En théorie, peut-on observer le Mont-Blanc depuis le sommet de la tour Eiffel ?

En théorie, peut-on observer le Mont-Blanc depuis le sommet de la tour Eiffel ? Ce sujet a déjà été abordé il y a longtemps dans ce blog, mais je peux apporter des précisions approfondies.

Les calculs sont abordables dès le niveau de 3e de collège, avec des notions comme le théorème de Pythagore et les bases de la trigonométrie.

  • R = rayon terrestre moyen = 6371009 mètres.
  • h1 = altitude de la tour Eiffel par rapport au niveau de la mer + hauteur de la tour Eiffel = 31 + 324 mètres.
  • h2 = altitude du Mont-Blanc par rapport au niveau de la mer = 4810 mètres.

 

Distance critique d’observation du Mont-Blanc depuis la tour Eiffel = distance rectiligne = différent de la distance à vol d’oiseau en suivant la rotondité terrestre :

L = L1 + L2 = sqrt(-R² + (R+h1)²) + sqrt(-R²+(R+h2)²)

La fonction sqrt désigne la racine carrée (square root).

Ensuite, il est impératif de convertir ce segment de longueur L en distance qui suit la courbure du globe terrestre.

Soit alpha l’angle (en radian) des deux localités par rapport au centre de la Terre :

Distance géodésique : L’ = alpha * R.

En sachant que L’ = a + b = arcsin(L1/(R+h1)) + arcsin(L2/(R+h2)).

Autrement dit :  L’ = a + b = arcsin(sqrt(-R² + (R+h1)²)/(R+h1)) + arcsin(sqrt(-R²+h2)²)/(R+h2)).

Ensuite, j’introduis le concept d’angle de déviation : c’est l’angle auquel un photon de lumière devra fléchir selon la réfraction en passant d’un milieu d’air vers un air plus chaud, c’est le principe des mirages. L’angle de déviation, comme on le verra, permet de vérifier si un mirage peut dévier suffisamment les rayons lumineux afin que le Mont-Blanc puisse théoriquement être encore visible malgré qu’il soit derrière l’horizon observé.

Angle de déviation (en radian) :  d = pi – a – b

La distance critique en tant que segment de droite est de 314,87 km. La distance critique en tant que distance courbe à vol d’oiseau est très proche de la valeur précédente, la différence n’est que de l’ordre d’une centaine de mètres, ce qui est négligeable.

Ensuite, sur la base des coordonnées GPS des deux localités, on peut calculer la distance à vol d’oiseau entre la tour Eiffel et le Mont-Blanc :

  • Tour Eiffel : 48,85833°N, 2,294167°E
  • Mont-Blanc : 45,832627°N, 6,864717°E

La distance GPS entre les deux localités, à vol d’oiseau, est de 481,3 km. Ce qui est une distance sensiblement supérieure (+53%) à la distance critique d’observation de l’horizon (314,87 km). Ainsi, le Mont-Blanc (y compris son sommet neigeux) se situe très certainement derrière l’horizon, le Mont-Blanc n’est jamais visible depuis le sommet de la tour Eiffel.

Autre argument : pour que les rayons lumineux soient visibles en se propageant du Mont-Blanc jusqu’à la tour Eiffel, ceux-ci doivent être déviés d’un angle théorique de 2,83°.

Or, la réfraction optique dans l’air terrestre, selon toutes les conditions thermiques possibles, implique une déviation inférieure à 1,4°. Ainsi, même en prenant en compte la réfraction de l’air, le Mont-Blanc ne sera jamais observé depuis le sommet de la tour Eiffel, même en cas de mirage.

 

Copyright 2015 John Philip C. Manson

 

 

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Peut-on voir les Alpes depuis le sommet de la Tour Eiffel ?

 

Peut-on voir les Alpes depuis le sommet de la Tour Eiffel ?

Absolument pas.

 

La portée maximale de la vision à une altitude donnée est limitée à cause de la rotondité de la Terre.
Bref, depuis le sommet de la tour Eiffel, la limite visible de l’horizon est de l’ordre d’une soixantaine de kilomètres, et certainement pas au-delà, sauf si le point derrière l’horizon possède une altitude qui permette de l’observer (ce détail sera développé en dernier).

Calcul :

Soit R le rayon terrestre
Soit h l’altitude depuis laquelle on observe l’horizon

Soit L la distance limite d’observation

L² + R² = (R + h)²

L = √(h(2R + h))

Tour Eiffel : h = 320 mètres
Rayon terrestre R = 6378000 mètres

Alors : L =
√(320 * (2 * 6 378 000 + 320)) = 63 891 mètres, soient environ 64 km.

Bref, depuis le haut de la tour Eiffel (320 m), on verra à peine plus loin que Fontainebleau (altitude 0). Et plus loin que Fontainebleau c’est derrière l’horizon.

Ce calcul ne vaut que pour un horizon d’altitude zéro. Le calcul suivant ci-dessous prend en compte l’altitude d’un point situé derrière l’horizon, et j’obtiens la même conclusion : depuis le sommet de la tour Eiffel, on ne peut pas observer les Alpes.

Mon calcul précédent ne vaut que pour un horizon d’altitude zéro.

Mais voici une vérification avec un horizon ayant une altitude de 4810 m (Mont-Blanc).

D = distance maximale d’observation
R = rayon terrestre
h = altitude de la tour Eiffel
h’ = altitude du Mont-Blanc

D = √(h(2R + h)) + √(h'(2R + h’))

L’altitude du Mont-Blanc est d’environ 4810 mètres, et on peut calculer la distance maximale entre la tour Eiffel et cette montagne, distance en-deçà de laquelle la montagne reste visible. Le calcul montre que la montagne de 4810 m ne sera visible qu’en-deçà d’une distance d’environ 312 km, alors que la distance Paris-Alpes est d’environ 473 km. Conclusion : ni les Alpes ni le Mont-Blanc ne sont visibles depuis la tour Eiffel. En effet, plus la montagne se situe loin derrière l’horizon, plus celle-ci devra être grande pour pouvoir être observable derrière l’horizon.

 

Je préciserai, pour terminer, que les calculs sont fondés sur des règles élémentaires de la géométrie : le théorème de Pythagore. La problématique de la visibilité des Alpes depuis le sommet de la tour Eiffel conduit à une solution scientifique pertinente sur la base de connaissances de niveau collège.

 

 

© 2011 John Philip C. Manson