Géométrie plane des quadrilatères aux 4 côtés inégaux entre eux

Voici un article qui intéressera ceux qui possèdent ou étudient des parcelles du cadastre. Bien souvent, les parcelles de terrains sont rarement parfaitement proportionnées : en majorité, les parcelles sont rarement des carrés parfaits, ni des rectangles parfaits. En géométrie, on est bien obligé d’être capable de calculer des surfaces de façon fiable.

Cet article est une démonstration de géométrie plane qui montre que les approches intuitives cherchant à résoudre un calcul peuvent se montrer erronées.

Parmi les approches intuitives, faute de bonnes notions en géométrie, le calcul de l’aire d’un quadrilatère est souvent difficile et recherche une solution simpliste qui tente d’être proche de la bonne valeur. Le calcul des quadrilatères réguliers comme le carré, le rectangle et le parallélogramme est chose aisée, sachant qu’il est possible d’accéder aux équations. Mais dans le cas d’un quadrilatère dont les quatre côtés sont tous différents, il apparaît comme une évidence que les équations sont difficiles à trouver dans les livres ou même sur le moteur Google.

L’une de ces approches intuitives, faute d’avoir l’équation, consiste par exemple de calculer l’aire d’un quadrilatère en faisant le produit de la moyenne de chacun des côtés. Il y a de nombreuses années, je pensais que c’était une méthode pertinente qui s’approche du résultat. Mais je n’ai jamais pu conclure que cette approche simple aurait pu donner l’aire exacte du quadrilatère irrégulier.

Je présente dans cet article deux méthodes différentes, que j’ai mis au point le 24 et 25 février 2012 : la méthode pythagoricienne, qui consiste à emboîter des triangles-rectangles autour d’un carré ou d’un rectangle ; et la méthode analytique, qui consiste à prendre d’abord une forme carré ou rectangulaire à laquelle on retranche des surfaces de 4 triangles-rectangles (dans un plan cartésien quadrillé).

Méthode pythagoricienne :

  • On utilise d’abord une figure carré (ou rectangulaire). Je choisis un carré de côté de valeur égale à 3.
  • À ce carré, j’ajoute 3 triangles-rectangles identiques. Chaque triangle-rectangle a un côté adjacent égal à 3 (même longueur que le côté du carré, et un côté opposé égal à 2.
  • Les triangles-rectangles sont collés sur chaque côté du carré, par le côté adjacent (de longueur 3).
  • On a ainsi une figure formée d’un carré entouré de 3 triangles-rectangles, de façon à ce que la figure formée (donc un quadrilatère) a 4 côtés différents les uns par rapport aux autres.
  • Les côtés respectifs du quadrilatère ont les valeurs suivantes : 7, √29, √13 et √13. Dans mon cas, il existe exceptionnellement deux côtés identiques. Mais ce qui compte, c’est que les deux autres côtés soient différents.

Résultat : comme nous connaissons les 4 côtés inégaux du quadrilatère, l’approche intuitive qui consiste à multiplier la moyenne des deux longueurs par la moyenne des deux largeurs montre que l’aire est de 23,8378751 pour l’exemple illustré ici. Cependant, cette valeur intuitive est fausse. En effet, car la méthode pythagoricienne que j’ai développée montre que si l’on fait la somme de l’aire du carré et les aires des triangles-rectangles, on trouve la surface réelle du quadrilatère, qui vaut donc 20 exactement, et non pas 23,8378751 selon l’approche intuitive.

Ainsi, la conclusion montre que l’approche intuitive majore par erreur l’aire réelle du quadrilatère irrégulier. Une erreur qui se traduit par un excès d’aire de l’ordre de 19,2%, ce qui est beaucoup.

Méthode cartésienne analytique :

  • Dans un repère cartésien (axe des abscisses et axe des ordonnées), on pose 4 points de façon à obtenir un quadrilatère difforme si l’on relie les 4 points entre eux. On construit dans le repère cartésien un quadrilatère ABCD, tel que le point A se trouve sur l’axe des ordonnées, et le point D sur l’axe des abscisses. Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un carré FEGO (de côté 10).
  • Dans mon exemple pour l’application numérique, je fixe les coordonnées suivantes pour les points du quadrilatère choisi : A(0;6) B(9;10) C(10;5) D(4;0). Le carré FEGO a aussi les coordonnées suivantes : F(0;10) E(10;10) O(0;0) G(10;0).
  • On constate alors que AB différent de BC différent de CD différent de DA. On a donc AD = √60 = 2√15; AB = √97; BC = √26; CD = √61. Pour le calcul, on a appliqué le calcul de la norme entre deux points (selon la géométrie plane).
  • Ainsi, on a un carré FEGO dont l’aire est aisée à calculer. On a aussi désormais 4 triangles-rectangles : FAB, BEC, CGD, et AOD. Le calcul de l’aire du quadrilatère ABCD est l’aire du carré FEGO auquel on retranche les aires de chacun des 4 triangles-rectangles évoqués précédemment.

Résultat : l’approche intuitive consistant à évaluer approximativement l’aire de ABCD selon le produit des moyennes des côtés, ça conduit à imaginer une aire de 56,7077 pour ABCD. Le calcul de l’aire réelle selon la méthode analytique cartésienne prouve que l’aire réelle de ABCD vaut 52,5. L’approche intuitive donne donc une aire qui est environ 8% plus grande qu’elle ne l’est en réalité.

Conclusion générale : attention aux méthodes intuitives, elles peuvent conduire souvent à des erreurs. L’enjeu est le suivant : imaginez que l’on vous vende un terrain (dont les côtés sont inégaux) dont l’aire a été l’objet d’une estimation hasardeuse, vous craindriez que le prix de vente se révèle plus cher qu’il ne l’est en réalité, après lecture de mes deux méthodes de calcul à l’appui.

CQFD

 

 

Addendum du 29 février 2012 :

Je complète l’article en apportant une conclusion plus complète. Le calcul de l’aire d’un quadrilatère convexe quelconque est possible avec la formule de Héron appliqué aux triangles quelconques.

Un quadrilatère quelconque peut se décomposer comme deux triangles quelconques distincts séparés par une diagonale commune.

  • Soit un quadrilatère dont les côtés a, b, c, d sont inégaux entre eux.
  • Soit ‘e’ la diagonale qui sépare les côtés a et b avec les côtés c et d.
  • Je pose p = (a + b + e) / 2    et    p’ = (c + d + e) / 2
  • L’aire S  du quadrilatère irrégulier vaut donc S = √(p(p – a)(p – b)(p – e)) + √(p'(p’ – c)(p’ – d)(p’ – e))

 

Complément du 5 avril 2014 :

Je donne un exemple très simple. Prenons un carré au 4 côtés égaux, sa diagonale est égale à la racine carrée de 2.

On a donc : a = b = c = d = 1 et  e = 2.

Donc p = (a+b+e)/2 = (2 + 2)/2 = (c+d+e)/2 = p’ dans ce cas particulier.

Ensuite :

a = b = c = d = 1

e = √2

p = (a+b+e)/2 = (b+c+e)/2 = p’

x = √(p(p-a)(p-b)(p-e)) + √(p(p-c)(p-d)(p-e))

x = 1

Ce qui est correct : l’aire d’un carré de côté 1 vaut 1.

 

Complément du 1er octobre 2014 :

J’ai conçu une simulation informatique qui détermine l’erreur absolue sur l’aire d’un quadrilatère entre la méthode de Héron et la méthode biaisée des moyennes des côtés. Je connais quelqu’un qui croit à tort qu’on peut calculer la surface d’une aire d’un quadrilatère aux côtés inégaux en faisant les moyennes des côtés.

* Méthode biaisée des moyennes :   S = (a + c)(b + d) / 4

* Méthode de Héron (voir plus haut).

La quantification de l’erreur absolue sur le calcul :    erreur = (aire via Héron MOINS aire via les moyennes) / aire Héron

Voici le graphe dans l’intervalle d’erreur [-100%;+100%] :

Heron

La plus forte probabilité comme erreur sur le calcul de l’aire à cause de la méthode biaisée des moyennes montre que l’on peut se tromper le plus souvent sur une erreur de l’ordre de +10%. Cependant, au-delà de +10%, la probabilité d’erreur importante demeure non négligeable. Par conséquent, faire un calcul simpliste basé sur les moyennes des côtés pour calculer l’aire d’un quadrilatère aux côtés inégaux comporte un risque élevé de résultat inexact. Plus que toute autre méthode de calcul d’aire irrégulière, seule la formule de Héron permet de fournir des résultats pertinents.

  • En outre, on a environ 12% de probabilité de tomber sur un résultat (aire calculée avec la méthode biaisée des moyennes par rapport à Héron) dont l’erreur absolue est comprise entre -9,9% et +9,9%.
  • Il y a environ 0,5% de probabilité de tomber sur un résultat exact à deux décimales près avec la méthode biaisée. C’est-à-dire ici un risque de 99,5% de se tromper si on utilise la méthode biaisée !
  • Et 0,03% de probabilité de tomber sur un résultat exact à trois décimales près avec la méthode biaisée. C’est-à-dire ici un risque de 99,97% de se tromper si on utilise la méthode biaisée.

 

© 2012-2014 John Philip C. Manson

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