Numb3rs et les mathématiques

Je ne connaissais pas la série TV « Numb3rs »… jusqu’à samedi dernier.

En 2005, j’avais entendu parler de cette série américaine, mais je n’avais jamais eu l’occasion de la regarder. J’ai visionné par curiosité le premier épisode (le pilote) sur le web.

J’avais d’abord des aprioris sur la crédibilité de la série en ce qui concerne les maths. Mais il fallait regarder pour vraiment évaluer. Je m’attendais à trouver des élucubrations proches du mysticisme de la numérologie, mais l’hypothèse formulée par l’acteur qui interprète le rôle d’un brillant mathématicien m’a paru crédible et intéressante.

En effet, des crimes sont commis (au hasard, semble t-il) dans une grande ville (Los Angeles je crois), et un agent du FBI veut arrêter l’odieux criminel. Le frère de l’agent fédéral est un matheux, et celui-ci énonce une hypothèse basée sur un arroseur automatique dans un jardin : on ne sait pas quand ni où les gouttes d’eau vont tomber, mais on peut déterminer approximativement au moyen des statistiques et des probabilités la position de l’arroseur. Et on transpose cette analogie à l’action du criminel, que l’on pourrait approximativement localiser géographiquement à partir des divers lieux des crimes.

Hélas, je n’ai pas pu lire l’équation du mathématicien de la série Numb3rs. Mais à partir de zéro, j’ai développé moi-même des calculs, je me suis basé sur la densité de probabilité imprimée sur la carte de la ville qui était examinée avec soin par les agent du FBI, dans l’épisode. Mais mon équation est certainement différente de celle conçue par le matheux, je pense que le personnage s’est basé sur une distribution statistique normale centrée sur x=0 mais ce n’était pas lisible sur l’écran. Moi, je me suis basé sur une équation différentielle : le criminel n’agit pas trop près de son propre domicile sinon il se ferait choper, et le criminel n’agit pas trop loin non plus de son domicile, alors le criminel agit dans des lieux selon une distance de confort, une distance optimale. Dans mon équation différentielle, la somme de la fonction et de sa dérivée est proportionnelle à une décroissance exponentielle qui dépend de la distance de domiciliation du criminel.

Si les données apparentes de l’hypothèse du matheux, dans l’épisode de la série Numb3rs, sont fiables, alors la probabilité du lieu de domiciliation du criminel (ce que j’appelle épicentre, sur un plan de coordonnées (0;0) est égale à 1/e = 0,36788, tandis que la majorité des crimes se produisent à environ 2 km de cet épicentre, crimes dont la probabilité de domiciliation du tueur vaut 1/(2e) = 0,18394.

Mon équation probabiliste, par rapport à (0;0) étant le point sur le plan, auquel la probabilité de domiciliation du criminel est maximale, est la suivante :

  • P(x) = -(kx – 1) * e^(-kx – 1)
  • Dans le contexte de l’épisode pilote de Numb3rs :  k = 0,157461.
  • Ce qui donne :  P(x) = -(0,157461x – 1)*e^(-0,157461x – 1). Où P(2)/P(0) = 1/2. Avec x exprimé en kilomètres.
  • Par conséquent, le lieu d’un crime existe significativement (statistiquement) si sa probabilité est d’au moins 5%, c’est-à-dire dans un rayon d’action maximum de 4,58 km par rapport à l’épicentre.

 

 

Les mathématiques sont souvent très utiles, et on ne le montre pas assez.

John Philip C. Manson

 

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