Peut-on calculer un sinus sans calculette ?

Un internaute demande si on peut calculer un sinus sans calculette. Sa fille lui a dit qu’il est impossible de calculer un sinus sans calculette, et que son prof de physique a demandé à la classe de calculer le sinus d’un angle sans calculette.

Sans calculette, oui, puisqu’avant le 20e siècle, les mathématiciens et les ingénieurs calculaient tout à la main, c’était bien plus long.

On peut faire ça à la main.

On trace un cercle au compas. On trace ensuite le rayon du cercle (sur l’axe des abscisses, le centre du cercle étant en position (0;0)).

Ensuite, on trace un segment de 45° par rapport au rayon précédemment tracé, sa longueur est prolongée jusqu’à une droite qui est tangente au cercle et parallèle à l’axe des ordonnées. Ensuite, on effectue une division à la main : le rayon est divisé par la longueur du deuxième segment.

J’ai un cercle de rayon 1. Le segment à 45° de l’axe des abscisses (sur lequel se confond le segment-rayon) mesure 1,41. Évidemment, on mesure la longueur avec une règle.

On s’aperçoit alors que sin (45°) = 1 / 1,41 = l’inverse de la racine carrée de 2

Pour n’importe quel autre angle, on fait pareil : la mesure de la longueur des segments, on divise ensuite à la main, et on a la valeur du sinus de l’angle.

 

Schéma ci-dessous :

sinus

Le sinus de 45° (voir l’image) est égal à la division de la longueur du segment rouge (rayon du cercle) par la longueur du segment vert.

Particularité : le segment rouge, le segment vert et un segment bleu de la tangente forment tous trois un triangle-rectangle. Évidemment, le théorème de Pythagore s’y applique : le carré du rayon + le carré du segment vert = le carré du segment bleu (longueurs des segments).

Puis aussi :    cos² A + sin² A = 1

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

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