Géométrie et géodésique terrestre

Je formule l’hypothèse suivante :

  • La cathédrale de Chartres, le château de Rambouillet et le château de Versailles sont-ils trois points alignés sur la courbure terrestre ?

Après un rapide test visuel approximatif sur Google Maps qui semble indiquer que l’hypothèse est plausible, j’en suis venu ensuite à une vérification plus poussée.

Avec l’outil http://www.wolframalpha.com, j’ai établi les distances géodésiques entre chaque lieu à partir des coordonnées géographiques :

  • Entre la cathédrale de Chartres et le château de Rambouillet : 32,77 km.
  • Entre le château de Rambouillet et le château de Versailles : 28,50 km.
  • Entre la cathédrale de Chartres et le château de Versailles : 61,24 km.

Il y a alignement lorsque la somme des distances intermédiaires est rigoureusement égale à la distance totale directe.

32,77 + 28,50 = 61,27 km, soit 30 mètres seulement de plus que la distance totale (61,24 km). L’alignement n’est pas parfait, mais c’est assez proche. Malgré ce faible écart, il ne faut pas se fier aux apparences, et c’est ce que l’on va voir ci-dessous.

Schéma trigonométrique :

 

Évidemment, je me suis basé sur un plan euclidien pour simplifier, comme il s’agit de courtes distances sur la surface sphérique terrestre.

En tenant compte de la différence entre la somme des distances par rapport à la distance totale, on peut évaluer la déviation à 100 mètres près.

On applique le théorème de Pythagore :    28,47² + 1,3² = 28,50²

Ainsi, l’emplacement du château de Versailles dévie de 1,3 km de la position à laquelle où il devrait se situer pour que l’alignement géodésique soit parfait.

L’angle de déviation (alpha) s’exprime selon l’égalité suivante :   cosinus (alpha) = 28,47 / 28,50.

L’angle de déviation est de 2,629°. Bref, les trois points ne sont pas bien alignés. La déviation atteint 1,3 km sur 28,5 km, soit 4,56%.

© 2011 John Philip C. Manson

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