Les coïncidences numériques

Pour examiner mathématiquement les cas de coïncidences numériques, je propose un exemple simple.

  • Quelle est la probabilité pour qu’un mystique numérologue ou un pseudo-égyptologue du dimanche découvre que deux choses au moins ont un même nombre quelconque en commun permettant dès lors des analogies fantasques ?

En supposant que les numérologues s’appuient principalement sur des nombres entiers entre 1 et 99, c’est-à-dire un cardinal de K entiers, et que l’on base les spéculations sur N possibilités qui aboutissent à N nombres entiers, lors de l’exercice de numérologie, alors la probabilité P est :

  • P = 1 – (K! / (K^N * (K – N)!))

 

Les possibilités sont très vastes, cela peut être le nombre fétiche de l’empereur Napoléon, la somme des chiffres d’une date de naissance (modulo 100), l’addition des chiffres d’une plaque d’immatriculation, les sommes des chiffres de la date d’une déclaration de l’indépendance d’une nation, et caetera… Plus on réunit de possibilités entre elles, plus il sera probable de découvrir une coïncidence entre au moins 2 possibilités quelconques.

Concrètement, pour une utilisation de nombres dont chacun vaut entre 1 et 99, il faut réunir :

  • Seulement 12 possibilités pour que la probabilité de coïncidence dépasse 50%.
  • Seulement 21 possibilités pour que la probabilité de coïncidence atteigne 90%.
  • Seulement 24 possibilités pour que la probabilité de coïncidence dépasse 95%.
  • Seulement 31 possibilités pour dépasser une probabilité de 99
  • Au-delà d’environ 50 possibilités, la probabilité est de 100%, donc un événement certain.

Des coïncidences à bonne probabilité de survenir, complètement par hasard.

Maintenant, demandez-vous ce que peuvent valoir les coïncidences numériques donnant issue à des théories mystiques farfelues à travers une géométrie approximative et amateur des pyramides d’Egypte ou à travers des nombres entiers récurrents retrouvés dans de nombreux versets du Coran ou de la Bible…

Avant de croire que des coïncidences ont un sens, une cause déterministe, mieux vaut d’abord voir si on peut les distinguer du hasard. Or le hasard peut lui seul expliquer de telles coïncidences.

 


© John Philip C. Manson

Comment une telle erreur de pourcentage est-elle possible ?

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J’ai aperçu récemment cette image sur Twitter.

L’image est un extrait du JT de France 2, diffusé le 19 février 2013, dans lequel un économiste diplômé de l’Ecole supérieure de commerce raconte qu’une succession d’une élévation de 6% par an consécutive sur 5 ans est égale à 30% en 5 ans, selon une simple multiplication.

Mais c’est faux !

En effet, quand on parle de pourcentages, ils ne s’additionnent pas de façon linéaire, car ils suivent une courbe parabolique.

  • Une valeur qui augmente de 30% (donc x = 0,3) en 5 ans, ça équivaut à multiplier la valeur initiale par 1,3, puisque (1 + x)^1 = 1,3.
  • Mais une valeur augmenté de 6% par an (donc x = 0,06), sur 5 années, ça équivaut à multiplier la valeur initiale par 1,33822, puisque (1 + x)^5 = 1,33822.
  • En mathématiques : 5 hausses successives de 6% ne donnent pas une hausse de 30%. En réalité ce sont 5 hausses de 5,39% par an qui correspondent à 30% sur 5 ans.

En France, la notion de pourcentage est étudiée en classe de 4e, au collège.

Comment est-il possible qu’une bourde pareille se soit glissée dans le JT, alors que l’économiste (de niveau universitaire) est présumé maîtriser les notions de pourcentages ?

  • Peut-être pour simplifier au maximum pour le public, mais même avec une erreur de 3% environ, cette différence existe. En maths, comme la hâte, la simplification maximum est l’ennemie de l’exactitude.
  • C’était peut-être un test délibéré, afin de voir si ça passe ou pas. C’est passé à l’antenne, et c’est passé (presque) inaperçu. Il est donc possible de raconter n’importe quoi sans conséquence, du moins à la télévision… Ce n’est pas rassurant.

 

Sur la probabilité de mourir au cours de la même année

L’âge moyen au décès d’un Français (homme ou femme) est d’environ 78 ans plus ou moins 11 ou 12 ans, c’est ce qui est observé. Cette distribution statistique permet de quantifier la probabilité de mourir au cours de l’année selon l’âge.

La probabilité de mourir à l’âge de A ans est P = 0,000006634 * e^(0,107192 * A). Cette probabilité de mourir augmente exponentiellement avec l’âge.

  • Soit un groupe de 3 hommes, âgés de 34 ans, 42 ans, et 34 ans. Quelle est la probabilité pour que ces 3 hommes meurent tous au cours de l’année ?

Cette probabilité est d’un risque sur 25,9 milliards. C’est faible. Mais cet événement s’est pourtant produit en 1986 (en janvier, juin et novembre, chacun à 5 mois d’intervalle) en ce qui concerne Coluche, Thierry Le Luron et Daniel Balavoine.

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Mourir jeune est si injuste. Et c’est louche quand on sait que ces 3 artistes irremplaçables disaient des vérités qui dérangeaient…

De nos jours, la TV est minée par l’auto-censure, elle est devenue complètement aseptisée.

 

Combien de temps durerait une chute dans un tunnel qui traverse la Terre ?

Je résume brièvement.

Et si l’on creusait un tunnel à travers la Terre et que l’on sautait à l’intérieur ?

Alors combien de temps faudrait-il pour arriver jusqu’à l’autre extrémité ? Depuis près de 50 ans, les scientifiques affirment qu’il faudrait 42 minutes et 12 secondes pour traverser un tunnel creusé à l’intérieur de la Terre mais une étude publiée en 2015 leur a donné tort. Ces recherches ont été menées par Alexander Klotz de l’Université McGill à Montréal et ont permis de conclure qu’il en fallait moins (à cause de la densité non uniforme de la Terre).

 

Je me suis penché sur cette problématique, et je me suis basé sur la densité moyenne uniforme de la Terre, comme pour les calculs d’il y a 50 ans.
Une chute libre suit une accélération dans un tunnel en passant par le centre de la Terre.
J’ai tenu compte de la variation de l’accélération de la pesanteur en fonction de la distance parcourue.
Je pose alors g(z) = 9,81 / ((4 R^3 / (z²(3R – z))) – 1)
et aussi z(t) = (1/2) * g(z) * t²
Avec R = 6371000 m (rayon terrestre moyen), z = distance parcourue dans le tunnel, par rapport au point d’origine situé au niveau de la mer.
Calculer la durée à travers du demi-tunnel est tout simple, avec la condition suivante :  z = R. Donc t = 2R/g.
Temps pour parcourir le tunnel entier :   t =  4 R / g = 2 fois 1298,88 secondes, soit 43 minutes et 18 secondes.
Je trouve donc un résultat très proche de la valeur connue jusqu’en 2015.
Évidemment, comme la Terre a une densité variable selon sa profondeur (la densité n’est pas constante dans la réalité), on appelle cela un gradient de densité, cela change forcément le contenu des calculs.
Tout lycéen de Terminale S (niveau Bac S) sait normalement calculer tout cela.

Une cité maya découverte grâce aux constellations

Lisez d’abord la page du lien ci-dessus. Pour une fois, c’est une info authentique sur un travail réel réalisé par un jeune, et qui a abouti à une découverte. Auparavant, c’était souvent des buzz sensationnalistes sur des jeunes et leurs « théories » qui n’était pas grand chose de concret… Mais là, enfin, on a une info solide.

  • Je cite une phrase essentielle extraite du texte du journal Libération : « Rigel et Alnitak sont représentées par les cités Calakmul (Mexique) et El-Mirador (Guatemala). »

Peut-on potentiellement découvrir d’autres vestiges de cités mayas ? Oui.

J’ai pris comme hypothèse que l’étoile Sirius (de la constellation du Grand Chien) est représentée selon les proportions définies par les mayas sur le globe terrestre.

Pour vérifier cela, on relève les coordonnées géographiques de Calakmul et El Mirador, on les trouve sur Wikipedia. Ces données sont souvent exprimées en degrés, minutes et secondes d’arc, il faut les convertir ensuite en degrés décimaux, puis en radians.

Ensuite, on calcule les coordonnées cartésiennes de chaque point x, y et z qui définit chaque lieu connu.

Voici les équations :

  • x = -R . sin(longitude) . cos(latitude)
  • y = R . sin(latitude)
  • z = R . cos(longitude) . cos(latitude)

Voici les étapes :

  • Rigel est une étoile matérialisée symboliquement par un point sur Terre, situé à Calakmul, coordonnées 18,10539° N et 89,81082° W, soit en coordonnées cartésiennes (en km) :  6055,516 ; 1979,889 ; 19,994.
  • Alnitak est une étoile matérialisée symboliquement par un point sur Terre, situé à El Mirador, coordonnées 17,75505° N et 89,920431° W, soit en coordonnées cartésiennes : 6067,537 ; 1942,825 ; 8,426.
  • Sachant que 40,645 km sépare Calakmul de El Mirador, selon un angle céleste de 9,042° (différent de l’angle terrestre cependant, car les mayas n’ont pas mis à l’échelle naturelle), Sirius a donc pour coordonnées X,Y et Z telles que X²+Y²+Z² = 6371² et 106.4²=(x-6055.516)²+(y-1979.889)²+(z-19.994)² et aussi 97.365²=(x-6067.537)²+(y-1942.825)²+(z-8.426)².
  • Selon le système d’équations à 3 inconnues, il existe deux solutions dont une seule est valable : POINT A = 6059,18 ; 1966,89 ; -85,546, et POINT B = 6075,84 ; 1914,05 ; 101,072.
  • Comme je le disais, les mayas ont calqué le ciel sur le sol terrestre, mais pas à la même échelle angulaire. En effet, le ciel reproduit sur le sol est 24,74 fois environ plus grand que la surface de la voûte céleste. Ainsi, 9,042° sur le globe terrestre correspond à 0,3655° sur le ciel…
  • En convertissant les coordonnées cartésiennes en coordonnées géographiques, afin de définir le point qui correspond à Sirius, le point A est à 17,982438° N et 89,19088° W, et le point B est à 17,483530° N et 89,04667° W.
  • Le point A est situé près d’une zone habitée et un peu fréquentée, je doute qu’il reste des vestiges inconnus là-bas car sinon ils auront été trouvés depuis longtemps. Le point B, en revanche, est situé dans une région très boisée et inhabitée, on devrait aller voir sur place là-bas…

 

Comme vous le voyez, les mathématiques, notamment la géométrie 3D, peuvent permettre de retrouver des cités perdues.

J’ai dit « découverte authentique » plus haut, mais je dois corriger ce que j’ai dit car il y a du nouveau :

 

Il faut toujours rester prudent sur les annonces de découvertes inédites. Il faut garder un certain recul critique et de la rigueur, il ne faut pas céder aux sirènes des médias.

 

© 2016 John Philip C. Manson

 

Vérification d’un calcul

Via Google Plus, quelqu’un me fait remarquer qu’une erreur se serait glissée dans mon calcul, concernant mon article précédent.

On va vérifier ça, en reprenant le sujet ci-dessous.

  • AXA et Altran Group n’ont pas à rougir. Le groupe spécialisé dans l’assurance a posé la question suivante: « Une corde, plaquée au sol, permet de faire le tour de la Terre autour de l’équateur. On ajoute 1 mètre à cette corde. On obtient donc un cercle un peu plus grand. Une souris pourrait-elle passer sous la corde ? ».

 

Initialement, la Terre a un rayon constant R, et la circonférence de la corde est égale à celle de la Terre, soit 2 pi R.

La différence entre le rayon circulaire de la corde et le rayon terrestre est calculable selon l’égalité suivante :   2*pi*(6378000+x) – 2*pi*6378000 = 1. Après allongement de la corde de 1 mètre, la corde passe à x = 1 /(2*pi) mètre au-dessus de la surface du globe, soit environ 15,92 centimètres. Oui, une souris peut passer sous la corde, et même un gros rat aussi. Un collégien est capable de résoudre ce problème et peut répondre à ce type de question.

  • Bref, la circonférence initiale est : C = 2 pi R. La longueur de la corde est égale à la circonférence terrestre.
  • La nouvelle circonférence est : C’ = 2 pi R’, où R’ est le nouveau rayon de la corde.
  • C’ – C = 1 mètre. Ainsi la corde a maintenant 1 m de plus que la circonférence de la Terre. Ce n’est pas le rayon R auquel l’on aurait ajouté 1 m, c’est la circonférence qui augmente de 1 m, ce qui n’est pas pareil.
  • Puisque C’ – C = 1 m, alors 2 pi R’ – 2 pi R = 2*pi*(6378000+x) – 2*pi*6378000 = 1.
  • En conséquence : R’ – R = 1 / (2 pi) = environ 0,1592 mètre. Le rayon a varié d’à peine 16 cm, comme je l’avais déclaré. Il n’y avait pas d’erreur dans la conclusion. Cependant, j’avais écrit que la circonférence de la corde devient (2 pi (R + 1)), il fallait lire plutôt 2 pi R + 1 car c’est la circonférence qui croît de 1 m, pas le rayon. Malgré cette erreur d’inattention au début (parce que d’une part les techniques farfelues de recrutement, qui étaient le thème examiné, sont des conneries qui m’ont particulièrement énervé, ces foutaises-là ne devraient jamais exister, mais aussi d’autre part parce que le thème de la corde est connu sous une autre version selon laquelle la corde est à un mètre au-dessus du sol), cela n’a pas affecté la suite de mon raisonnement au moment duquel j’étais mieux concentré.

Merci à Patrice C. pour m’avoir signalé l’erreur. C’est bon d’apprendre que j’ai des lecteurs attentifs.  😉

John Philip C. Manson

Les questions difficiles ou bizarres en entretien d’embauche

Les questions au cours d’un entretien d’embauche sont souvent bizarres, parfois saugrenues, et fréquemment sans aucun rapport avec les compétences et les connaissances requises pour le poste à pourvoir… On a souvent même l’impression que les DRH se prennent pour des psys qui considèrent les candidats comme des cobayes de laboratoire, surtout en se basant sur des critères de sélection complètement farfelus et ineptes comme le langage non verbal et les interprétations gestuelles… Des méthodes qui ressemblent aux croyances en vigueur au cours du Moyen-Âge. Hé, réveillez-vous ! On est au vingt-et-unième siècle !!!

 

Évidemment, certains métiers ne sont pas forcément basés sur la logique ou les maths, c’est certain. Les métiers comme assistance sociale ou infirmière, ou auxiliaire de vie, ça demande de l’empathie et des qualités humaines positives. Il est donc pertinent que la façon de recruter soit liée à la psychologie et à des (vrais) tests de personnalité dans le cadre de professions liées à des services empathiques.

Mais quand les métiers n’ont rien à voir avec la personnalité, mais plutôt reliés au bon sens, l’intelligence, ou la logique ? Quand le poste à pourvoir est en dissonance totale avec les méthodes de recrutement, c’est anormal, il y a un vrai problème.

Quand un commerçant recrute une caissière, il va évaluer plutôt si elle sait rendre la monnaie en faisant le moins d’erreurs possibles, c’est même essentiel. Le commerçant ne va pas demander aux candidates leur signe astrologique, ni faire une évaluation en interprétant la gestuelle de la personne.

Une fois, vers octobre ou novembre 2011, il y en a un qui m’a raconté que, lors d’un entretien au cours duquel il a argumenté verbalement, le recruteur lui a fait remarquer qu’il n’avait pas « bougé les mains ». Mais les mains, on les bougent si on en a envie, qu’est-ce que ça peut lui foutre ? Ce sont les politiciens (ces menteurs profesionnels) qui bougent les mains, comme pour séduire ou donner une ambiance particulière, ou pour distraire les moutons afin de détourner leur attention qui était portée sur la parole. Ce sont les mots dans les paroles ou les textes écrits qui sont essentiels, pas les gestes ! C’est un non-sens, certaines façons de procéder pour évaluer les candidats… Franchement, on est candidat pour être chimiste, caissier, ou pépiniériste, etc, et cela n’a aucun rapport avec les métiers de la communication, aucun ! Tiens, je vais bouger les mains comme un italien, sans rien dire (puisque les mots ne servent à rien, le recruteur s’en fout de ce qu’on dit), je vais être embauché parce que j’ai l’air con à remuer les mains ? C’est vraiment absurde ! Peut-être que les recruteurs sont des malades, mais les candidats sont encore plus malades quand ils entrent dans le jeu cynique des recruteurs.

 

Voici un bouquin intéressant qui dénonce les gourous de la communication :

 

Avec les délires de la com’, notre société tend à suivre un modèle douteux : la secte. Coaching, développement personnel… Oui, une secte. Les sectes ne sont pas seulement limitées aux mouvances religieuses. Les sectes ont plusieurs visages :

  • 34% concernent la sécurité des personnes et des biens,
  • 22% touchent à l’éducation des mineurs,
  • 22% relèvent du domaine de la santé
  • 17% impactent la sphère du travail, de l’emploi et de la formation professionnelle.

Ces chiffres proviennent de http://www.derives-sectes.gouv.fr/faq. Face à ces multiples domaines, contrairement aux idées reçues : les dérives sectaires dans le domaine religieux sont très minoritaires.

 

 

 

Rappel du Code du Travail en France :

  • Les méthodes et techniques employées doivent être pertinentes au regard de la finalité poursuivie aux termes des articles L 1221-8 et L 1222-3 du Code du Travail.
  • 1.3. La Cour d’Appel de VERSAILLES : « Selon les articles L 1222-2 et L 1222-3 du code du travail, les informations demandées à un salarié ne peuvent avoir comme finalité que d’apprécier ses aptitudes professionnelles, elles doivent présenter un lien direct et nécessaire avec l’évaluation de ses aptitudes. Le salarié est tenu de répondre de bonne foi à ces demandes d’information. Le salarié est expressément informé, préalablement à leur mise en œuvre, des méthodes et techniques d’évaluation professionnelles, mises en œuvre à son égard. Les résultats obtenus sont confidentiels. Les méthodes et techniques d’évaluation des salariés doivent être pertinentes au regard de la finalité poursuivie.
  • Article L1132-1, modifié par LOI n°2014-173 du 21 février 2014 – art. 15 : Aucune personne ne peut être écartée d’une procédure de recrutement ou de l’accès à un stage ou à une période de formation en entreprise, aucun salarié ne peut être sanctionné, licencié ou faire l’objet d’une mesure discriminatoire, directe ou indirecte, telle que définie à l’article 1er de la loi n° 2008-496 du 27 mai 2008 portant diverses dispositions d’adaptation au droit communautaire dans le domaine de la lutte contre les discriminations, notamment en matière de rémunération, au sens de l’article L. 3221-3, de mesures d’intéressement ou de distribution d’actions, de formation, de reclassement, d’affectation, de qualification, de classification, de promotion professionnelle, de mutation ou de renouvellement de contrat en raison de son origine, de son sexe, de ses mœurs, de son orientation ou identité sexuelle, de son âge, de sa situation de famille ou de sa grossesse, de ses caractéristiques génétiques, de son appartenance ou de sa non-appartenance, vraie ou supposée, à une ethnie, une nation ou une race, de ses opinions politiques, de ses activités syndicales ou mutualistes, de ses convictions religieuses, de son apparence physique, de son nom de famille, de son lieu de résidence ou en raison de son état de santé ou de son handicap.

Ce qui laisse comprendre que l’astrologie et la graphologie, la phrénologie, le langage non verbal, et une pléthore de tests de personnalité, par exemple, ne sont pas des méthodes pertinentes, elles sont farfelues, et sont de fait illicites. Des outils comme le test de Rorschach, la graphologie, l’astrologie et la numérologie, sont interdits par la loi dans un contexte de recrutement, et toute entreprise utilisant ces méthodes peut comparaître devant un tribunal par un candidat. Ces méthodes doivent être dénoncées et condamnées.

Veuillez regarder via le moteur Google ce qui se raconte à propos des méthodes et techniques de recrutement, vous allez être sidérés…

Voici un exemple de ce qui s’est vu (et se voit encore) sur le marché de l’emploi :  https://jpcmanson.files.wordpress.com/2015/08/lfdr.pdf

 

Autrefois, c’était tellement plus simple, on allait s’entretenir auprès du patron directement, sans passer par des intermédiaires douteux, et on passait par une période d’essai afin de savoir si on était compétent pour le poste à pourvoir. De nos jours, c’est n’importe quoi. Je plains les jeunes qui vivent cette époque à la con.

 

 

L’article du Figaro a montré que, parfois, et même plutôt rarement par rapport aux entretiens classiques bizarres, les questions pouvaient être (enfin) de nature logique ou mathématique, comme on va le voir ci-dessous. Quand j’ai postulé autrefois, on ne m’a jamais proposé des questions d’ordre logico-mathématique, c’était plutôt de la pseudo-psychologie hors contexte en regard des compétences que l’on doit avoir pour le poste à pourvoir…

Montez votre entreprise, soyez indépendants, c’est le meilleur conseil à proposer. Le salariat en France est devenu une impasse, et les recruteurs (qui proviennent de je ne sais où) prennent souvent les candidats pour des cons, en utilisant des critères débiles.

 

Voici des exemples de questions de mathématiques (ça dépend des métiers, en effet, mais on ne m’a malheureusement jamais proposé ce genre de questions enfin intelligentes) :

 

  • IMC Financial Market, un opérateur boursier hollandais, dont l’un des recruteurs a exposé la devinette suivante: «Si trois personnes sont dans une salle, quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes soient nées le même jour de la semaine?».

La question paraît relativement simple. Certains peut-être auront été pressés de résoudre la question en répondant par un calcul probabiliste basé sur la loi binomiale.

P = (7! / (2! * 1!)) * (1/7)² * (6/7) = 0,052 soit environ 5%.

Mais la question comporte un piège ! En effet, il ne s’agit pas stricto sensu d’un jour précis exclusif comme « deux personnes nées un dimanche » ou « deux personnes nées un vendredi ». Il faut tenir compte de tous les jours de la semaine !

Donc :    P = 1 – (7!/((7-3)! * 7^3)) = 0,3878 soit presque 39%.

Le principe est équivalent au paradoxe des anniversaires : ce n’est pas deux personnes nées strictement un jour précis exclusif de l’année, mais en réalité un jour quelconque, chacun des jours de l’année est pris en compte.

Il y a une différence entre une possibilité exclusive et l’ensemble des possibilités. Saisir la nuance, c’est mériter de devenir opérateur boursier, dans le cas étudié ici. C’est logique et pertinent.

Réfléchissons une seconde. Si vous êtes candidat et si l’on vous propose des questions ou une évaluation qui contiennent une once de bizarrerie ou l’emploi de méthodes ou techniques farfelues, vous êtes en droit de vous demander si le poste à pourvoir est complètement bidon. Il suffit de lire des listes d’offres d’emploi pour se rendre compte que depuis quelques années le nom de l’entreprise ou de l’employeur est parfois devenue anonyme : les candidats ne savent pas sur quoi ils vont tomber. Et ça c’est louche.

Sérieusement, devenez freelance, devenez habile dans un domaine que vous aimez, foncez et lancez-vous, et n’abandonnez jamais ! Vous réussirez. Ne perdez pas votre temps chez des agences qui ne vous aiguilleront jamais vers un emploi. Les 3 activités pro que j’ai eu successivement au cours des années, ce n’est pas Pôle Emploi qui m’a permis de les avoir, jamais ! La liberté a un prix, c’est très dur de maintenir une entreprise en vie, il faut bouger, c’est sûr, mais rien ne vaut la liberté !

 

Voici un autre exemple de question liée aux mathématiques :

  • AXA et Altran Group n’ont pas à rougir. Le groupe spécialisé dans l’assurance a posé la question suivante: «Une corde, plaquée au sol, permet de faire le tour de la Terre autour de l’équateur. On ajoute 1 mètre à cette corde. On obtient donc un cercle un peu plus grand. Une souris pourrait-elle passer sous la corde?».

Là, la question est nettement moins difficile que les calculs de probabilités vus plus haut. Un diplômé du Bac n’a aucune difficulté pour résoudre les problèmes de la théorie des probabilités, à condition d’avoir du flair pour repérer des pièges éventuels. Réfléchir est plus important que le calcul lui-même.

Initialement, la Terre a un rayon constant R, et la circonférence de la corde est égale à celle de la Terre, soit 2 pi R.

Ensuite, la circonférence de la corde devient 2 pi R + 1. La différence entre le rayon circulaire de la corde et le rayon terrestre est calculable selon l’égalité suivante :   2*pi*(6378000+x) – 2*pi*6378000 = 1. Après allongement de la corde de 1 mètre, la corde passe à x = 1 /(2*pi) mètre au-dessus de la surface du globe, soit environ 15,92 centimètres. Oui, une souris peut passer sous la corde, et même un gros rat aussi. Un collégien est capable de résoudre ce problème et peut répondre à ce type de question.

 

 

© 2016 John Philip C. Manson