Pesticides et chiffre bidon…

Cash

 

En effet, très gros problème, car il existe une différence entre marteler que « Il y a un chiffre qui est vraiment le point de départ de notre enquête : 97 % des aliments que nous consommons contiennent des résidus de pesticides » (sous-entendu que les 3% restants sont du « bio » sain) et le texte (d’origine) de l’étude qui précise que « Plus de 97 % des aliments contiennent des résidus de pesticides dans les limites légales» Tout est dans la fin du titre, «dans les limites légales», ce que les journalistes ont tronqué… mais qui est loin d’être un détail. Cela change le sens exact. En fait, l’étude écrit clairement dès son introduction que 97,4 % des échantillons ne dépassent pas les limites de pesticides autorisées par l’UE (maximum residue level, MRM) alors que 2,6 % les dépassent. Ainsi, les 3% restants sont loin d’être du « bio »…

Pfff, aucune déontologie, quelle honte…

 

John Philip C. Manson

 

Géométrie dans l’espace et vecteurs coplanaires

Comment démontrer que 3 points sur un globe sont alignés en suivant la rotondité terrestre ?

Jusqu’à présent, je m’étais basé au mieux sur Google Earth pour cela. Mais on peut utiliser la géométrie dans l’espace et les vecteurs si on veut réaliser une démonstration mathématique.

Soit R le rayon terrestre moyen. Soient x, y et z les axes d’un repère tridimensionnel centré sur le point origine (0;0;0). L’équation de la sphère est x² + y² + z² = R².

Par conséquent, à partir de la latitude et la longitude (angles en radians) d’un point de la surface du globe, on en déduit les coordonnées cartésiennes :

x = -R*sin(longitude)*cos(latitude)
y = R*sin(latitude)
z = R*cos(longitude)*cos(latitude)

Toute latitude Sud est de valeur négative (inférieure à zéro, de 0° à -90°). Toute longitude Ouest est de valeur négative (de 0° à -180°, donc de 0 radian à -pi radians).

Maintenant, pour chaque point situé à la surface du globe correspond un vecteur : ce vecteur est un segment entre ledit point du globe et le centre de la Terre (point origine). Ainsi, pour un point de coordonnées (a;b;c), on aura un vecteur défini selon le point (a;b;c) et le point origine (0;0;0). Le vecteur vaut donc (-a;-b;-c).

Soient 2 points situés sur le globe terrestre : on définit alors un plan qui coupe le globe terrestre et qui passe par (0;0;0) et qui passe aussi par les 2 points. Tout troisième point est aligné avec les 2 premiers points (alignement en suivant la courbure terrestre, mais pas selon une droite) si les 3 vecteurs sont coplanaires, donc appartenant au même plan.

Les vecteurs  \vec u,  \vec v et  \vec w sont coplanaires si et seulement si les trois vecteurs forment une famille liée, s’il existe un triplet de scalaires k, m, n différent de (0,0,0) tel que  k  \vec u + m  \vec v + n  \vec w.

 

Étude du cas de Stonehenge, la caldeira de Santorin et la Kaaba (La Mecque) :

  • Stonehenge : 51,18° N et 1,826° W
  • Santorin : 36,4° N et 25,4° E
  • Kaaba : 21,42°N et 39,83° E

 

Ce qui donne les coordonnées cartésiennes suivantes :

  • Point S : Stonehenge : 127 ; 4964 ; 3992
  • Point T : Santorin : -2200 ; 3781 ; 4632
  • Point K : Kaaba : -3799 ; 2327 ; 4555

On change le signe des nombres pour obtenir les valeurs cartésiennes des vecteurs OS, OT et OK.

On constate qu’il existe des nombres réels a et b et c tels que :

a * vect(OS) + b * vect(OT) + c * vect(OK) = 0

et je trouve : 0,059061 vect(OS) – 0,69299 vect(OT) + 0,40328 vect(OK) = 0

Par conséquent, les vecteurs OS, OT et OK sont coplanaires, et donc les points S, T et K sont alignés sur la courbure terrestre. (Il ne s’agit évidemment pas d’un alignement euclidien, comme une droite).

 

John Philip C. Manson

 

 

Les artéfacts d’Ishango : probabilités

Aujourd’hui, on examine un autre cas, similaire car il concerne aussi les nombres premiers, mais cela se réfère à des artéfacts archéologiques humains vieux d’environ 20 000 ans : les os d’Ishango. Les os d’Ishango, également appelés bâtons d’Ishango, sont des artéfacts archéologiques découverts dans l’ancien Congo belge et datés de peut-être 20 000 ans.

Mais il y a controverse. En effet, des entailles présentes sur un des os d’Ishango furent interprétées, selon les auteurs, comme le calcul de nombres premiers. Mais d’autres contestent cette possibilité.

Voici ces entailles :


Au contraire des autres entailles présentant des nombres entiers ordinaire, ces entailles ci-dessus présentent un quadruplet de 4 nombres premiers consécutifs.

Le meilleur moyen d’estimer l’authenticité d’un calcul intentionnel de nombres premiers par des hommes de Cro Magnon est de comparer avec la probabilité d’obtenir un tel quadruplet de nombres premiers consécutifs au hasard.

Il existe 5 quadruplets de nombres premiers consécutifs parmi toutes les permutations possibles avec des nombres aléatoires compris entre 1 et 20 :

  • 2 3 5 7
  • 3 5 7 11
  • 5 7 11 13
  • 7 11 13 17
  • 11 13 17 19

La probabilité d’obtenir au hasard un quadruplet de nombres premiers consécutifs, dans le désordre, est de 0,83%, valeur obtenue empiriquement via un programme informatique que j’ai conçu. On constate que, même dans le désordre, la probabilité est faible. La présomption de calcul intentionnel de nombres premiers par des hommes d’il y a 20 000 ans est légitime.

Et la probabilité d’obtenir au hasard un quadruplet de nombres premiers, cette fois dans l’ordre, est plus faible que la valeur précédente. Un calcul direct à la main indique 0,0069%, et le programme informatique indique une valeur empirique de 0,00338%, soit à peu près une chance sur 29586. En-dessous du seuil de 5% (la fameuse p-value), il y a présomption que ce n’est pas un hasard.

Les calculs réalisés ici se basent sur la génération de nombres aléatoires qui peuvent être différents entre eux, mais qui peuvent aussi se répéter dans le quadruplet.

Mais si on modifie le calcul informatique de façon à ce que les quadruplets générés aléatoirement soient formés de nombres strictement différents entre eux, alors la probabilité d’obtenir un quadruplet de 4 nombres premiers différents entre eux, et consécutifs, mais dans le désordre, est entre 1,09% et 1,1%. Et environ 0,004% dans l’ordre.

Jean de Heinzelin de Braucourt, géologue belge, pensait lui-même que l’os d’Ishango est une preuve de l’histoire ancienne des mathématiques, et je considère que son hypothèse est très crédible.

Les nombres premiers étaient déjà connus il y a environ 20 000 ans, c’est ce qu’indiquent mes résultats probabilistes par programmation informatique.

 

John Philip C. Manson

 

 

 

 

 

Comment savoir si un signal extraterrestre est artificiel ou d’origine naturelle

J’ai vu récemment le film « Contact », avec Jodie Foster.

Au début du film, Jodie reçoit un signal en provenance de l’espace, mais le rythme régulier montra qu’il s’agissait d’un pulsar. Mais ensuite, elle reçut un signal qui reproduisait peu à peu les 26 premiers nombres premiers :  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101.

J’ai trouvé que c’était intéressant car cela mène à un questionnement mathématique : quelle est la probabilité pour que des phénomènes naturels génèrent au hasard les nombres premiers de 2 à 101 ?

On peut comparer cela au jeu du Loto, où l’on choisit 6 nombres parmi 49, à cocher dans une grille. Au tirage, 6 boules numérotées sortent, et le gagnant du gros lot est celui qui a la même série de numéros.

Pour le contexte du Loto, on a une chance sur 49!/(43! * 6!), soit une chance sur 13 983 816 d’avoir les 6 bons numéros.

Par conséquent, la probabilité de sortir 26 nombres premiers parmi les 101 premiers nombres naturels (de 1 à 101) est de 1 sur 101!/(75! * 26!), soit 1 chance sur 9,42*1023. Il est ainsi très peu probable de générer une série de 26 nombres premiers au hasard, cela implique qu’un tel signal contenant une série de 26 premiers nombres premiers exacts n’est pas un hasard, et que c’est une preuve d’existence d’une vie extraterrestre.

John Philip C. Manson

 

Un alignement planétaire rare et bizarre ?

L’article parle d’alignement, je croyais qu’ils parlaient de conjonction mais c’est inexact : ils parlent en fait d’alignement non radial, apparent dans le ciel. Mais entre elles, les planètes ne sont pas alignées, l’alignement non radial n’est qu’apparent dans le ciel, par un effet de perspective.

Situation au 31 janvier 2016 :

Ciel31012016

Il existe bien un alignement apparent.

Mais est-ce que ce phénomène est rare ?

Rien qu’Uranus, Vénus, Mercure, le Soleil, Mars et Jupiter sont alignés radialement (à part Saturne plus loin), au 31 janvier 2007 :

Ciel31012007

Le Soleil, Jupiter, Mars et Mercure sont groupés, Saturne est isolée plus loin dans le ciel, le 31 janvier 2009 :

Ciel31012009

Et concernant le futur :

31 janvier 2017 : Mars, Vénus, Soleil, Mercure, Saturne et Jupiter sont regroupés dans le ciel.

Ciel31012017

31 janvier 2018 : Vénus, Soleil, Mercure, Saturne, Mars et Jupiter sont alignés non radialement.

Ciel31012018

En astronomie, un alignement vrai est une conjonction (qui est radiale, donc dans notre direction). Ainsi, dans les faits, un alignement physiquement réel entre Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne est significativement plus rare : environ 13 par millénaire (tous les 77 ans en moyenne). Évidemment, si on ajoute l’orbite de Mercure dans cette mécanique céleste, un alignement réel entre Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne devient nettement plus rare… Mes calculs se sont basés sur des orbites circulaires, en respectant l’échelle des rayons orbitaux. Mais la fréquence des conjonctions se raréfie du fait que les orbites planétaires sont elliptiques dans la réalité.

Un alignement apparent dans le ciel est plus fréquent qu’une vraie conjonction planétaire dans laquelle l’alignement est bien réel, en termes de mathématiques et de géométrie.

 

John Philip C. Manson

Numb3rs et les mathématiques

Je ne connaissais pas la série TV « Numb3rs »… jusqu’à samedi dernier.

En 2005, j’avais entendu parler de cette série américaine, mais je n’avais jamais eu l’occasion de la regarder. J’ai visionné par curiosité le premier épisode (le pilote) sur le web.

J’avais d’abord des aprioris sur la crédibilité de la série en ce qui concerne les maths. Mais il fallait regarder pour vraiment évaluer. Je m’attendais à trouver des élucubrations proches du mysticisme de la numérologie, mais l’hypothèse formulée par l’acteur qui interprète le rôle d’un brillant mathématicien m’a paru crédible et intéressante.

En effet, des crimes sont commis (au hasard, semble t-il) dans une grande ville (Los Angeles je crois), et un agent du FBI veut arrêter l’odieux criminel. Le frère de l’agent fédéral est un matheux, et celui-ci énonce une hypothèse basée sur un arroseur automatique dans un jardin : on ne sait pas quand ni où les gouttes d’eau vont tomber, mais on peut déterminer approximativement au moyen des statistiques et des probabilités la position de l’arroseur. Et on transpose cette analogie à l’action du criminel, que l’on pourrait approximativement localiser géographiquement à partir des divers lieux des crimes.

Hélas, je n’ai pas pu lire l’équation du mathématicien de la série Numb3rs. Mais à partir de zéro, j’ai développé moi-même des calculs, je me suis basé sur la densité de probabilité imprimée sur la carte de la ville qui était examinée avec soin par les agent du FBI, dans l’épisode. Mais mon équation est certainement différente de celle conçue par le matheux, je pense que le personnage s’est basé sur une distribution statistique normale centrée sur x=0 mais ce n’était pas lisible sur l’écran. Moi, je me suis basé sur une équation différentielle : le criminel n’agit pas trop près de son propre domicile sinon il se ferait choper, et le criminel n’agit pas trop loin non plus de son domicile, alors le criminel agit dans des lieux selon une distance de confort, une distance optimale. Dans mon équation différentielle, la somme de la fonction et de sa dérivée est proportionnelle à une décroissance exponentielle qui dépend de la distance de domiciliation du criminel.

Si les données apparentes de l’hypothèse du matheux, dans l’épisode de la série Numb3rs, sont fiables, alors la probabilité du lieu de domiciliation du criminel (ce que j’appelle épicentre, sur un plan de coordonnées (0;0) est égale à 1/e = 0,36788, tandis que la majorité des crimes se produisent à environ 2 km de cet épicentre, crimes dont la probabilité de domiciliation du tueur vaut 1/(2e) = 0,18394.

Mon équation probabiliste, par rapport à (0;0) étant le point sur le plan, auquel la probabilité de domiciliation du criminel est maximale, est la suivante :

  • P(x) = -(kx – 1) * e^(-kx – 1)
  • Dans le contexte de l’épisode pilote de Numb3rs :  k = 0,157461.
  • Ce qui donne :  P(x) = -(0,157461x – 1)*e^(-0,157461x – 1). Où P(2)/P(0) = 1/2. Avec x exprimé en kilomètres.
  • Par conséquent, le lieu d’un crime existe significativement (statistiquement) si sa probabilité est d’au moins 5%, c’est-à-dire dans un rayon d’action maximum de 4,58 km par rapport à l’épicentre.

 

 

Les mathématiques sont souvent très utiles, et on ne le montre pas assez.

John Philip C. Manson

 

Une formule mathématique étonnante ?

 

En résumé, la « formule étonnante » suit ces étapes :

  • Prenez votre pointure
  • Multipliez-la par 5
  • Ajoutez 50
  • Multipliez le résultat précédent par 20
  • Ajoutez ensuite 1015
  • Le résultat est un nombre de 4 chiffres : les deux premiers chiffres sont votre pointure, les deux derniers chiffres sont votre âge.

 

En algèbre, on écrit alors :

Âge = [20 * ((5 * Pointure) + 50) + 1015] modulo 100.

La valeur du résultat reste la même quelque soit la valeur de la pointure. Mais les journalistes omettent de préciser que la formule a la particularité d’être valable seulement entre 1916 et 2015 comme intervalle des années de naissance, car en dehors de cet intervalle, la formule n’est plus du tout valable…

Apparemment, cette formule fut créée en 2015, année à laquelle elle fonctionnait encore. Pour décaler d’une année (2016 au lieu de 2015, il suffit de remplacer 1015 par 1016… Rien d’extraordinaire ni d’étonnant…

 

John Philip C. Manson