Exercice de maths proposé aux bacheliers écossais

  • Un exercice de mathématiques au Bac en Ecosse a posé tellement de difficultés aux candidats au bac écossais que le barème de l’épreuve a dû être revu…

Jugeant l’exercice du crocodile trop difficile au même titre que l’ensemble de l’examen, les candidats écossais au Higher Maths exam, l’équivalent de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat français, ont lancé une pétition en mai 2015. Intitulée « Expliquez-nous pourquoi l’examen de mathématiques a été élevé à un niveau impossible », elle a recueilli plus de 11 000 signatures, aboutissant à un abaissement de la note requise lors de cette épreuve pour obtenir le diplôme.

Je vais démontrer ici pourquoi le niveau en maths a vraiment baissé par rapport à autrefois, par l’examen analytique du problème. C’est catastrophique au même titre que ce qui se passe en France : le nivellement par le bas.

Un exercice de niveau Terminale, croyez-vous ? Non, moi je dirais plutôt de niveau 4e de collège… On va voir pourquoi.

L’exercice demande d’estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon s’il se déplace dans l’eau ou sur terre.

« Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court.

Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. »

 

Tout d’abord, pour résoudre le problème, on va examiner l’équation et le schéma.

Une vitesse c’est une distance divisée par un temps. Donc le temps est égal à une distance divisée par une vitesse.

Vous remarquez que le trajet dans la rivière est une hypoténuse de triangle-rectangle. Je pose R la largeur de la rivière, puis L la longueur de l’hypoténuse, et on a x (déjà défini) qui est le 3e côté.

On sait avec Pythagore que R² + x² = L². C’est classique.

Je pose T1 tel que T1 = L / V1, où T1 est le temps parcouru exclusivement dans la rivière, et où V1 est la vitesse du crocodile dans la rivière.

Je pose T2 tel que T2 = (20 – x) / V2, où T2 est le temps parcouru exclusivement sur terre, hors de la rivière, et où V2 est la vitesse du crocodile sur la terre ferme.

Je pose T(x) = T1 + T2, pour avoir T(x) qui est la durée total des trajets.

Mais aussi, on a T1 = L / V1 = (x² + R²)^(1/2) / V1. On obtient donc la forme T(x) = [(x² + R²)^(1/2) / V1] + [(20 – x) / V2] qui est exactement la forme de l’équation de l’énoncé : T(x) = 5(36+x²)^(1/2) + 4(20-x).

Pour le calcul du temps le plus court, il est alors exclu que le crocodile se déplace uniquement en rivière, ou uniquement sur terre, il y a obligatoirement une étape en rivière et une étape sur terre ferme.

Pour calculer le temps T(x) le plus court, on remarque que la fonction atteint un point x où T est minimum, alors on calcule la dérivée dT(x)/dx = 0, et je trouve x = 8 mètres. Pour les autres valeurs de x, le temps est plus long.

Si on pose x = 20 mètres, alors le crocodile ne fait que nager, sans étape sur terre ferme. Une partie  de l’équation s’annule, et on aura T(x) = (x²+R²)^(1/2) / V1 = 5(36+20²)^(1/2) = 104,4.

Si on pose x = 0 mètre, alors le crocodile ne fera que marcher sur terre ferme, hors de la rivière (excepté le trajet R), et T(0) = 110.

Tandis qu’avec x = 8 mètres, on aura le temps le plus court : T(8) = 98.

J’ai répondu aux trois questions de l’exercice, cela n’a pris que quelques minutes… Affirmer que l’exercice est insoluble, c’est se foutre du monde, vraiment !

Au fond, le problème n’est pas les maths. Le problème des élèves est simple : ils ne savent pas lire un énoncé, par incompréhension de leur propre langue maternelle, et aussi parce qu’ils n’ont pas appris à réfléchir et à raisonner. Sans ces clés, on ne peut rien produire de bon en maths.

Peut-être que certains trouveront que j’exagère. Non, je suis sérieux.

  • Autre preuve : un exercice ci-dessous datant de 1950, à l’épreuve du certificat d’études, en France, et destiné à des jeunes de 13 ou 14 ans.

« La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims démarre de la gare de l’Est à 8h30 et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express part de Reims en direction de Paris à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. A quelle heure se croiseront-ils et à quelle distance de Paris ? »

Solution : les trains se croisent à 9h59 à 89 km de Paris. La solution tient en une équation assez simple.

Quand on donne cet exercice à des élèves de Terminale, il y a des surprises… Certains n’y parviennent pas. C’est une réalité propre à notre époque. C’est catastrophique…

 

 

Equation de la sphère

Par hasard, sur Yahoo Q/R, je découvre une question de géométrie dans l’espace :

  • Déterminer l’équation de la sphère passant par les deux points A(4 ; 2 ; -3), B(-1 ; 3 ; 1) et ayant son centre sur la droite CD connaissant C(2 ; 3 ; 7) et D(1 ; 5 ; 9).

Je précise ne pas avoir abordé ce type de problématique quand j’étais au lycée (il y a bien longtemps). Ou bien je n’avais pas su le résoudre (à l’époque c’est certain).

Ainsi, je vais faire l’exercice avec comme seul outil : la logique. La mémoire des cours n’est donc pas nécessaire. On parvient à résoudre l’exercice par la seule réflexion. Il faut prendre le temps de réfléchir et de comprendre.

Tout d’abord, l’équation du cercle, où le cercle de rayon R est centré sur le point (0;0) dans un plan est x² + y² = R².

Mais l’équation de la sphère ? Je me suis dit qu’il fallait ajouter une dimension spatiale perpendiculaire au plan.

Ainsi, une sphère de rayon R et centrée sur le point (0;0;0) obéit à cette équation :

x² + y² + z² = R²

Mais l’on sait d’après l’énoncé que la sphère n’est pas centrée sur (0;0;0).

Soient a et b et c tels que (a;b;c) est le centre de la sphère, lequel est un point qui appartient à la droite CD.

Alors dans ce cas, l’équation devient :

(x+a)²+(y+b)²+(z+c)² = R²

De plus, d’après les points A et B, on sait que l’équation de la sphère doit respecter l’égalité suivante :

(4+a)²+(2+b)²+(-3+c)² = (-1+a)²+(3+b)²+(1+c)²

Ainsi, les segments OA et OB ont même longueur (égale au rayon R), où le point O désigne le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère.

Pour déterminer les valeurs de a et b et c, j’ai improvisé une sorte de cuisine, en écrivant une sorte d’équation paramétrique de la droite CD. Paramétrique, dis-je, parce que j’ai ailleurs entendu parler d’équation paramétrique du plan, et là j’applique cela à une droite qui traverse un espace.

J’introduis alors la variable t, telle que :

a = 2 – t
b = 2t + 3
c = 2t + 7

C’est le seul moyen que j’ai trouvé pour tenter de résoudre le problème, et je suppose que c’est comme ça que ça se fait habituellement.

Ensuite, on obtient donc ça :

(x+(2-t))²+(y+(2t+3))²+(z+(2t+7))² = R²

Et en injectant les points A et B dans cette équation, je trouve ça :

(4+(2-t))²+(2+(2t+3))²+(-3+(2t+7))² = (-1+(2-t))²+(3+(2t+3))²+(1+(2t+7))²

Ainsi, on va pouvoir résoudre t. Je trouve t = -4/5.

Connaissant désormais la valeur de t, on peut calculer a et b et c :

a = 14/5 = 2,8 , b = 7/5 = 1,4  , c = 27/5 = 5,4.

Alors l’équation de la droite, encore incomplète, devient :   (x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = R²

Vérification :

(4+14/5)² + (2 + 7/5)² + (-3 + 27/5)² = (-1+14/5)² + (3 + 7/5)² + (1 + 27/5)² = R² = 1589/25

Maintenant, nous connaissons enfin le rayon de la sphère, il vaut R = 7,9725.

L’équation de la sphère est maintenant complète :

(x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = 1589/25

Par vérification, en remplaçant (x;y;z) par les points A et B, on constate que l’égalité ci-dessus est respectée : les points A et B font bien partie de la surface de la sphère. Tandis que le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère, il fait bien partie de la droite CD.

J’ai su résoudre l’exercice. Normalement, les élèves de Terminale S doivent pouvoir résoudre eux aussi ce genre d’exercice, car la géométrie dans l’espace fait partie du programme scolaire de Terminale S.

Avec cet exercice ici, on comprend les mathématiques quand on prend le temps de réfléchir. Les solutions ne tombent jamais du ciel. Il faut de l’effort et du temps. On n’est pas dans un stade olympique où il faut essayer de courir plus vite que le dieu Usain Bolt. 😉

En maths, la vitesse est l’ennemie de l’exactitude. Aller trop vite, c’est prendre le risque de se planter. On tombe à terre et on mord la poussière. Aller vite, c’est le signe que l’on prend les maths comme une corvée dont on veut se débarrasser, non ?

Je sais que les maths peuvent donner de grosses migraines, mais ceux qui ont délibérément choisi la voie des mathématiques, ils assument leur choix. Non ?  😉

Mathématiquement vôtre.

John Philip C. Manson

 

 

Ma position par rapport au mouvement des Brights

Le Mouvement des brights regroupe des individus qui portent sur le monde un regard « naturaliste », c’est-à-dire libre de tout élément surnaturel ou mystique ; les brights fondent leur éthique et leur comportement sur une compréhension naturaliste de l’univers. S’inscrivant dans la continuité des Lumières, le réseau international des brights s’est constitué comme mouvement de visibilité de celles et ceux qui portent un regard « naturaliste » sur le monde ; le mode d’existence du réseau est basé sur l’utilisation d’internet.

  • Le naturalisme philosophique est la position selon laquelle rien n’existe en dehors de la nature : il n’y a rien de surnaturel ou, à tout le moins, que le surnaturel est sans influence sur le naturel.
  • Le siècle des Lumières est un mouvement intellectuel initié en Europe du XVIIIe siècle, dont le but était de dépasser l’obscurantisme et de promouvoir les connaissances; des philosophes et des architectes intellectuels, encourageaient la science et l’échange intellectuel, en s’opposant à la superstition, l’intolérance et les abus de l’Église et de l’État.

Voici ma vision des choses ci-dessous (c’est identique à la science actuelle, quand la méthode scientifique est respectée avec intégrité, professionnalisme et transparence) :

En ce qui me concerne, ma philosophie se base sur un naturalisme atomiste, matérialiste, mécaniste et empiriste. Je me base sur la méthode scientifique à travers le critère de la réfutabilité, dans le sens donné par Karl Popper. Le principe de réfutabilité en science a pour conséquence que la science n’établit pas des vérités inébranlables, mais des vérités faillibles fondées sur des représentations faillibles de l’univers et de la nature, à travers la recherche empirique. Ce qu’on appelle vérité est quelque chose de relatif. En revanche, des hypothèses fausses qui sont réfutées par des faits, sont infirmées définitivement. C’est la fausseté réelle des choses fausses qui est une vérité bien tranchée. Ainsi, à la lumière des faits, des connaissances peuvent être soit a priori vraies, soit certainement fausses. Une hypothèse (ou même une théorie scientifique) ne s’érige pas en vérité ; une hypothèse ou théorie est évaluée selon sa solidité par confrontation aux faits.

En physique et dans les autres sciences de la nature, une connaissance est faillible : si elle est fausse en soi, sa fausseté peut être définitivement établie, tandis que si elle est vraie en soi, on ne pourra pas prouver qu’elle est absolument vraie, on pourra juste corroborer la connaissance, on remarquera sa cohérence. Ce qu’on appelle la vérité, en sciences, ne se trouve que dans les mathématiques. Les maths sont indépendantes du monde matériel, elles sont abstraites, leurs lois leur sont propres. C’est étonnant que les maths soient autonomes par rapport au monde matériel, et qu’en même temps les maths peuvent expliquer de nombreux phénomènes matériels. Je suppose que le grand mathématicien Cédric Villani est de mon avis.   😉  Et désolé si je ne dis pas «LA mathématique», au singulier, question de (mauvaise) habitude.  🙂

De plus, les maths ont un avantage : il suffit d’un crayon et d’un papier, ou d’une craie et d’un tableau noir (mais un superordinateur pour les calculs longs c’est bien mieux). Les sciences expérimentales, elles, sont plus contraignantes : il faut un budget pour les instruments scientifiques, il faut faire un montage expérimental rigoureux (c’est facile de foirer une expérience), et parfois ça explose à la figure.

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  • Question métaphysique : la matière précède t-elle les mathématiques ? L’homme pensant invente ou crée les maths et les utilisent. Les cerveaux préexistent par rapport à l’existence des maths. Les maths existeraient-elles s’il n’existait pas d’hommes pensants ?

Je pense que les maths sont une extension de notre propre conscience. Peut-être que la conscience elle-même est un calcul auto-référent, mais je préfère vous éviter la migraine.

Retour sur ce qu’est une théorie scientifique :

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Pour faire une métaphore, une théorie est comme la sculpture d’une statue : on n’ajoute pas du matériau à l’ouvrage, mais on procède par élimination, on enlève ce qui est superficiel, comme si on taillait un roc informe, et l’ouvrage qui reste est ce qui est a priori vrai, sinon crédible. Mais c’est un ouvrage crédible qui ne sera jamais achevé définitivement, car il est sans cesse affiné petit à petit. A contrario, les hypothèses et théories douteuses, dans le contexte de la fraude scientifique, ou de la science fringe, ou de la pseudo-science, se caractérisent par des rustines multiples ajoutées ad hoc selon les faits nouveaux, sans même corriger ni remettre en question l’hypothèse ou la théorie érigée en dogme… Plus on rajoute des rustines sur les roues d’une théorie pour sauver celle-ci, moins le vélo roulera bien…

Ma vision naturaliste est caractérisée par des critères précis : un naturalisme scientifique dépourvu autant que possible de toute forme de subjectivité, un naturalisme fondé sur l’expérimentation et la réfutabilité. Une conception fondée sur l’utile et le nécessaire, tout en ayant conscience des incertitudes inévitables.

Jamais il ne faudrait dire qu’une théorie scientifique est vraie. Elle peut être vraie et cohérente mathématiquement, mais la physique comporte des incertitudes quantitatives que les mathématiques strictes ignorent. Par exemple, l’infini existe en maths, mais pas en physique. Une théorie scientifique n’est donc pas une vérité absolue, on dit plutôt que la théorie est crédible, à la fois par rapport aux maths, et à la fois par rapport aux expériences ou observations. Et cette crédibilité se mesure sur la cohérence propre de la théorie (accord entre les maths et l’expérience du réel) mais aussi sur la cohérence par rapport à l’édifice scientifique établi et par rapport aux sciences interdisciplinaires. Par exemple, en électrochimie, par exemple en réalisant une électrolyse : les lois de la physiques (électrostatique, électrodynamique, électromagnétisme) ne doivent pas entrer en contradiction avec les lois de la chimie (théorie de l’atome, modèle atomique, réactions chimiques).

Ensuite, jamais je n’accepte de voir la science associée à la pseudo-science et au mysticisme. Karl Popper avait posé un principe de démarcation épistémologique. Cette démarcation est une nécessité.

Et jamais je n’accepte de voir la science récupérée abusivement par des idéologies politiques ou religieuses dont la finalité est le pouvoir et le profit au mépris de la démocratie et de la liberté des peuples. La science doit rester indépendante de toute influence subjective. Le lyssenkisme sous l’idéologie soviétique par exemple. Le créationnisme par l’intégrisme chrétien ou autre, aussi, par exemple.

La désinformation est inacceptable. Tout citoyen a droit à l’information et à l’éducation. Les journalistes ont des devoirs déontologiques (Charte de déontologie du journalisme) : devoir de vérité, devoir de rectifier ce qui est inexact, devoir de rester critique, refus du sensationnalisme.

De même, le naturalisme non plus ne doit pas dénaturer la science pour servir l’athéisme. Ce que l’on croit ou ce que l’on ne croit pas ne fait pas partie de la science. Si j’avais des croyances, je les aurais mises au vestiaire quand j’entre dans l’arène de la science. En tant qu’athée ou agnostique, cela importe peu sur le suivi de la démarche scientifique. Les émotions aussi, il faut les laisser au vestiaire. Je n’ai besoin que d’un cerveau frais pour faire un raisonnement logico-mathématique, des yeux pour observer et expérimenter, et l’absence de subjectivité afin d’interpréter sans superficialité les données quantitatives des phénomènes observés.

La connaissance est un édifice faillible fondé sur une méthode qui a fait ses preuves. La science, ça marche, mais des conditions sont à respecter.

Si dépasser l’obscurantisme et promouvoir les connaissances sont l’objectif des Brights, je vais plus loin que ça. Comment ça ? La connaissance pourrait être vue comme une vérité qui abolit les mensonges de l’obscurantisme. Dans mon blog, j’ai montré que même des connaissances à l’apparence scientifique, à travers les médias de tous les jours, sont matière à tromperies, erreurs, lacunes et croyances… Le scepticisme scientifique, selon moi, doit s’appliquer aussi sur la (mauvaise) vulgarisation scientifique via le journalisme grand public. Depuis une dizaine d’années, et avec l’influence d’Internet, la vulgarisation perd en qualité (certains magazines, mais surtout dans le web), ça devient comme la malbouffe… On remplit le cerveau vite, mais mal, et inutilement. Mieux vaut former le cerveau au doute. L’émergence de magazines pseudo-scientifiques aggrave les choses.

J’ai ouvert une porte, d’autres devraient me suivre. Il n’existe pas d’information infaillible, le taux d’erreurs quantitatives dans le mauvais journalisme des sciences est plus grand qu’on ne l’avait pensé. La méthode scientifique et le raisonnement logico-mathématique c’est plus important que le concept de naturalisme, bien que les sciences tendent à montrer que l’univers est naturel et que l’hypothèse d’un Dieu est inutile. La science n’a pas à s’embarrasser de mysticisme. La rigueur dans la méthode scientifique, à travers la réfutabilité des hypothèses et des théories, c’est plus important que la crédibilité des théories elles-mêmes. En gros, peu importe la laideur de la destination, pourvu que le voyage ait été bon, Voila.

Tout doit être autopsié (tout doit-il disparaître ?). De quoi être indécis entre l’autopsie et la boucherie… Toubib or not toubib, that is the question.

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© 2013 John Philip C. Manson