mesure

Peut-on mesurer mathématiquement et objectivement les compétences des élèves ?

Avec Alfred Binet vers 1905, le concept psychométrique de QI a permis d’évaluer l’âge mental par rapport à l’âge mental moyen scolaire, afin de détecter des retards du développement. Le QI, à la base, ne mesure pas l’intelligence…

Sur un principe similaire (la courbe de Gauss), peut-on évaluer objectivement et mathématiquement les élèves d’une classe ? Je pense que oui, même si actuellement la notation par les profs est souvent subjective…

Comme exemple, je vais me baser sur le concept de QCM, un questionnaire basé sur 30 questions dont chaque question a une seule bonne réponse possible parmi 4 réponses proposées. Bref, un QCM rempli par un élève aura alors entre 0 bonne réponse (devoir noté 0/20) et 30 bonnes réponses (devoir noté 20/20).

Mais doit-on noter le QCM de façon proportionnelle, tel que le nombre de bonnes réponses est proportionnel à la notation sur 20 ? Non, et je vais expliquer pourquoi.

En fait, la conversion du nombre de bonnes réponses en note sur 20 est une loi logarithmique. En effet, à chacune des questions du QCM, il existe une probabilité de 1 chance sur 4 d’avoir une bonne réponse par question. Par conséquent, si un élève répond au hasard complètement au QCM, il aura en moyenne 7 bonnes réponses sur 30, dans ce cas on ne pourra pas lui attribuer une note de 7 sur 30, c’est-à-dire 4,66 sur 20. Obtenir un gain après avoir répondu au hasard, ce n’est pas légitime. Il faut donc prouver que l’on peut réaliser un score meilleur que le pur hasard, pour se démarquer de façon statistiquement significative. D’où une échelle logarithmique de conversion.

 

  • Entre 0 et 7 bonnes réponses sur 30, la note sera de 0/20. Dans cet intervalle, un élève connaît forcément les bonnes réponses mais aura choisi délibérément de mettre des réponses fausses. Même si c’est rare que ça arrive de faire zéro bonne réponse au hasard, sauf si l’élève ne répond pas du tout aux questions, c’est éliminatoire.
  • Avec 7 bonnes réponses, c’est le score le plus fréquent obtenu en moyenne par le hasard. Aucun point n’est attribué : 0/20. La note devient supérieure à zéro sur 20 au-delà de 7 bonnes réponses au QCM. C’est logique.
  • À partir de 12 points sur 30, la différence devient significative statistiquement (p-value = 0,05, distanciation de 2 écarts-types, et d’après la loi binomiale), auquel cas la note sera la moyenne : 10/20. L’écart-type est égal à 2,37.
  • À partir de 14 ou 15 points sur 30,  une nouvelle significativité (p-value = 0,01, distanciation de 3 écarts-types, et selon la loi binomiale), auquel cas la note sera de 12/20.
  • Enfin, avec 30 points sur 30, la note sera évidemment de 20/20. Mais la fonction dans son ensemble dans l’intervalle [7 ; 30] est logarithmique.
  • Équation approximative : note sur 20 = 13,51 * ln (0,1561 * bonnes réponses).
  • Il est possible d’ajuster autrement la notation : on pourrait par exemple attribuer 8/20 pour 12 points sur 30, mais cela ne changera que peu la courbe. Reste à définir correctement ce seuil. Le but de l’évaluation ici, c’est de voir l’effort fourni par rapport au hasard.

 

Voila ce que ça donne graphiquement, en première approximation :

 

L’intérêt d’un QCM correctement calibré est de mesurer le plus fiablement possible la quantité d’effort intellectuel par rapport à ce qu’on obtiendrait au hasard

Tu joues au hasard ? Donc tu n’as fait aucun effort, alors zéro pointé… Un peu d’effort afin de s’éloigner du hasard ? Tu gagnes alors des points. Mais plus l’effort sera important, plus ça devient dur d’essayer d’atteindre 30 bonnes réponses aux 30 questions du QCM (croissance logarithmique). C’est simple. Quel meilleur arbitre existe t-il de mieux que le hasard et de se mesurer contre lui ? C’est mieux que la subjectivité des profs dont les notes données à un élève varient sensiblement d’un prof à l’autre, même quand l’élève ne change pas sa méthode de travail (pour une même matière, aucun prof ne note pareil qu’un autre prof). Le travail ne se mesure que par le seul mérite, par l’effort de l’élève. Établir des quotas arbitraires et aveugles pour favoriser les élèves à avoir le Bac, de façon à ce qu’un maximum d’élèves aient le Baccalauréat, ce n’est pas une évaluation objective, ça ne veut rien dire. Il faut évaluer les compétences des élèves pour ce qu’elles valent réellement. Les mauvaises notes ne servent ni à juger ni à punir, mais à inciter à progresser grâce à des efforts réguliers (cela s’apprend, et peut ainsi devenir une bonne habitude). La réussite ça ne fonctionne pas autrement.

par

Comment calculer le nombre pi ?

Pour calculer le nombre pi :

  • Première méthode : on trace un gros cercle avec un compas, et on mesure sa circonférence (périmètre) que l’on divise par son diamètre, le résultat est égal à pi. Par définition, c’est ça, le nombre pi.
  • Deuxième méthode : la somme continue de n = 1 à n = infini de ((-1)^(n-1)/(2n+1)) converge vers 1 – (pi/4).

Preuve ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+n%3D1+to+infinite+of+%28%28-1%29%5E%28n-1%29%2F%282n%2B1%29%29

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

par

Le web et les calculs astrométriques

J’ai visité un article d’un blog au hasard de mon surf sur le web. J’y ai relevé certains détails quantitatifs qui valent d’être examinés de près.

Ainsi, mon article d’aujourd’hui concerne l’astrométrie, spécialité de l’astronomie sur les calculs des positions des astres. Contrairement à l’astrologie farfelue, l’astrométrie de position est assez précise et rend compte d’observations bien réelles et objectives.

Commencement de l’étude de l’article du blog examiné :

Je cite :

  • «La librairie ouvrit ses portes le 2 juillet 1983 à 11 heures 53 T.U., c’est à dire à midi vrai au méridien de Montségur, alors que le Soleil et Sirius du Grand Chien était en conjonction. »

Avec le logiciel Stellarium (c’est un planétarium informatique), je constate que l’étoile Sirius est bien en conjonction avec le soleil à la date indiquée (2 juillet 1983), mais à exactement 17 h 56 minutes (heure d’hiver, mon système est le référentiel de temps), ce qui correspond à 16 h 56 minutes T.U.  Le décalage temporel entre ce qu’indique le planétarium et l’affirmation de l’article est donc de 5 heures et 3 minutes.

Autre remarque intéressante : le soleil est entre Sirius et la Terre (avec forte asymétrie des distances respectives), c’est bien une conjonction, mais il faut préciser que ce n’est pas vraiment un alignement de trois astres. En effet, l’angle formé par Sirius, le soleil et la Terre est exactement de 39° 45′ 18 ». L’angle aurait été nul si la conjonction avait été un alignement parfait.

Je cite aussi :

  • «2 160 000 ans avant le début de l’âge de fer, Kali Yuga, dans lequel nous sommes, tous les astres du système solaire se sont trouvés réunis dans une conjonction commune au moment où on comptait minuit sous le méridien de la cité de Lankâ (entre Ceylan et les Maldives). Le soleil se trouvait alors au point zéro de l’écliptique, en conjonction avec Révati, l’étoile ζ des Poissons. La même conjonction générale doit se reproduire tous les 1 080 000 ans, dit le « Surya Sidhanta », ce qui arriva le 18 février 3101 avant l’ère commune, marquant ainsi l’entrée dans l’âge de fer. »

 

Premièrement, L’étoile Zêta Pisces (ζ des Poissons) est distante de 147,65 années-lumière. La constellation des Poissons est l’une des 13 constellations que le soleil traverse au cours de chaque année. Ainsi, le soleil se positionne chaque année dans la constellation des Poissons à chaque équinoxe du printemps. Par conséquent, il se produit une conjonction entre le soleil et ζ des Poissons à chaque équinoxe de printemps, autour du 20 ou 21 mars (ce n’est pas toujours indéfiniment cette date à cause de la précession des équinoxes qui décale les dates sur 365 jours sur un cycle de 25800 ans environ). En bref, cette conjonction entre ζ des Poissons et le soleil se produit chaque année, pas tous les millions d’années. De plus, le soleil coupe le plan de l’écliptique deux fois par an : une fois lors de l’équinoxe de printemps, et une fois lors de l’équinoxe d’automne. Le point zéro de l’écliptique est le point vernal.

Deuxièmement, prédire des positions sur des dates aussi lointaines que des millions d’années n’est pas possible scientifiquement. Je vais l’expliquer pourquoi.

Prenons l’exemple de la planète Jupiter dans le système solaire. Les données de l’astronomie nous indiquent que le rayon orbital de Jupiter (son demi grand axe) est de 778 412 027 km, que je vais noter R. Ensuite, la période de révolution de Jupiter autour du soleil est de 4335,3545 jours. La vitesse orbitale moyenne de Jupiter autour du soleil est de 13,0572 km/s.

En astronomie, c’est comme en physique : on ne connaît pas les données comme étant des nombres ayant une infinité de décimales connues. Cela ne se passe donc pas comme en mathématiques où les théorèmes se basent sur des résultats très précis et absolus. En effet, en physique, il existe ce qu’on appelle une incertitude sur la mesure : on ne connaît donc ici qu’une grandeur physique limitée et finie. En chimie, c’est comme avec la physique : pour un tas de matière quelconque, on connaît l’ordre de grandeur de la quantité d’atomes présents dans ce tas de matière, mais en aucun cas il n’est possible de dire la quantité exacte d’atomes du fait de l’incertitude quantitative. En astronomie, c’est pareil, à grande échelle, et surtout en ce qui concerne la chronologie sur le long terme.

Si envoyer des sondes spatiales ne pose pas de problème quand on les envoie vers des planètes du système solaire, des problèmes se présenteraient si nous envoyions des sondes spatiales ou des cosmonautes vers des destinations lointaines ou dont les voyages durent très longtemps.

Ainsi, déterminer les phases lunaires telles qu’elles étaient au XIXe siècle, ou celles du XXIIe siècle, ça ne pose pas de problème dans la valeur prédictive. Mais quand cela concerne des dates lointaines, des millénaires vers le passé ou vers le futur, ce n’est guère plus possible du tout. Alors, sur des millions d’années, prédire scientifiquement devient illusoire.

En reprenant mon exemple sur la planète Jupiter, je fais remarquer que l’incertitude sur la position orbitale de Jupiter est de l’ordre de 3,1415927 km (soit 0,5 km le long du demi grand axe). La période orbitale de Jupiter, elle, présente une incertitude de l’ordre de 4,32 secondes. Cela a pour conséquence une incertitude de 0,727221 km/s sur la vitesse orbitale de Jupiter.

Pour résumer, l’imprécision sur l’orbite de Jupiter vaut 0,0000001%, tandis que celle de la période de révolution est de 0,0000012%. Cela paraît très faible comme incertitude, c’est vrai quand on calcule sur des durées et des distances relativement courtes (jusqu’à plusieurs décennies ou un petit nombre de siècles), mais cette incertitude devient grande sur des durées comme des millénaires et des millions d’années.

Bref, lorsque l’incertitude sur la position de la planète de Jupiter est une distance au moins égale à la circonférence de l’orbite de Jupiter, l’incertitude devient absolue : 100% d’incertitude, c’est-à-dire que chaque point quelconque de l’orbite a une probabilité nulle d’être certainement la position de Jupiter pour une date quelconque.

Ainsi, pour mon exemple avec Jupiter, l’incertitude atteint 100% si l’on essaie de prédire la position de Jupiter il y a plus de 77 841,15 ans, ou bien dans plus de 77 841,15 ans. Cela prouve qu’il est impossible de dire quelle était la position de chaque planète du système solaire il y a deux millions cent soixante mille ans… Car l’exemple de Jupiter vaut aussi pour toutes les autres planètes du système solaire, de même que les comètes, les astéroïdes et les lunes…

Autre détail : dans plus de 38 920,576 ans (ou il y a plus de 38 920,576 ans), il y a une moitié de circonférence de l’orbite de Jupiter dont on sait que Jupiter n’occupe pas de position, tandis que l’autre demie-circonférence c’est une étendue courbe où il est impossible de trouver la vraie position de Jupiter.

© 2011 John Philip C. Manson

par

Comment faire un exposé de science à l’école ?

Pour faire un exposé de science, il faut connaître au minimum quelques bases scientifiques.

Comme genre d’exposé intéressant, il y a l’astronomie, ce serait l’occasion de présenter cette science afin de montrer aux plus jeunes que l’astrologie est une ânerie.

Et comme premier chapitre dans l’exposé scientifique, un rappel utile de la définition de la science : le critère déterminant qui définit la science, ce n’est pas la crédibilité d’une connaissance scientifique, mais la réfutabilité de cette connaissance. C’est-à-dire que pour qu’une connaissance ait un intérêt scientifique, il faut pouvoir tester cette connaissance en la comparant avec des observations afin de réfuter ou de confirmer des hypothèses. Quand une connaissance ne peut pas être remise en question, donc quand elle ressemble à un dogme qui n’évolue pas, ce n’est pas de la science. Un tel rappel de la scientificité est très intéressant, car c’est son oubli qui est la cause de la progression de l’obscurantisme.
Dans l’exposé, après cette courte introduction sur le principe de réfutabilité, on peut expliquer ce qu’est la méthode scientifique :

Une théorie scientifique est un groupe cohérent d’affirmations réfutables qui décrit et explique un phénomène observable, quantifiable et reproductible.

Ainsi, si une connaissance ne peut pas être mesurée par des instruments de mesure, ne peut pas être observée et ne peut pas donner lieu à des expériences que l’on peut répéter à volonté, ce n’est ainsi pas de la science, c’est une croyance.

Faire un exposé sur les étoiles et les planètes, avec une projection de diapositives sur le mur de la classe, voila une idée intéressante. Mais expliquer la différence entre l’astronomie (science) et l’astrologie (croyance), c’est encore mieux.

http://jpmanson.unblog.fr/2011/02/26/la-methode-scientifique-en-schema/
http://jpmanson.unblog.fr/definition-de-la-science/
http://jpmanson.unblog.fr/2011/03/06/astrologie-mensongere/

 

 

© 2011 John Philip C. Manson