A quoi servent les dérivées et les équations différentielles ?

  • A quoi servent les dérivées et les équations différentielles ?

Au lycée, on nous enseigne comment calculer des dérivées et des équations différentielles, mais j’ai remarqué qu’il est fréquent que les profs de maths ne nous expliquent pas à quoi ça sert. Et pourtant, c’est intéressant d’apprendre à quoi cela peut bien servir.

 

Exemple concernant les dérivées

On a appris comment calculer des dérivées. Par exemple, la dérivée de y = ax^4 + bx^3 + cx² +  dx + e est y’ = dy/dx = 4 ax^3 + 3 bx² + 2 cx + d.

Mais à quoi ça sert ?

Cas pratique : le tir à la verticale, suivi d’une chute libre.

Lorsqu’une bouteille de champagne éjecte verticalement un bouchon de liège, on peut décrire la trajectoire verticale sous la forme de cette fonction :    z(t) = vt – (1/2)gt²

z est la hauteur à l’instant t, et où t est le temps écoulé depuis l’éjection du bouchon de liège.

Exemple : le bouchon est éjecté à une vitesse de 40 km/h, veuillez calculer la hauteur maximum atteinte par le bouchon de champagne.

La fonction z(t) est une parabole. L’altitude maximale z_max correspond à l’instant auquel la pente de la fonction devient nulle (donc quand le bouchon cesse de monter en l’air et quand ce bouchon n’a pas encore commencé à tomber vers le sol).

Quand la pente de la fonction z(t) est nulle, alors il faut calculer une dérivée dz/dt qui soit nulle, soit dz/dt = 0. Quand une courbe est croissante (ici donc avant d’atteindre l’altitude maximum), sa dérivée est positive, et quand la courbe décroît (quand le bouchon retombe) alors sa dérivée est négative. La dérivée est nulle au point correspondant à l’altitude maximum.

Dérivée :    dz/dt = v – gt = 0

donc : t = v/g

On remplace ensuite t dans la fonction par v/g :

z_max = v²/g – (g/2)(v/g)² = v²(1/g – 1/g²)

Sachant que 40 km/h équivaut à 11,11 m/s, alors l’altitude maximum atteinte par un bouchon de liège en tir vertical sera z_max = 11,11²*(1/9,81 – 1/9,91²) = 11,3 mètres.

Maintenant on comprend mieux l’utilité des dérivées.

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Exemples multiples concernant les équations différentielles

En Terminale de lycée, on a appris comment résoudre les équations différentielles. Mais là aussi, comme pour les dérivées, il est fréquent que les élèves ne soient pas informés de leur utilité. Moi-même non plus je ne savais pas à quoi ces équations pouvaient servir. Au bac, j’avais réussi à avoir la moyenne à l’épreuve de maths grâce à ces fameuses équations différentielles, j’avais réussi l’épreuve de maths, puis obtenu mon diplôme, mais en quittant le lycée, bien que je savais résoudre les équations différentielles, je ne savais toujours pas à quoi en quoi elles pouvaient être utiles… Je me suis toujours demandé pourquoi les profs de maths ne donnaient pas d’exercices portés sur des cac concrets. Sans des exemples pratiques, on ne peut pas convaincre les élèves de l’utilité des mathématiques, pour eux ça reste toujours trop abstrait. C’était aussi mon sentiment : l’idée que les maths sont intéressantes, mais que l’on peut motiver les élèves par des exemples intéressants incitant à un travail personnel de recherche. Sans des exemples concrets, ça n’explique rien.

C’est après de nombreuses années après mes études universitaires que je me suis remis aux maths, grâce à l’apparition d’Internet dans nos vies. J’avais toujours gardé l’impression que mes acquis en maths étaient restés trop incomplets. J’ai même fini par améliorer mon niveau en maths, en potassant sur mes lectures sur les maths à travers le web, surtout pour combler mes lacunes. Mais sur le web, aussi, on y apprend à résoudre des dérivées et des équations différentielles, et les cours de mathématiques sont nombreux, et certains cours sont assez riches en détails : le web est un el dorado pour les lycéens. Mais il est assez difficile de trouver à quoi toutes ces connaissances servent…

A travers le web francophone global : très dur de trouver une utilité pratique à nos équations. Mais j’ai fini par filtrer les recherches sur Google, en limitant les résultats aux blogs scientifiques dont le contenu est souvent intéressant. 😉

J’ai trouvé des exemples de problématiques conduisant à la résolution d’équations différentielles. Les voici ci-dessous.

  • Cas d’une grandeur non nulle qui évolue temporellement à une vitesse proportionnelle à elle-même.

y’ = k*y

Solution :   y(t) = C * e^(k*t)

k et C sont des constantes.

 

  • Cas de la loi de refroidissement de Newton : la vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant.
y’ = k*(T_max – y)
dont la solution est :   y(t) = C * e^(k*t) + T_max = (T_max – T_amb)*e^(k*t)
avec y(t) la température du corps à l’instant t, et T_max la température initiale, et T_amb la température ambiante. La fonction décroît exponentiellement et tend vers la température ambiante.
Ainsi il est possible de prédire la température d’une substance après un certain temps. La constante k (où k < 0) dépend du type de substances (les objets ne refroidissent pas tous à la même vitesse, ils ont leur propre caractéristique).
  • Cas de la dissolution d’une substance soluble dans un solvant
La vitesse de dissolution est proportionnelle à la quantité non encore dissoute.
Formule similaire à celle de la loi de Newton.
y’ = k(m – y)
m désigne la masse initiale non encore dissoute.
  • Cas de l’évolution du taux sanguin d’alcoolémie
Contrairement à une croyance répandue, le taux d’alcoolémie ne décroît pas linéairement mais exponentiellement. Vous voyez, on apprend des trucs inédits grâce aux équations différentielles.
Sit y(t) le taux d’alcoolémie en fonction du temps.
y’ + y = k*e^(-t)
où la constante k dépend des conditions expérimentales, il s’agit de la masse d’alcool absorbé (en grammes) si la fonction (taux d’alcoolémie) s’exprime en g/L.
Je crois que y(t) = C*e^(-t) + k*t*e^(-t)
La fonction y(t) montre bien une courbe qui croît, puis se stabilise et décroît.
Comme on sait que la condition initiale est y(0) = 0, alors :
y(t) = k * t * e^(-t) parce que C = 0.
Exemple : avec k = 5 grammes d’alcool, on constate que le taux maximum d’alcoolémie est atteint lorsque dy/dt = 0, soit après t = 1 heure.
Je remarque que l’intégrale de y(t) dans l’intervalle x=0 à x = infini est égale à la masse initiale d’alcool absorbé.
Notons que les équations différentielles peuvent servir à de très nombreux cas concrets :
  • L’évolution de la décharge d’un condensateur électrique.
  • L’évolution de la vitesse de descente d’un parachutiste en tenant compte de la résistance de l’air (d’après la relation fondamentale de la dynamique : la somme du poids et de la résistance de l’air est égale à la masse multipliée par l’accélération).
  • La courbe du chien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_du_chien
  • Les progrès de l’informatique et de la prévision météorologique permettent de modéliser le déplacement des panaches volcaniques (quand ils sont importants et tant qu’ils ne sont pas trop dilués).
  • Les fameuses équations de Navier-Stokes qui servent à modéliser le mouvement des fluides.
  • La loi de désintégration radioactive où la vitesse de désintégration d’un corps radioactif est proportionnelle à la quantité de matière non encore désintégrée. L’activité dy/dt (en Bq) est égale à k*y où k est une constante, et y(t) désigne le nombre de noyaux atomiques encore disponibles à l’instant t. Solution : y(t) = y0 * e^(k*t)k < 0 et avec y0 la quantité initiale du radio-élément.
  • Application dans les finances : l’évolution d’un capital selon le taux d’intérêt.
  • Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l’électromagnétisme.
  • La progression des épidémies, des virus informatiques, ou l’évolution de la démographie, la croissance des cellules d’une tumeurs malignes (hé oui, les équations différentielles peuvent servir à combattre le cancer ou les maladies infectieuses).
  • Dans un circuit électrique, la relation entre la tension U, l’intensité I, la résistance R, et l’inductance L est cette équation différentielle : U = L*(dI/dt) + R*I.
  • L’équation de la chaleur a permis de décrire la diffusion thermique, les aspects du mouvement brownien, et en mécanique quantique l’équation de Schrödinger.
  • La théorie du chaos.
  • La théorie de la relativité générale.
  • Et caetera…

Il est beaucoup plus motivant d’apprendre et progresser en maths avec des cas concrets qui stimulent la curiosité et l’envie de ccontinuer à chercher. Exceptés des domaines comme la théorie des nombres, l’absence de cas concrets comme moyen d’apprentissage des maths ne suscite pas l’intérêt, alors que ça sert à de nombreuses applications utiles dans le domaine de la physique ainsi qu’aussi dans la vie courante.

Mais un truc m’inquiète : en 2015, je constate parmi les sujets les plus probables à l’épreuve de maths du BAC 2015 (pour toutes les filières), l’absence troublante des équations différentielles. Ont-elles fini par disparaître du programme scolaire de Terminale ? Si c’est le cas, c’est inquiétant…

John Philip C. Manson

 

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