Combien de temps durerait une chute dans un tunnel qui traverse la Terre ?

Je résume brièvement.

Et si l’on creusait un tunnel à travers la Terre et que l’on sautait à l’intérieur ?

Alors combien de temps faudrait-il pour arriver jusqu’à l’autre extrémité ? Depuis près de 50 ans, les scientifiques affirment qu’il faudrait 42 minutes et 12 secondes pour traverser un tunnel creusé à l’intérieur de la Terre mais une étude publiée en 2015 leur a donné tort. Ces recherches ont été menées par Alexander Klotz de l’Université McGill à Montréal et ont permis de conclure qu’il en fallait moins (à cause de la densité non uniforme de la Terre).

 

Je me suis penché sur cette problématique, et je me suis basé sur la densité moyenne uniforme de la Terre, comme pour les calculs d’il y a 50 ans.
Une chute libre suit une accélération dans un tunnel en passant par le centre de la Terre.
J’ai tenu compte de la variation de l’accélération de la pesanteur en fonction de la distance parcourue.
Je pose alors g(z) = 9,81 / ((4 R^3 / (z²(3R – z))) – 1)
et aussi z(t) = (1/2) * g(z) * t²
Avec R = 6371000 m (rayon terrestre moyen), z = distance parcourue dans le tunnel, par rapport au point d’origine situé au niveau de la mer.
Calculer la durée à travers du demi-tunnel est tout simple, avec la condition suivante :  z = R. Donc t = 2R/g.
Temps pour parcourir le tunnel entier :   t =  4 R / g = 2 fois 1298,88 secondes, soit 43 minutes et 18 secondes.
Je trouve donc un résultat très proche de la valeur connue jusqu’en 2015.
Évidemment, comme la Terre a une densité variable selon sa profondeur (la densité n’est pas constante dans la réalité), on appelle cela un gradient de densité, cela change forcément le contenu des calculs.
Tout lycéen de Terminale S (niveau Bac S) sait normalement calculer tout cela.