Nombre pi, géométrie dans le plan et expériences aléatoires

La polémique à propos de l’apparente difficulté de l’épreuve de maths pendant le Bac S 2014 a des conséquences positives. Lorsqu’on plonge dans les maths, et quand on a des idées et beaucoup d’imagination, on peut suivre certaines pistes intéressantes dans le domaine des mathématiques. En explorant la géométrie suite à la réflexion portée sur l’exercice 4 de l’épreuve de maths du Bac S, et qui a aiguisé mon inspiration, et puis en associant la géométrie avec des expériences de simulation du hasard, on peut tomber sur des trucs intéressants.

 

Premier exemple :

J’imagine un repère orthonormé 0;i;j. Soit un carré EFGH de côté 1 dont les coordonnées des côtés sont (0;0) et (0;1) et (1;0) et (1;1). Ensuite, on considère que dans l’aire du carré EFGH (aire qui vaut 1), on génère aléatoirement 3 points A et B et C dont les réels x et y (coordonnées respectives de A,B,C) appartiennent à l’intervalle [0;1].

ABC, par ses 3 points, forme un triangle quelconque ABC. La formule de Héron permet d’en calculer l’aire.

L’enjeu est de déterminer l’aire moyenne de ABC par rapport au carré EFGH. Pour cela, j’ai généré des millions de triangles pour évaluer cette aire moyenne rapportée à celle du carré.

Le rapport moyen vaut environ 0,076. Je m’attendais à découvrir un nombre réel où le nombre pi intervenait. En gros, le quotient moyen semble compris entre 1/(4×pi) et 3/(4×pi²). Je n’ai pas d’autre information là-dessus, c’est à explorer…

Souvent, le nombre pi intervient dans des phénomènes aléatoires. C’est le cas pour l’expérience de probabilité de l’aiguille de Buffon. Pareillement pour la loi normale (avec les courbes de Gauss : voir ici http://upload.wikimedia.org/math/8/f/1/8f1da4cf31d40e7b18f29c22a78c7abd.png).

 

 

Deuxième exemple :

Certains d’entre nous ont entendu dire que le rapport entre la longueur réelle d’un fleuve ou d’une rivière et la distance à vol d’oiseau entre la source et l’estuaire serait égal au nombre pi.

Cela en parle dans cette page : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiCurios.htm

Je cite :

  • « 3,14 =rapport entre la longueur réelle d’un fleuve, et sa longueur à vol d’oiseau. Loi postulée par Einstein et constatée par Hans-Hendrick Stolum, spécialiste des sciences de la Terre. »

J’ai vérifié avec le cas de la Loire, un célèbre fleuve français. Selon les géographes, la Loire mesure 1006 km de long, lorsque l’on suit les sinuosités. Ayant moi-même localisé la position géographique de la source (dans l’Ardèche) et celle de l’estuaire (à St Nazaire), et grâce à un calcul que j’ai mis au point il y a quelques mois pour calculer la distance à vol d’oiseau (en suivant la rotondité terrestre) entre deux points de la surface du globe (grâce aux coordonnées GPS), j’ai établi que le rapport vaut 1006 / 562,56 = 1,7883, donc proche de 1,8, ce qui est franchement loin du nombre pi.

Remarque à propos de Wikipedia : l’article sur la Loire (fleuve) raconte que la longueur du fleuve est de 1006 km, mais d’autres articles dans Wikipedia (liste des fleuves français) racontent que la Loire est longue de 1012 km… Je me suis aperçu de ça sur Google, avec les mots clés : longueur Loire. Cela ne change pas grand chose dans mes présents calculs, heureusement, mais les contradictions rencontrées dans Wikipedia ne font pas de celle-ci une référence fiable… La validité d’une information ne se mesure pas à la rapidité de son accès sur le web, mais à son exactitude.

Poursuivre la vérification avec d’autres fleuves est long. J’ai donc développé un programme de simulation qui génère aléatoirement les « courbures » des méandres d’un fleuve. Si l’écoulement est isotrope, c’est-à-dire sans direction d’écoulement privilégiée, le rapport tend vers 10,36 à 10,37 (auquel cas le fleuve peut croiser ses propres méandres, ce qui ne correspond pas à ce qui se passe dans la nature). Cependant, si l’écoulement se dirige dans la direction du vecteur OP (1;1) qui passe par le point O (0;0), alors le rapport devient nettement plus faible (le fleuve dans son parcours ne fait pas intersection avec lui-même). Tout dépend des reliefs rencontrés par le fleuve dans une direction d’écoulement due aux pentes locales.

Sur l’appui des maths, je n’ai pas encore, pour le moment, des preuves que le rapport entre la longueur sinueuse d’un fleuve et de sa longueur à vol d’oiseau tendrait vers le nombre pi. L’anecdote sur Einstein qui aurait lui-même évoqué un tel rapport qui serait égal au nombre pi serait-elle une légende urbaine ?

Je n’ai actuellement aucune conclusion définitive. Néanmoins, le cas de la Loire montre concrètement que le rapport tend vers 2 plutôt que vers 3,1415927… C’est ce qu’affirme aussi ce site : http://www.pi314.net/fr/anecdotespi.php dont je cite : «Skolum (1996) vérifia que le rapport entre la longueur réelle et la longueur à vol d’oiseau (distance entre la source et l’embouchure) d’une rivière égalait en moyenne Pi . Ce rapport se retrouve davantage au Brésil ou dans la toundra sibérienne, mais cela reste à vérifier… Pour ma part, en France, je trouve que le rapport est à chaque fois plutôt proche de 2 (coïncidence, d’ailleurs ?). »   Le doute est donc légitime.

Affaire à suivre.

Élément nouveau : j’ai vérifié pour la Seine, sa longueur courbée vaut 776 à 777 km, et mon calcul indique que la distance à vol d’oiseau entre la source et l’estuaire vaut 400,26 km. La division indique que 777 / 400,26 = 1,94, ce qui est proche de 2. Mais pas du nombre pi.

© 2014 John Philip C. Manson

 

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