Nombre pi, géométrie dans le plan et expériences aléatoires

La polémique à propos de l’apparente difficulté de l’épreuve de maths pendant le Bac S 2014 a des conséquences positives. Lorsqu’on plonge dans les maths, et quand on a des idées et beaucoup d’imagination, on peut suivre certaines pistes intéressantes dans le domaine des mathématiques. En explorant la géométrie suite à la réflexion portée sur l’exercice 4 de l’épreuve de maths du Bac S, et qui a aiguisé mon inspiration, et puis en associant la géométrie avec des expériences de simulation du hasard, on peut tomber sur des trucs intéressants.

 

Premier exemple :

J’imagine un repère orthonormé 0;i;j. Soit un carré EFGH de côté 1 dont les coordonnées des côtés sont (0;0) et (0;1) et (1;0) et (1;1). Ensuite, on considère que dans l’aire du carré EFGH (aire qui vaut 1), on génère aléatoirement 3 points A et B et C dont les réels x et y (coordonnées respectives de A,B,C) appartiennent à l’intervalle [0;1].

ABC, par ses 3 points, forme un triangle quelconque ABC. La formule de Héron permet d’en calculer l’aire.

L’enjeu est de déterminer l’aire moyenne de ABC par rapport au carré EFGH. Pour cela, j’ai généré des millions de triangles pour évaluer cette aire moyenne rapportée à celle du carré.

Le rapport moyen vaut environ 0,076. Je m’attendais à découvrir un nombre réel où le nombre pi intervenait. En gros, le quotient moyen semble compris entre 1/(4×pi) et 3/(4×pi²). Je n’ai pas d’autre information là-dessus, c’est à explorer…

Souvent, le nombre pi intervient dans des phénomènes aléatoires. C’est le cas pour l’expérience de probabilité de l’aiguille de Buffon. Pareillement pour la loi normale (avec les courbes de Gauss : voir ici http://upload.wikimedia.org/math/8/f/1/8f1da4cf31d40e7b18f29c22a78c7abd.png).

 

 

Deuxième exemple :

Certains d’entre nous ont entendu dire que le rapport entre la longueur réelle d’un fleuve ou d’une rivière et la distance à vol d’oiseau entre la source et l’estuaire serait égal au nombre pi.

Cela en parle dans cette page : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiCurios.htm

Je cite :

  • « 3,14 =rapport entre la longueur réelle d’un fleuve, et sa longueur à vol d’oiseau. Loi postulée par Einstein et constatée par Hans-Hendrick Stolum, spécialiste des sciences de la Terre. »

J’ai vérifié avec le cas de la Loire, un célèbre fleuve français. Selon les géographes, la Loire mesure 1006 km de long, lorsque l’on suit les sinuosités. Ayant moi-même localisé la position géographique de la source (dans l’Ardèche) et celle de l’estuaire (à St Nazaire), et grâce à un calcul que j’ai mis au point il y a quelques mois pour calculer la distance à vol d’oiseau (en suivant la rotondité terrestre) entre deux points de la surface du globe (grâce aux coordonnées GPS), j’ai établi que le rapport vaut 1006 / 562,56 = 1,7883, donc proche de 1,8, ce qui est franchement loin du nombre pi.

Remarque à propos de Wikipedia : l’article sur la Loire (fleuve) raconte que la longueur du fleuve est de 1006 km, mais d’autres articles dans Wikipedia (liste des fleuves français) racontent que la Loire est longue de 1012 km… Je me suis aperçu de ça sur Google, avec les mots clés : longueur Loire. Cela ne change pas grand chose dans mes présents calculs, heureusement, mais les contradictions rencontrées dans Wikipedia ne font pas de celle-ci une référence fiable… La validité d’une information ne se mesure pas à la rapidité de son accès sur le web, mais à son exactitude.

Poursuivre la vérification avec d’autres fleuves est long. J’ai donc développé un programme de simulation qui génère aléatoirement les « courbures » des méandres d’un fleuve. Si l’écoulement est isotrope, c’est-à-dire sans direction d’écoulement privilégiée, le rapport tend vers 10,36 à 10,37 (auquel cas le fleuve peut croiser ses propres méandres, ce qui ne correspond pas à ce qui se passe dans la nature). Cependant, si l’écoulement se dirige dans la direction du vecteur OP (1;1) qui passe par le point O (0;0), alors le rapport devient nettement plus faible (le fleuve dans son parcours ne fait pas intersection avec lui-même). Tout dépend des reliefs rencontrés par le fleuve dans une direction d’écoulement due aux pentes locales.

Sur l’appui des maths, je n’ai pas encore, pour le moment, des preuves que le rapport entre la longueur sinueuse d’un fleuve et de sa longueur à vol d’oiseau tendrait vers le nombre pi. L’anecdote sur Einstein qui aurait lui-même évoqué un tel rapport qui serait égal au nombre pi serait-elle une légende urbaine ?

Je n’ai actuellement aucune conclusion définitive. Néanmoins, le cas de la Loire montre concrètement que le rapport tend vers 2 plutôt que vers 3,1415927… C’est ce qu’affirme aussi ce site : http://www.pi314.net/fr/anecdotespi.php dont je cite : «Skolum (1996) vérifia que le rapport entre la longueur réelle et la longueur à vol d’oiseau (distance entre la source et l’embouchure) d’une rivière égalait en moyenne Pi . Ce rapport se retrouve davantage au Brésil ou dans la toundra sibérienne, mais cela reste à vérifier… Pour ma part, en France, je trouve que le rapport est à chaque fois plutôt proche de 2 (coïncidence, d’ailleurs ?). »   Le doute est donc légitime.

Affaire à suivre.

Élément nouveau : j’ai vérifié pour la Seine, sa longueur courbée vaut 776 à 777 km, et mon calcul indique que la distance à vol d’oiseau entre la source et l’estuaire vaut 400,26 km. La division indique que 777 / 400,26 = 1,94, ce qui est proche de 2. Mais pas du nombre pi.

© 2014 John Philip C. Manson

 

Une inexactitude dans un magazine TV

Dans le magazine hebdomadaire TP n°2413 de la semaine du 12 au 18 mai 2012, je constate une inexactitude dans la page 30, dans l’article relatif aux cheveux (dans le cadre de l’émission E=M6).

En effet, à la question selon laquelle la lune a une influence sur la pousse des cheveux, l’article autorise le flou en racontant que la science n’a pas apporté de preuves tout en affirmant que les cycles lunaires déterminent la manière dont les cheveux poussent.

L’influence de la lune sur les cheveux (et aussi sur le taux d’accouchements) est une légende urbaine. Une croyance. Le journaliste qui a écrit l’article aurait dû fouiller mieux le sujet… Car quand on cherche des failles de raisonnement, et quand on cherche des contre-exemples factuels, on trouve.

La seule influence lunaire scientifiquement factuelle, observable et quantifiable, c’est la gravitation. L’attraction gravitationnelle exercée entre la Terre et la lune est la cause des marées des océans mais les marées sont remarquables seulement parce que la masse des océans est très importante par rapport à la seule masse d’un homme ou même la masse d’un cheveu… Mais concernant les cheveux dont la pousse varierait selon l’influence lunaire, ce n’est pas crédible, parce que la masse d’un cheveu est négligeable (environ 50 mg), et l’attraction lunaire n’a quasiment pas d’influence mesurable sur des cheveux. En effet, le taux d’accouchements ne peut pas varier non plus à cause de la gravitation exercée par la lune, car la seule présence d’un médecin dans une salle d’opération représente une attraction gravitationnelle quantitativement supérieure à celle exercée par la lune. De même pour les cheveux, la présence d’un champ électrique (notamment un écran TV cathodique) exerce à distance une attraction quantitativement plus importante que l’influence gravitationnelle lunaire…

Liens :

Moi-même, je ne constate empiriquement aucune relation entre la façon dont poussent les cheveux et les phases lunaires. Sur le plan théorique, j’ai expliqué pourquoi ça ne peut pas marcher. Je donne d’autres détails ci-dessous.

Un cheveu pèse environ 50 milligrammes. Un homme situé à 179 mètres de vos cheveux exercera la même force gravitationnelle attractive que celle de la lune. Et pourtant, quand on rencontre des gens chaque jour, les cheveux ne poussent pas plus vite que si l’on vivait en solitaire. Et quand vous êtes assis dans un bureau face à un micro-ordinateur, l’attraction gravitationnelle exercée entre l’ordinateur et vos cheveux est environ 2000 fois supérieure à l’influence gravitationnelle de la lune. Et cela reste négligeable, insignifiant.

La croyance à l’influence lunaire autre que le phénomène des marées est complètement inepte. Les causes de cette ignorance, je les vois dans les lacunes de l’enseignement élémentaire des sciences. Nombreux ceux qui semblent ne jamais avoir entendu parler d’Isaac Newton en cours de physique au collège. Ces bases élémentaires sont pourtant assez simples et suffisantes pour mettre en échec les croyances superstitieuses. Et pourtant, ces mythes perdurent…

L’attraction gravitationnelle lunaire est négligeable sur les cheveux, par rapport aux objets qui nous environnent quotidiennement. L’effet gravitationnel est même équivalent à vouloir tirer sur les cheveux pour qu’ils poussent plus vite, c’est stupide. Ça ne les fait pas pousser plus vite…

Malgré les arguments scientifiques, il existe encore de nombreuses personnes qui répandent des rumeurs sans fondements. En perpétuant les mythes, les médias se rendent complices de l’obscurantisme. C’est atterrant. INFORMEZ VOUS ! Que la raison vous serve de guide !

«Quand le sage montre la lune, l’imbécile regarde le doigt…»

© 2012 John Philip C. Manson

La Grande Muraille de Chine est-elle visible depuis la lune ?

«La muraille de Chine est visible depuis la Lune ou au moins visible depuis l’espace.»

Tout le monde un jour a entendu parler de cette fameuse affirmation.

J’ai le regret de vous annoncer qu’il s’agit d’une légende urbaine.
Elle a cependant le mérite d’être une hypothèse scientifique parce que mathématiquement démontrable.

Extrait de Wikipedia :

Une légende urbaine affirme que la Grande Muraille est visible à l’œil nu depuis l’espace. Elle serait le seul produit du génie humain discernable depuis l’au-delà de l’atmosphère. Cela est bien sûr faux, puisqu’il est impossible de distinguer New York (par exemple) si l’on se trouve dans l’espace. Or, la superficie de cette ville est bien plus importante que le plus grand des tronçons de la Grande Muraille.

J’ai moi-même fait une recherche, simple à mettre en oeuvre, cela m’a pris moins de 10 minutes de mon temps.

Quels éléments sont exploitables dans l’expression “voir muraille de Chine depuis l’espace” ?

En premier, l’acuité visuelle de l’oeil humain, celle-ci est un angle dont le pouvoir séparatoire est de 1 minute d’arc, soit un angle d’un soixantième de degré.

En second, la largeur moyenne de la muraille, qui vaut de 5 à 7 mètres.

L’altitude maximale où la muraille est visible à l’oeil nu vaut D.
D = 60 * 360 * L / (2 * pi) = 24064 mètres.

Où L = largeur de la muraille de Chine.

On voit ici que la muraille est visible à l’oeil nu (acuité visuelle de 10/10) jusqu’à environ 24 km d’altitude, c’est-à-dire visible jusqu’à la stratosphère terrestre. Elle est donc imperceptible depuis l’espace (à 300 km), et encore moins depuis la lune (384400 km en moyenne).

Je confirme que «voir la muraille de Chine depuis l’espace ou la lune» est un canular, une légende urbaine sans fondement. La preuve est que je n’arrive même pas à voir cette muraille en zoomant (en simulant l’éloignement relatif) sur les images satellite de Google Earth ou de Google Maps.
Si je n’avais jamais vérifié scientifiquement par les mathématiques, je serai toujours resté ignorant et propre à croire que la muraille est visible depuis l’espace.
Vous comprendrez l’utilité de la vérification des idées-reçues par la possibilité de réfutation, c’est essentiel pour progresser. Les vérifications doivent être systématiques.

 

© 2011 John Philip C. Manson