En creusant d’autres exemples, on peut en trouver.

 

Pour conclure : si on résout 20% de nos problèmes principaux, on résout 80% de tous les problèmes. Et résoudre 8,6% des problèmes principaux, c’est résoudre la moitié des problèmes. On voit ici que les maths sont utiles pour mieux s’organiser et mieux décider. Il faut se concentrer sur un petit nombre de faits qui engendre le maximum de conséquences.

 

 

 

 

© 2017-2018 John Philip C. Manson

par

Numb3rs et les mathématiques

Je ne connaissais pas la série TV « Numb3rs »… jusqu’à samedi dernier.

En 2005, j’avais entendu parler de cette série américaine, mais je n’avais jamais eu l’occasion de la regarder. J’ai visionné par curiosité le premier épisode (le pilote) sur le web.

J’avais d’abord des aprioris sur la crédibilité de la série en ce qui concerne les maths. Mais il fallait regarder pour vraiment évaluer. Je m’attendais à trouver des élucubrations proches du mysticisme de la numérologie, mais l’hypothèse formulée par l’acteur qui interprète le rôle d’un brillant mathématicien m’a paru crédible et intéressante.

En effet, des crimes sont commis (au hasard, semble t-il) dans une grande ville (Los Angeles je crois), et un agent du FBI veut arrêter l’odieux criminel. Le frère de l’agent fédéral est un matheux, et celui-ci énonce une hypothèse basée sur un arroseur automatique dans un jardin : on ne sait pas quand ni où les gouttes d’eau vont tomber, mais on peut déterminer approximativement au moyen des statistiques et des probabilités la position de l’arroseur. Et on transpose cette analogie à l’action du criminel, que l’on pourrait approximativement localiser géographiquement à partir des divers lieux des crimes.

Hélas, je n’ai pas pu lire l’équation du mathématicien de la série Numb3rs. Mais à partir de zéro, j’ai développé moi-même des calculs, je me suis basé sur la densité de probabilité imprimée sur la carte de la ville qui était examinée avec soin par les agent du FBI, dans l’épisode. Mais mon équation est certainement différente de celle conçue par le matheux, je pense que le personnage s’est basé sur une distribution statistique normale centrée sur x=0 mais ce n’était pas lisible sur l’écran. Moi, je me suis basé sur une équation différentielle : le criminel n’agit pas trop près de son propre domicile sinon il se ferait choper, et le criminel n’agit pas trop loin non plus de son domicile, alors le criminel agit dans des lieux selon une distance de confort, une distance optimale. Dans mon équation différentielle, la somme de la fonction et de sa dérivée est proportionnelle à une décroissance exponentielle qui dépend de la distance de domiciliation du criminel.

Si les données apparentes de l’hypothèse du matheux, dans l’épisode de la série Numb3rs, sont fiables, alors la probabilité du lieu de domiciliation du criminel (ce que j’appelle épicentre, sur un plan de coordonnées (0;0) est égale à 1/e = 0,36788, tandis que la majorité des crimes se produisent à environ 2 km de cet épicentre, crimes dont la probabilité de domiciliation du tueur vaut 1/(2e) = 0,18394.

Mon équation probabiliste, par rapport à (0;0) étant le point sur le plan, auquel la probabilité de domiciliation du criminel est maximale, est la suivante :

  • P(x) = -(kx – 1) * e^(-kx – 1)
  • Dans le contexte de l’épisode pilote de Numb3rs :  k = 0,157461.
  • Ce qui donne :  P(x) = -(0,157461x – 1)*e^(-0,157461x – 1). Où P(2)/P(0) = 1/2. Avec x exprimé en kilomètres.
  • Par conséquent, le lieu d’un crime existe significativement (statistiquement) si sa probabilité est d’au moins 5%, c’est-à-dire dans un rayon d’action maximum de 4,58 km par rapport à l’épicentre.

 

 

Les mathématiques sont souvent très utiles, et on ne le montre pas assez.

—

John Philip C. Manson

 

par

Des prodiges ont-il découvert un théorème qui rend les ordinateurs plus performants ?

Je cite :

« Ivan Zelich et Xuming Liang viennent tout juste de révolutionner la science.

Ivan Zelich a commencé à parler à l’âge de 2 mois. À 14 ans, ce jeune surdoué australien s’est vu proposer une place à l’université, mais il a refusé, préférant suivre une scolarité normale pour ne pas être déconnecté de la réalité des jeunes de son âge. Il n’empêche que pour tuer le temps pendant ces années trop simples pour lui, Ivan Zelich a travaillé sur des théorèmes mathématiques. En collaboration avec Xuming Liang, un autre élève surdoué rencontré sur un forum de sciences, il vient de mettre au point un théorème possiblement révolutionnaire. »

Une révolution dans les sciences ? Cette accroche est très souvent suspecte car fréquemment sensationnaliste et peu objective.

Zelich aurait commencé à parler dès l’âge de 2 mois ? A un an environ oui d’accord, mais à 2 mois c’est physiologiquement et neurologiquement impossible… Pendant qu’on y est, le foetus récitait des poèmes de Virgile quand il était encore dans le ventre de sa mère ? Concrètement, s’il était possible de parler à 2 mois, avec environ 10 mois d’avance, cette précocité correspondrait à un QI de 600, ce qui est rigoureusement impossible parce que le QI humain ne dépasse jamais 195 environ. Il n’y a donc aucune crédibilité…

 

Je cite :

« Mieux comprendre la structure de l’univers

En toute simplicité, Zelich et Liang viennent d’ouvrir de nouveaux horizons pour tous les scientifiques de la planète. Parmi les nombreuses conséquences que pourrait avoir le travail de ces spécialistes en théorie des cordes, en algèbre et en géométrie, l’une des plus importantes concerne les voyages intergalactiques:

«La théorie des cordes prédit l’existence de raccourcis, ou trous de vers, entre deux régions distinctes de l’espace-temps. Le théorème pourra permettre de mieux comprendre la structure de l’univers.» »

En examinant minutieusement cette affaire, j’ai constaté que le travail de Zelich et Liang n’a absolument aucun rapport avec la théorie des cordes ni avec la théorie de la relativité.

Concrètement Zelich et Liang ont seulement présenté un théorème de géométrie euclidienne et de géométrie projective dont le niveau est inférieur à celui d’un doctorat. Il s’agit d’un théorème qui n’apporte rien de neuf à la science en terme de découverte. Rien de révolutionnaire. Un vacarme médiatique pour un sujet qui reste marginal, un sujet très mal expliqué par les journalistes qui improvisent à leur propre sauce, par une forte exagération journalistique, sans se rendre compte des conneries qu’ils racontent, et c’est d’autant plus incomprhéensible que l’auteur de l’article critiqué serait un prof de maths…

La moindre des choses dans le journalisme, en critère déontologique, est d’informer le public, notamment en désignant le journal dans lequel Zelich et Liang on publié mais ce journal n’est jamais cité par personne (Google Scholar : « International journal of geometry »). Voir ici :  http://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2015/10/1.pdf

A noter que l’espace-temps de la théorie de la relativité, basé sur une géométrie à 4 dimensions, non euclidienne, est quelque chose de différent (et plus compliqué) de la géométrie euclidienne. Même remarque concernant la théorie des cordes, liée à la physique quantique qui, elle aussi, est compliquée.

Et aussi, il n’y a aucun élément permettant de faire un lien entre le théorème de géométrie de Zelich/Liang et la performance des ordinateurs. C’est du foutage de gueule !

Le journalisme doit servir à informer, pas à embrumer l’esprit !

—

John Philip C. Manson

 

 

 

 

par

Calcul informatique – Théorie des nombres

  • Comme je cherche diverses façons de générer de grands nombres premiers, et vaguement inspiré par la conjecture de Syracuse d’après laquelle je reprends son problème à l’envers (avec des termes de plus en plus grands), j’ai mis au point un petit algorithme dont les résultats m’ont orienté vers une intéressante suite géométrique sur le web.

Voici mon algorithme :

  • Le premier terme est 3, c’est un nombre premier. C’est le plus petit nombre premier impair.
  • Je multiplie ce terme par 2 et j’ajoute 1.
  • Si le nouveau terme n’est pas premier, alors je reprends le premier terme puis je multiplie par 4 et j’ajoute 1.
  • Si toujours un résultat non premier, alors le premier terme est multiplié par 6 et j’ajoute 1… et ainsi de suite…
  • Mais si le nouveau terme est un nombre premier, il complète la suite et donc on affiche le résultat.
  • Le nouveau terme premier est ensuite rerouté vers la deuxième étape ci-dessus (donc on le teste en ×2 puis +1 et ainsi de suite).

Code source en langage Perl :

#!/usr/bin/perl

$n = 3;

for ($k = 0; $k <= 10000; $k++)
{
$t = ($n * 2 * $k) + 1;
$lim = $t – 1;
$prod = 2.0;

for ($div = 2; $div <= $lim; $div++)
{
$prod = $prod * ($t % $div);
}

if ($prod != 0)
{
$n = $t;
print « $n \n »;
$k = 0;
}

}

———————————————–

Voici le résultat :

3 7 29 59 709 2837 22697 453941 907883 21789193 130735159…

En recherchant une suite identique sur Google, j’ai eu une surprise :

http://oeis.org/A061092

Dans la suite trouvée sur le web, je trouve 7 termes identiques à la suite générée par mon algorithme : 3, 7, 29, 59, 709, 2837, 22697. Ce n’est pas un hasard. Cependant, les autres termes sont clairement différents.

D’après la page web, pour a(0) = 1, alors pour n > 0, nous avons a(n) = le plus petit nombre premier de la forme k×a(n – 1) + 1.

Intéressant.

Le grand mathématicien Cédric Villani pense que, dans la mathématique, il préexiste un ordre caché que nous devons découvrir. Je le pense aussi, particulièrement en ce qui concerne la génération algorithmique de nombres premiers, mais néanmoins il se peut aussi qu’il existe des ordres cachés qui restent indémontrables bien qu’ils soient vrais dans l’absolu. Les découvertes en maths sont des défis très difficiles, mais la ténacité des mathématiciens en vient à bout, ce n’est qu’une question de temps et de patience.

 

Remarque du 21 janvier 2013 :

En reprenant le code source Perl de mon programme, lorsque je remplace $t = ($n * 2 * $k) + 1; par $t = ($n * 2 * $k) – 1;, on obtient des entiers négatifs que l’on reconvertit par valeur absolue en entiers positifs. On obtient alors comme résultat une série de nombres entiers caractéristiques : ce sont des nombres de Mersenne de la forme 2N – 1 (aussi bien les nombres composés que les nombres premiers). 

 

© 2013 John Philip C. Manson

par

La conjecture de Marcel Pagnol sur les nombres premiers

Le 4 juin 2012 au soir, j’ai vu une page qui racontait que le célèbre et grand écrivain Marcel Pagnol avait découvert une formule qui génère des nombres premiers.

Voici ce que disait Pagnol lui-même : «Je crois avoir trouvé une formule qui permet de fabriquer des nombres premiers : c’est la petite équation suivante : x et x+2 sont deux impairs consécutifs, comme 5 et 7 ou 17 et 19, etc.
x+(x+2)+x(x+2) = premier; 5+7+5×7 = 47. C’est à dire que la somme de deux impairs consécutifs et de leur produit est un premier. Nous avons donc une formule qui nous permet de construire des nombres premiers, et un moyen très simple de confirmer l’exactitude de nos calculs. 15+17+15×17 = 287 premier.»
Source : Inédits, Marcel Pagnol, textes recueillis par Jacqueline et Frédéric Pagnol, Pastorelly 1992.   (d’après le site http://www.guichetdusavoir.org/viewtopic.php?t=19484)

Étant très intéressé par cette anecdote, j’ai voulu explorer la problématique de près.

Dans un autre site, il est raconté que la conjecture de Pagnol s’énonce ainsi : si n est un entier impair, alors n + (n+1) + n(n+1) est un nombre premier.

On peut simplifier ainsi : f(n) = n² + 3n + 1.

Alors, j’en déduis que n est de la forme 2x+1, avec x un entier positif ou nul. Ce qui donne la forme f(x) = 4x² + 10x + 5.

J’ai ensuite conçu un programme qui détermine la proportion de nombres premiers f(x) parmi tous les entiers f(x) testés.

Voici le résultat ci-dessous :

x = 0 ; f(x) = 5 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 1
x = 1 ; f(x) = 19 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 1
x = 2 ; f(x) = 41 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 1
x = 3 ; f(x) = 71 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 1
x = 4 ; f(x) = 109 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 1
x = 7 ; f(x) = 271 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.75
x = 9 ; f(x) = 419 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.7
x = 11 ; f(x) = 599 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.666666666666667
x = 12 ; f(x) = 701 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.692307692307692
x = 13 ; f(x) = 811 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.714285714285714
x = 14 ; f(x) = 929 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.733333333333333
x = 18 ; f(x) = 1481 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.631578947368421
x = 21 ; f(x) = 1979 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.590909090909091
x = 22 ; f(x) = 2161 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.608695652173913
x = 23 ; f(x) = 2351 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.625
x = 24 ; f(x) = 2549 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.64
x = 26 ; f(x) = 2969 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.62962962962963
x = 27 ; f(x) = 3191 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.642857142857143
x = 29 ; f(x) = 3659 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.633333333333333
x = 31 ; f(x) = 4159 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.625
x = 32 ; f(x) = 4421 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.636363636363636
x = 33 ; f(x) = 4691 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.647058823529412
x = 34 ; f(x) = 4969 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.657142857142857
x = 37 ; f(x) = 5851 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.631578947368421
x = 42 ; f(x) = 7481 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.581395348837209
x = 46 ; f(x) = 8929 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.553191489361702
x = 47 ; f(x) = 9311 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5625
x = 49 ; f(x) = 10099 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.56
x = 56 ; f(x) = 13109 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.508771929824561
x = 59 ; f(x) = 14519 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 62 ; f(x) = 16001 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.492063492063492
x = 64 ; f(x) = 17029 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.492307692307692
x = 66 ; f(x) = 18089 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.492537313432836
x = 68 ; f(x) = 19181 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.492753623188406
x = 69 ; f(x) = 19739 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 71 ; f(x) = 20879 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 73 ; f(x) = 22051 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 76 ; f(x) = 23869 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.493506493506494
x = 78 ; f(x) = 25121 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.493670886075949
x = 79 ; f(x) = 25759 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 81 ; f(x) = 27059 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 86 ; f(x) = 30449 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.482758620689655
x = 87 ; f(x) = 31151 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.488636363636364
x = 89 ; f(x) = 32579 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.488888888888889
x = 91 ; f(x) = 34039 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.489130434782609
x = 92 ; f(x) = 34781 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.494623655913978
x = 93 ; f(x) = 35531 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.5
x = 97 ; f(x) = 38611 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.489795918367347
x = 102 ; f(x) = 42641 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.475728155339806
x = 108 ; f(x) = 47741 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.458715596330275
x = 109 ; f(x) = 48619 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.463636363636364
x = 114 ; f(x) = 53129 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.452173913043478
x = 117 ; f(x) = 55931 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.449152542372881
x = 119 ; f(x) = 57839 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.45
x = 121 ; f(x) = 59779 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.450819672131148
x = 122 ; f(x) = 60761 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.455284552845528
x = 123 ; f(x) = 61751 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.459677419354839
x = 128 ; f(x) = 66821 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.449612403100775
x = 131 ; f(x) = 69959 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.446969696969697
x = 133 ; f(x) = 72091 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.447761194029851
x = 143 ; f(x) = 83231 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.423611111111111
x = 144 ; f(x) = 84389 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.427586206896552
x = 146 ; f(x) = 86729 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.428571428571429
x = 147 ; f(x) = 87911 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.432432432432432
x = 148 ; f(x) = 89101 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.436241610738255
x = 152 ; f(x) = 93941 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.431372549019608
x = 156 ; f(x) = 98909 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.426751592356688
x = 164 ; f(x) = 109229 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.412121212121212
x = 174 ; f(x) = 122849 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.394285714285714
x = 176 ; f(x) = 125669 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.395480225988701
x = 178 ; f(x) = 128521 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.396648044692737
x = 179 ; f(x) = 129959 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.4
x = 181 ; f(x) = 132859 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.401098901098901
x = 186 ; f(x) = 140249 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.39572192513369
x = 188 ; f(x) = 143261 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.396825396825397
x = 189 ; f(x) = 144779 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.4
x = 192 ; f(x) = 149381 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.398963730569948
x = 197 ; f(x) = 157211 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.393939393939394
x = 203 ; f(x) = 166871 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.387254901960784
x = 208 ; f(x) = 175141 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.382775119617225
x = 209 ; f(x) = 176819 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.385714285714286
x = 213 ; f(x) = 183611 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.383177570093458
x = 223 ; f(x) = 201151 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.370535714285714
x = 224 ; f(x) = 202949 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.373333333333333
x = 227 ; f(x) = 208391 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.37280701754386
x = 233 ; f(x) = 219491 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.367521367521368
x = 236 ; f(x) = 225149 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.367088607594937
x = 238 ; f(x) = 228961 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.368200836820084
x = 242 ; f(x) = 236681 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.366255144032922
x = 244 ; f(x) = 240589 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.36734693877551
x = 246 ; f(x) = 244529 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.368421052631579
x = 247 ; f(x) = 246511 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.370967741935484
x = 249 ; f(x) = 250499 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.372
x = 251 ; f(x) = 254519 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.373015873015873
x = 252 ; f(x) = 256541 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.375494071146245
x = 254 ; f(x) = 260609 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.376470588235294
x = 258 ; f(x) = 268841 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.374517374517374
x = 263 ; f(x) = 279311 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.371212121212121
x = 264 ; f(x) = 281429 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.373584905660377
x = 271 ; f(x) = 296479 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.367647058823529
x = 273 ; f(x) = 300851 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.368613138686131
x = 274 ; f(x) = 303049 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.370909090909091
x = 279 ; f(x) = 314159 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.367857142857143
x = 288 ; f(x) = 334661 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.359861591695502
x = 293 ; f(x) = 346331 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.357142857142857
x = 296 ; f(x) = 353429 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.356902356902357
x = 297 ; f(x) = 355811 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.359060402684564
x = 298 ; f(x) = 358201 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.361204013377926
x = 301 ; f(x) = 365419 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.360927152317881
x = 302 ; f(x) = 367841 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.363036303630363
x = 304 ; f(x) = 372709 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.363934426229508
x = 307 ; f(x) = 380071 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.363636363636364
x = 308 ; f(x) = 382541 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.365695792880259
x = 311 ; f(x) = 389999 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.365384615384615
x = 319 ; f(x) = 410239 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.359375
x = 321 ; f(x) = 415379 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.360248447204969
x = 323 ; f(x) = 420551 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.361111111111111
x = 326 ; f(x) = 428369 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.36085626911315
x = 334 ; f(x) = 449569 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.355223880597015
x = 337 ; f(x) = 457651 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.355029585798817
x = 359 ; f(x) = 519119 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.336111111111111
x = 363 ; f(x) = 530711 est premier ; proportion de nombres premiers de Pagnol = 0.335164835164835

  • Je remarque que pour x > 363, il n’existerait aucun nombre premier f(x). Ainsi, la formule de Pagnol produit une quantité finie de nombres premiers. Le programme continue le calcul jusqu’à x = 100000, mais l’écran semble ne laisser qu’un dernier résultat qui est x = 363, le nombre f(x) = 530711 étant a priori le plus grand nombre premier de la formule de Pagnol.
  • Il existe 122 nombres premiers de la forme 4x²+10x+5.
  • La proportion globale de nombres premiers f(x) par rapport à la totalité des x testés est de 1/3 environ, c’est-à-dire que pour la forme 4x² + 10x + 5, il y a une chance sur trois que cela soit un nombre premier, et cela ne vaut que dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ 363.
  • Je constate que les nombres premiers de Pagnol sont répertoriés ici : http://oeis.org/A155737

–

* © 2012 John Philip C. Manson

par

Géométrie et géodésique terrestre

Je formule l’hypothèse suivante :

  • La cathédrale de Chartres, le château de Rambouillet et le château de Versailles sont-ils trois points alignés sur la courbure terrestre ?

Après un rapide test visuel approximatif sur Google Maps qui semble indiquer que l’hypothèse est plausible, j’en suis venu ensuite à une vérification plus poussée.

Avec l’outil http://www.wolframalpha.com, j’ai établi les distances géodésiques entre chaque lieu à partir des coordonnées géographiques :

  • Entre la cathédrale de Chartres et le château de Rambouillet : 32,77 km.
  • Entre le château de Rambouillet et le château de Versailles : 28,50 km.
  • Entre la cathédrale de Chartres et le château de Versailles : 61,24 km.

Il y a alignement lorsque la somme des distances intermédiaires est rigoureusement égale à la distance totale directe.

32,77 + 28,50 = 61,27 km, soit 30 mètres seulement de plus que la distance totale (61,24 km). L’alignement n’est pas parfait, mais c’est assez proche. Malgré ce faible écart, il ne faut pas se fier aux apparences, et c’est ce que l’on va voir ci-dessous.

Schéma trigonométrique :

 

Évidemment, je me suis basé sur un plan euclidien pour simplifier, comme il s’agit de courtes distances sur la surface sphérique terrestre.

En tenant compte de la différence entre la somme des distances par rapport à la distance totale, on peut évaluer la déviation à 100 mètres près.

On applique le théorème de Pythagore :    28,47² + 1,3² = 28,50²

Ainsi, l’emplacement du château de Versailles dévie de 1,3 km de la position à laquelle où il devrait se situer pour que l’alignement géodésique soit parfait.

L’angle de déviation (alpha) s’exprime selon l’égalité suivante :   cosinus (alpha) = 28,47 / 28,50.

L’angle de déviation est de 2,629°. Bref, les trois points ne sont pas bien alignés. La déviation atteint 1,3 km sur 28,5 km, soit 4,56%.

© 2011 John Philip C. Manson

par

Peut-on voir les Alpes depuis le sommet de la Tour Eiffel ?

 

Peut-on voir les Alpes depuis le sommet de la Tour Eiffel ?

Absolument pas.

 

La portée maximale de la vision à une altitude donnée est limitée à cause de la rotondité de la Terre.
Bref, depuis le sommet de la tour Eiffel, la limite visible de l’horizon est de l’ordre d’une soixantaine de kilomètres, et certainement pas au-delà, sauf si le point derrière l’horizon possède une altitude qui permette de l’observer (ce détail sera développé en dernier).

Calcul :

Soit R le rayon terrestre
Soit h l’altitude depuis laquelle on observe l’horizon

Soit L la distance limite d’observation

L² + R² = (R + h)²

L = √(h(2R + h))

Tour Eiffel : h = 320 mètres
Rayon terrestre R = 6378000 mètres

Alors : L =
√(320 * (2 * 6 378 000 + 320)) = 63 891 mètres, soient environ 64 km.

Bref, depuis le haut de la tour Eiffel (320 m), on verra à peine plus loin que Fontainebleau (altitude 0). Et plus loin que Fontainebleau c’est derrière l’horizon.

Ce calcul ne vaut que pour un horizon d’altitude zéro. Le calcul suivant ci-dessous prend en compte l’altitude d’un point situé derrière l’horizon, et j’obtiens la même conclusion : depuis le sommet de la tour Eiffel, on ne peut pas observer les Alpes.

Mon calcul précédent ne vaut que pour un horizon d’altitude zéro.

Mais voici une vérification avec un horizon ayant une altitude de 4810 m (Mont-Blanc).

D = distance maximale d’observation
R = rayon terrestre
h = altitude de la tour Eiffel
h’ = altitude du Mont-Blanc

D = √(h(2R + h)) + √(h'(2R + h’))

L’altitude du Mont-Blanc est d’environ 4810 mètres, et on peut calculer la distance maximale entre la tour Eiffel et cette montagne, distance en-deçà de laquelle la montagne reste visible. Le calcul montre que la montagne de 4810 m ne sera visible qu’en-deçà d’une distance d’environ 312 km, alors que la distance Paris-Alpes est d’environ 473 km. Conclusion : ni les Alpes ni le Mont-Blanc ne sont visibles depuis la tour Eiffel. En effet, plus la montagne se situe loin derrière l’horizon, plus celle-ci devra être grande pour pouvoir être observable derrière l’horizon.

 

Je préciserai, pour terminer, que les calculs sont fondés sur des règles élémentaires de la géométrie : le théorème de Pythagore. La problématique de la visibilité des Alpes depuis le sommet de la tour Eiffel conduit à une solution scientifique pertinente sur la base de connaissances de niveau collège.

 

 

© 2011 John Philip C. Manson