Exercice de maths proposé aux bacheliers écossais

  • Un exercice de mathématiques au Bac en Ecosse a posé tellement de difficultés aux candidats au bac écossais que le barème de l’épreuve a dû être revu…

Jugeant l’exercice du crocodile trop difficile au même titre que l’ensemble de l’examen, les candidats écossais au Higher Maths exam, l’équivalent de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat français, ont lancé une pétition en mai 2015. Intitulée « Expliquez-nous pourquoi l’examen de mathématiques a été élevé à un niveau impossible », elle a recueilli plus de 11 000 signatures, aboutissant à un abaissement de la note requise lors de cette épreuve pour obtenir le diplôme.

Je vais démontrer ici pourquoi le niveau en maths a vraiment baissé par rapport à autrefois, par l’examen analytique du problème. C’est catastrophique au même titre que ce qui se passe en France : le nivellement par le bas.

Un exercice de niveau Terminale, croyez-vous ? Non, moi je dirais plutôt de niveau 4e de collège… On va voir pourquoi.

L’exercice demande d’estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon s’il se déplace dans l’eau ou sur terre.

« Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court.

Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. »

 

Tout d’abord, pour résoudre le problème, on va examiner l’équation et le schéma.

Une vitesse c’est une distance divisée par un temps. Donc le temps est égal à une distance divisée par une vitesse.

Vous remarquez que le trajet dans la rivière est une hypoténuse de triangle-rectangle. Je pose R la largeur de la rivière, puis L la longueur de l’hypoténuse, et on a x (déjà défini) qui est le 3e côté.

On sait avec Pythagore que R² + x² = L². C’est classique.

Je pose T1 tel que T1 = L / V1, où T1 est le temps parcouru exclusivement dans la rivière, et où V1 est la vitesse du crocodile dans la rivière.

Je pose T2 tel que T2 = (20 – x) / V2, où T2 est le temps parcouru exclusivement sur terre, hors de la rivière, et où V2 est la vitesse du crocodile sur la terre ferme.

Je pose T(x) = T1 + T2, pour avoir T(x) qui est la durée total des trajets.

Mais aussi, on a T1 = L / V1 = (x² + R²)^(1/2) / V1. On obtient donc la forme T(x) = [(x² + R²)^(1/2) / V1] + [(20 – x) / V2] qui est exactement la forme de l’équation de l’énoncé : T(x) = 5(36+x²)^(1/2) + 4(20-x).

Pour le calcul du temps le plus court, il est alors exclu que le crocodile se déplace uniquement en rivière, ou uniquement sur terre, il y a obligatoirement une étape en rivière et une étape sur terre ferme.

Pour calculer le temps T(x) le plus court, on remarque que la fonction atteint un point x où T est minimum, alors on calcule la dérivée dT(x)/dx = 0, et je trouve x = 8 mètres. Pour les autres valeurs de x, le temps est plus long.

Si on pose x = 20 mètres, alors le crocodile ne fait que nager, sans étape sur terre ferme. Une partie  de l’équation s’annule, et on aura T(x) = (x²+R²)^(1/2) / V1 = 5(36+20²)^(1/2) = 104,4.

Si on pose x = 0 mètre, alors le crocodile ne fera que marcher sur terre ferme, hors de la rivière (excepté le trajet R), et T(0) = 110.

Tandis qu’avec x = 8 mètres, on aura le temps le plus court : T(8) = 98.

J’ai répondu aux trois questions de l’exercice, cela n’a pris que quelques minutes… Affirmer que l’exercice est insoluble, c’est se foutre du monde, vraiment !

Au fond, le problème n’est pas les maths. Le problème des élèves est simple : ils ne savent pas lire un énoncé, par incompréhension de leur propre langue maternelle, et aussi parce qu’ils n’ont pas appris à réfléchir et à raisonner. Sans ces clés, on ne peut rien produire de bon en maths.

Peut-être que certains trouveront que j’exagère. Non, je suis sérieux.

  • Autre preuve : un exercice ci-dessous datant de 1950, à l’épreuve du certificat d’études, en France, et destiné à des jeunes de 13 ou 14 ans.

« La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims démarre de la gare de l’Est à 8h30 et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express part de Reims en direction de Paris à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. A quelle heure se croiseront-ils et à quelle distance de Paris ? »

Solution : les trains se croisent à 9h59 à 89 km de Paris. La solution tient en une équation assez simple.

Quand on donne cet exercice à des élèves de Terminale, il y a des surprises… Certains n’y parviennent pas. C’est une réalité propre à notre époque. C’est catastrophique…

 

 

Comment donner le goût d’apprendre ?

Comment donner le goût d’apprendre ? C’est une question difficile, tant parce que tous les gens sont différents que par les méthodes que l’on ne peut pas généraliser. Je pense qu’il existe autant de méthodes que d’élèves.

Si l’illettrisme des jeunes est un problème préoccupant, il y en a un qui l’est tout aussi : l’illusion de connaître. Croire savoir est aussi périlleux que de ne pas savoir lire et écrire. Croire toutes les infos comme vraies, c’est aller droit dans le mur. Apprendre, voila un mot dont le sens doit être soigneusement approfondi. Apprendre quoi ? Pour qui ? Pourquoi ? Se poser des questions est toujours sain. Mais donner des réponses toutes faites, définitives, c’est risquer de ne pas avancer.

Apprendre à lire et à écrire, c’est une étape très importante de la vie. Mais cela n’est qu’une partie des outils nécessaires à notre vie. Il faut aussi apprendre à différencier les infos, à les disséquer pour évaluer leur pertinence, exiger des faits. L’aptitude au questionnement critique est indissociable de la capacité de lire et d’écrire. Savoir lire et écrire ne suffit pas. On peut être capable de bien lire mais sans avoir de recul critique, sous peine de croire n’importe quoi. Il n’y a qu’à voir par exemple l’inquiétude de certains internautes qui croyaient à l’imminence de la fin du monde du 21 décembre 2012. Je pensais que ces peurs irrationnelles appartenaient à une autre époque (le haut Moyen-Âge), mais cela perdure toujours, malgré que tout le monde aille à l’école…  C’est affligeant…

Le manque d’attitude critique est un vrai problème de société. La crédulité peut faire des ravages et conduire à des dérives, comme les sectes et le business du paranormal.

Nier la nécessité de l’esprit critique, c’est comme empêcher les gens de lire et d’écrire. C’est au même niveau. La négligence de cette priorité se paye par une lente dégradation de la pensée. Ne pas savoir lire ni écrire est un problème (ce n’est pas un crime non plus, il n’y a évidemment pas de coupables mais seulement des victimes), mais l’absence d’esprit critique est aussi un problème sérieux.

De nos jours, avec cette merveille qu’est Internet, beaucoup prennent l’habitude (mauvaise) de copier et de coller du texte pour relayer des informations, sans même y faire la moindre analyse objective. C’est fréquemment le cas des élèves qui recherchent sur Google et qui puisent dans l’encyclopédie Wikipedia le plus souvent. Le patient travail de documentation, ça devient apparemment pénibles pour certains. Certains sont tentés par le plagiat (des élèves, par facilité, pompent des textes pour faire leurs devoirs). D’autres, très nombreux, se satisfont des réponses simples, toutes faites, et ne se posent pas de véritables questions, ni ne remettent rien en question (ils devraient pourtant se botter violemment le Q dès le matin).

Il n’existe pas d’informations infaillibles. La fiabilité des informations n’est jamais garantie d’avance. Ni dans les livres, ni sur Internet. Seul un travail d’analyse permet d’évaluer la solidité des infos.

Il ne faut jamais prendre l’habitude de considérer la lecture, l’écriture et encore moins l’esprit critique comme une corvée que l’on doit s’acquitter le plus rapidement possible… Lire, écrire, analyser, ce sont des outils utiles et indispensables.

Accéder à la connaissance repose sur une méthode assez simple, mais qui demande du travail et de la volonté. Vouloir apprendre, voila la base. Explorer, enquêter, y trouver du plaisir, c’est comme un jeu ou un loisir. Mais prendre des outils essentiels comme une corvée pénible, c’est se destiner à ne rien faire. Lire, écrire, douter, ça ne s’applique pas forcément aux domaines intellectuels comme les sciences, cela peut concerner le bricolage et les inventions, voire l’artisanat. Dans ces activités-là, aussi, on trouve toujours l’occasion de devoir se documenter pour appliquer une méthode, innover ou créer quelque chose en expérimentant, découvrir une connaissance, ou même transmettre un savoir-faire.

Apprendre ? Il faut commencer par le vouloir. Ensuite, il est bon de savoir qu’il faut de la patience. Aller vite ne sert à rien et c’est contre-productif. Une corvée apparente peut se révéler comme un véritable outil utile, parce qu’il existe au moins toujours une situation où un apprentissage s’applique dans un contexte plaisant et ludique. Puis il faut de l’auto-discipline, être responsable face à son devoir. Vraiment, ça n’a pas d’importance en ce qui concerne qui arrivera premier ou dernier, chacun a son rythme, pourvu que l’on y arrive. Apprendre, c’est un défi d’abord lancé à soi-même et pour soi-même ; ce n’est pas une compétition entre des rivaux qui comparent leurs notes de leurs devoirs de classe.

Apprendre, c’est aussi vouloir avancer, et pour cela il faut ignorer ce venin nauséabond que sont les critiques négatives pessimistes dévalorisantes humiliantes (souvent les marchands de conseils qui vous prennent de haut ne connaissent absolument rien du domaine qui vous concerne). Pour avancer, il faut juste se poser les vraies bonnes questions, et admettre aussi les critiques quand celles-ci sont fondées et quand elles sont constructives.

Si apprendre était vraiment une corvée insurmontable dans tous les domaines, la vie serait insupportable… On a pourtant tous appris à marcher ou à faire du vélo, et pourtant ce ne sont pas les chutes accidentelles qui ont arrêté notre détermination et notre motivation. Sinon, nous marcherions tous à 4 pattes.  😉

Je pense qu’il est plus urgent que l’école se réadapte pour remplir ses objectifs, plutôt que de pointer du doigt les mauvaises habitudes critiquées sans que rien ne soit fait pour que ça change. En commençant par exemple à armer les élèves d’esprit critique, et trouver une façon ludique de le faire.

Apprendre n’est pas inné. Et nous disposons autant de temps les uns par rapport aux autres. Tout est affaire de gestion du temps, de ce qu’on en fait. Est-ce que ce que l’on fait est vain (avec le sentiment proche de tout abandonner) ou doit-on continuer à croire (et surtout de connaître) la valeur de notre travail malgré tout ? The show must go on ! Oh yeah !

  • À voir : http://fannypissoort.wordpress.com/2012/04/24/quest-ce-que-lesprit-critique/ (ce blog remarquablement bien écrit était prometteur mais il semble abandonné depuis mai 2012, avec seulement quelques articles en tout, mais le but n’est-il pas que les internautes développent et utilisent l’esprit critique par eux-mêmes et pour eux-mêmes à partir d’une base simple ?). 

© 2013 John Philip C. Manson

Communiqué à propos de Shouryya Ray et de la soi-disant énigme posée par Newton

En ce qui concerne la médiatisation sur le jeune Shouryya Ray qui aurait résolu une énigme posée par Newton, le temps est venu de replacer les choses dans leur contexte.

Pour en savoir plus, veuillez regarder cette source officielle http://tu-dresden.de/die_tu_dresden/fakultaeten/fakultaet_mathematik_und_naturwissenschaften/fachrichtung_mathematik/institute/analysis/chill/dateien/CommentsRay.pdf et notamment le dernier paragraphe.

  • Voici la traduction en français du dernier paragraphe du document PDF :
  • Les auteurs du texte sont les Pr Dr Ralph Chill et Pr Dr Jürgen Voigt, experts allemands (université de Dresde) : «Pour conclure, Shouryya Ray a obtenu des solutions analytiques du problème, […], et en appliquant un résultat récent de D. Dominici dans le but d’obtenir une formule récursive pour les coefficients de la représentation des séries de Ψ. Il a alors validé ses résultats numériquement. Il a donné le niveau des prérequis qu’il a eu, il a fait un grand progrès. Néanmoins, toutes ses étapes sont basiquement connues des experts, et nous soulignons qu’il n’a pas résolu un problème ouvert posé par Newton. Nous ne savons pas comment cette déclaration est entrée dans plusieurs journaux. Apparemment, cette déclaration n’était pas approuvée par les experts, dans le champ qui doit avoir été impliqué dans l’évaluation du travail. Nous espérons que ce petit texte donne l’information nécessaire à la communauté des mathématiques, et que cela permette à la communauté de remettre à la fois cela dans le contexte et d’apprécier le travail de Shouryya Ray qui planifie de commencer une carrière dans les mathématiques et la physique.»

J’ai également consacré un long dossier sur cette affaire : https://jpcmanson.wordpress.com/2012/06/01/shouryya-ray-lheure-de-verite/

  • Le travail de Shouryya Ray est authentique, mais il ne s’agit pas d’une résolution d’un problème ouvert posé par Newton il y a plus de 3 siècles, car les étapes réalisées par Ray sont basiquement connues des experts.
  • The Shouryya Ray’s work is authentic, but it is not a resolving of an open problem posed by Newton, more than three centuries ago, because the steps performed by Ray are basically known by experts.
  • El trabajo de Shouryya Ray es auténtico, pero no es una resolución de un problema abierto propuesto por Newton hay más de tres siglos, ya que los pasos realizados por Ray son básicamente conocidos por los expertos.
  • Die Arbeit von Ray Shouryya ist authentisch, aber es ist nicht eine Auflösung von einem offenen Problem von Newton stellte es gibt mehr als drei Jahrhunderten, da die Schritte von Ray durchgeführt grundsätzlich an Experten bekannt sind.

Veuillez diffuser largement cette information auprès des journalistes.

J’ai mis en suivi cette actualité et en cette mi-juin 2012, je constate que des journalistes continuent encore de diffuser des inexactitudes ! J’ai prévenu plusieurs sites en leur laissant un commentaire, mais je ne peux pas tous les prévenir…

© 2012 John Philip C. Manson

L’étudiant

Voici une fable intéressante.

 

Voici l’histoire d’un professeur à propos d’un étudiant. Il estimait qu’il devait lui donner un zéro à une question de physique, alors que l’étudiant réclamait un 20. Le professeur et l’étudiant se mirent d’accord pour choisir un arbitre impartial et je fus choisi. Je lus la question de l’examen : “Montrez comment il est possible de déterminer la hauteur d’un building à l’aide d’un baromètre”. L’étudiant avait répondu: “On prend le baromètre en haut du building, on lui attache une corde, on le fait glisser jusqu’au sol, ensuite on le remonte et on calcule la longueur de la corde. La longueur de la corde donne la hauteur du building.” L’étudiant avait raison vu qu’il avait répondu juste et complètement à la question. D’un autre côté, je ne pouvais pas lui mettre ses points : dans ce cas, il aurait reçu son grade de physique alors qu’il ne m’avait pas montré de connaissances en physique. J’ai proposé de donner une autre chance à l’étudiant en lui donnant six minutes pour répondre à la question avec l’avertissement que pour la réponse il devait utiliser ses connaissances en physique. Après cinq minutes, il n’avait encore rien écrit. Je lui ai demandé s’il voulait abandonner mais il répondit qu’il avait beaucoup de réponses pour ce problème et qu’il cherchait la meilleure d’entre elles. Je me suis excusé de l’avoir interrompu et lui ai demandé de continuer. Dans la minute qui suivit, il se hâta pour me répondre: “On place le baromètre à la hauteur du toit. On le laisse tomber en calculant son temps de chute avec un chronomètre. Ensuite en utilisant la bonne formule connue par tous, on trouve la hauteur du building”. A ce moment, j’ai demandé à mon collègue s’il voulait abandonner. Il me répondit par l’affirmative et donna presque 20 à l’étudiant. En quittant son bureau, j’ai rappelé l’étudiant car il avait dit qu’il avait plusieurs solutions à ce problème. “Hé bien, dit-il, il y a plusieurs façon de calculer la hauteur d’un building avec un baromètre. Par exemple, on le place dehors lorsqu’il y a du soleil. On calcule la hauteur du baromètre, la longueur de son ombre et la longueur de l’ombre du building. Ensuite, avec un simple calcul de proportion, on trouve la hauteur du building.” Bien, lui répondis-je, et les autres ? À quoi l’élève répondit: “Il y a une méthode assez basique que vous allez apprécier. On monte les étages avec un baromètre et en même temps on marque la longueur du baromètre sur le mur. En comptant le nombre de trait, on a la hauteur du building en longueur de baromètre. C’est une méthode très directe. Bien sûr, si vous voulez une méthode plus sophistiquée, vous pouvez prendre le baromètre à une corde, le faire balancer comme un pendule et déterminer la valeur de g au niveau de la rue et au niveau de toit. À partir de la différence de g la hauteur de building peut être calculée. De la même façon, on l’attache à une grande corde et en étant sur le toit, on le laisse descendre jusqu’à peu près le niveau de la rue. On le fait balancer comme un pendule et on calcule la hauteur du building à partir de sa période de balancement.” Finalement, l’élève conclut: “Il y a encore d’autres façons de résoudre ce problème.
Probablement la meilleure est d’aller au sous-sol, frapper à la porte du concierge et lui dire: “J’ai pour vous un superbe baromètre si vous me dites quelle est la hauteur du building.” »
J’ai ensuite demandé à l’étudiant s’il connaissait la réponse que j’attendais. Il a admis que oui mais qu’il en avait marre du collège et des professeurs qui essayaient de lui apprendre comment il devait penser. Pour l’anecdote, l’étudiant était Niels Bohr (prix Nobel de Physique en 1923) et l’arbitre Ernest Rutherford (prix Nobel de Chimie en 1908).