Comment produire une conclusion fallacieuse avec une étude biaisée

Comment produire une conclusion fallacieuse avec une étude biaisée ?

Le présent article va montrer comment on peut se planter quand un échantillon statistique est faible.

On va se baser sur un nombre limité de lancers de dé (non pipés) réalisés indépendamment par des individus.

Si une personne réalise un assez grand nombre de lancers de dés (des milliers ou des millions de lancers), elle donnera la conclusion correcte que le chiffre 6 a une probabilité de 1 sur 6 de se produire lors d’un lancer d’un dé.

Mais supposons que nous limitons à 31 seulement, le nombre de lancers par personne. Que se passe t-il au niveau des conclusions données indépendamment par chacune des personnes ? Les pourcentages suivants peuvent être obtenus expérimentalement (par lancers de dé), ou via la loi binomiale.

  • Un nombre majoritaire de personnes (19% du groupe) affirmera la conclusion qu’il se produit 5 fois le chiffre 6 avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 5 / 31 = 0,1613, ce qui se rapproche sensiblement de la probabilité mathématiquement correcte de 1 / 6 = 0,16666.
  • Mais un pourcentage non négligeable de personnes affirmeront des conclusions divergentes en déclarant une probabilité différente et donc fallacieuse. Voir ci-dessous :
  • 0,35% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 n’apparaît pas du tout avec 31 lancers de dé, soit une probabilité nulle !
  • 2% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 1 fois seulement avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 1 sur 31.
  • 6,5% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 2 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 2 sur 31.
  • 12,6% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 3 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 3 sur 31.
  • 17,6% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 4 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 4 sur 31.
  • On a vu que 19% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 5 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 5 sur 31, qui équivaut grosso-modo à 1 sur 6. Seul cas où la conclusion est mathématiquement correcte !
  • 17% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 6 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 6 sur 31.
  • 12% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 7 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 7 sur 31.
  • 7% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 8 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 8 sur 31.
  • 4% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 9 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 9 sur 31.
  • 1,6% du groupe de personnes affirmeront que le chiffre 6 apparaît 10 fois avec 31 lancers de dé, soit une probabilité de 10 sur 31, soit environ 1 chance sur 3, soit le double de la probabilité réelle !

En résumé :

  • 19% des personnes donnent une conclusion pertinente d’après un résultat qui se base sur une probabilité correcte malgré un échantillon trop faible (car 31 lancers de dé c’est insuffisant, il faut des milliers ou des millions de lancers de dé pour établir une conclusion fiable).
  • 38,7% des personnes donnent une conclusion fallacieuse en se basant sur une probabilité empirique inférieure à 1/6, voire même une probabilité nulle…
  • 42,3% des personnes donnent une conclusion fallacieuse en se basant sur une probabilité empirique supérieure à 1/6, voire même au moins le double de la probabilité réelle.

 

Il est donc très clair qu’avec un échantillon biaisé (car un nombre trop faible de lancers de dé), il est fort probable de produire une conclusion fallacieuse.

Il est alors légitime de douter complètement de l’étude qui est critiquée dans cet article ci-joint :  https://jpcmanson.wordpress.com/2015/06/27/limposture-des-biais-statistiques/   C’est à cause d’études bâclées que l’on conclut que les personnes indécises ont des tendances psychotiques et que les gauchers sont des malades mentaux… C’est une honte de publier des choses fallacieuses, et personne ne semble trouver utile et urgent de porter une critique sur ces pratiques intellectuellement malhonnêtes.

 

John Philip C. Manson

 

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Un cas d’obsolescence programmée : les jeux vidéo

On m’a raconté beaucoup de bien à propos d’un nouveau jeu vidéo. Ce jeu est Elite Dangerous et est sorti en décembre 2014. Détails ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Elite:_Dangerous

Mais hélas, mon ordinateur de bureau est déjà obsolète pour pouvoir jouer à ce jeu. Concrètement, il faut avoir une carte graphique d’au moins 8 Go, et, de plus, il faut aussi disposer d’une alimentation électrique suffisamment puissante afin de faire fonctionner cette carte graphique… Les jeux vidéo gourmands en performances informatiques sont une cause d’obsolescence. Ayant plusieurs ordinateurs, ils sont maintenant déjà tous obsolètes. Niveau budget, je ne me vois pas investir dans un ordinateur pour plus de 1000 euros ces temps-ci, surtout à cause d’un seul jeu vidéo. Mon hardware actuel est suffisant pour la bureautique, et pour mon métier, et la création de programmes de calcul en mathématiques.

Mais il faut reconnaître que le jeu Elite Dangerous fait envie. Le jeu consiste en une galaxie, la nôtre, et peuplée de 400 milliards de systèmes stellaires. C’est un algorithme qui est chargé de générer ces milliards de systèmes. On apprend aussi que le jeu se compose de 400 000 joueurs inscrits. Plusieurs minutes (voire plus d’une heure) sont requises pour chaque joueur pour voyager d’un système à l’autre.

Un calcul intéressant à faire, et basé sur le même principe algorithmique de ce précédent article : https://jpcmanson.wordpress.com/2015/03/20/statistiques-les-cambriolages-en-france-une-fatalite/ m’a permis de répondre à la question suivante. Combien de temps faut-il pour 400 000 joueurs pour explorer la totalité de la galaxie, c’est-à-dire 400 milliards de systèmes stellaires ? J’ai pris comme comportement le téléport interstellaire aléatoire : un système peut être visité plus d’une fois. Un joueur isolé mettra 19 à 38 millions d’années pour se disséminer dans les 400 milliards de systèmes, mais il faudra 47 à 95 années pour que les 400 000 joueurs d’Elite colonisent tous ces systèmes. Ce résultat démontre qu’il restera des systèmes stellaires encore inexplorés même longtemps après la mise en ligne de ce jeu MMORPG jouable en réseau multijoueurs.

 

Copyright 2015 John Philip C. Manson

 

Le jeu « Money Drop » et les probabilités

En France, la chaîne TV TF1 diffuse un jeu télévisé nommé Money Drop. Je regarde occasionnellement cette émission.

Je me suis demandé quelles étaient les probabilités de gagner à ce jeu si l’on y jouait au hasard. Le principe du jeu « Money Drop » est simple : il y a une série de 8 questions, et pour chaque question on a le choix entre 4 réponses dont seule une réponse est exacte, et chaque mauvaise réponse a la conséquence qu’une trappe s’ouvre sous le paquet de billets de banque et le pognon est perdu.

Avant de commencer à répondre aux questions du jeu, le couple de joueurs dispose de 50 liasses de 5000 euros, soit 250 000 euros au total.

Peut-on conserver ces 250 000 euros au terme des 8 questions ? Si l’on est un as en culture générale, oui. En jouant au hasard, la probabilité de conserver le magot est très faible.

 

Voici le résultat de ma réflexion :

Supposons que je suis totalement inculte et ignorant, alors je fais confiance au hasard pour espérer gagner.

  • Si je répartis les liasses sur toutes les trappes à chaque étape (4 trappes par question pour les 7 premières questions, et 1 trappe pour la 8e), afin d’augmenter les chances (en apparence), en moyenne je perds tout à l’issue de la 3e question.
  • Ensuite, si je mise au hasard sur une seule trappe (sur les 4) pour chaque question, en prenant un gros risque afin d’espérer gagner, la probabilité de conserver les 250 000 euros (les 50 liasses de 5000 euros) est d’environ 0,002%. La probabilité de tout perdre dès la première question est de 75%.

Pour avoir les meilleurs chances de gagner à Money Drop, il ne faut pas se fier au hasard, mais à notre mémoire et à notre réflexion.

 

 

© 2014 John Philip C. Manson

Peut-on gagner plusieurs fois au Loto ?

Peut-on gagner plusieurs fois le gros lot au Loto ?

Le présent article fait une révision de mon article sous la lumière d’éléments nouveaux. En effet, j’ai lu récemment un article qui relate l’histoire d’un mec qui a gagné deux fois le gros lot dans sa vie : http://www.20minutes.fr/ledirect/774518/joueur-loto-gagne-trois-millions-euros-seconde-fois

Dans Google, on peut même voir un cas où un mec a gagné 3 fois.

Étant sceptique, je pensais d’abord que ce genre de loi des séries était très improbable, sinon impossible. Mais il ne faut pas se fier aux impressions. Les mathématiques fournissent des réponses intéressantes, mais il ne faut pas être impatient ni être trop intuitif car seule une logique rigoureuse conduit à un résultat pertinent lorsqu’on cherche à éclaircir des anecdotes sous un angle scientifique.

Dans mon ancien article sur les probabilités, j’avais omis de parler de la loi binomiale. Cet outil apporte la réponse attendue.

Avant de donner mes résultats, j’apporte un indice trouvé sur le web : http://ressourcessceptiques.free.fr/dico/lawofnumbers.html

Je cite :

loigrandsnombres

C’est effectivement ce que j’ai découvert. Ma calculette étant bien trop insuffisante pour réaliser les calculs, j’ai dû employer des moyens nettement plus efficaces. 😉

Dans l’article de 20minutes.fr, on apprend que le mec dépense 1000 euros par mois pour jouer ses grilles, ce qui fait 125 grilles par semaine, soient 110500 grilles entre 1996 et 2013.

Voici ce que donne le calcul pour évaluer la probabilité qu’un gagnant gagne encore une seconde fois :

calcul

Cette probabilité est de 0,00003, c’est-à-dire 0,03%, autrement dit : 1 chance sur 33 333. Cela semble trop fréquent pour être possible, mais le mec avait misé 125 grilles par semaine au lieu d’une grille par semaine.

Et la probabilité pour que le mec gagne une troisième fois est de 1 sur 12 millions 250 mille.

Mais par exemple est-il crédible de gagner 7 fois au loto en jouant 110500 grilles de 1996 à 2013 ? En ce sens, je remets en question mon ancien article sur le sujet.

Cette probabilité tombe à 3,8×10⁻¹⁹, soit une chance sur 2,6 milliards de milliards, et non pas 5 × 10⁵⁷ comme je le racontais dans mon ancien article. Malgré cette correction, la conclusion reste la même : gagner 7 fois au Loto français est très peu crédible, et quant au PowerBall, encore moins crédible, avec une chance sur 125 millions de milliards de milliards (probabilité de 8×10⁻²⁷)…

Ah oui, une dernière remarque à propos de l’article de 20minutes.fr : pourquoi le joueur chanceux joue t-il 125 grilles différentes par semaine sachant qu’il affirme jouer les MÊMES NUMÉROS ?

En effet, je cite :

  • «Il a confié jouer un millier d’euros chaque mois avec des «grilles multiples sur plusieurs grilles différentes»
  • ««J’ai une bonne étoile», a dit ce gagnant anonyme au téléphone à l’AFP, ajoutant qu’il jouait toujours les mêmes numéros depuis la création du Loto en 1976.»

C’est contradictoire !!!!

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Remarque ajoutée le 10 décembre 2013 :

  • la probabilité de gagner N fois consécutivement avec des grilles de 6 numéros au Loto est égale à (1 / 13 983 816) puissance N.
  • Exemple : si je gagne avec 6 n° et que je rejoue au prochain tirage et que je gagne encore avec 6 n°, j’ai une chance sur 19 554 711 000 000 pour que cela arrive. Donc gagner consécutivement d’un tirage à l’autre (avec une seule grille jouée) est très peu probable.

 Remarque du 16 juillet 2014 :  le mec qui mise 1000 euros par semaine, ça représente une dépense totale de 936 000 euros environ, de 1996 à 2013. C’est un pari très risqué d’espérer gagner plus que ce que l’on a misé.

© 2013 John Philip C. Manson

Peut-on gagner 7 fois au Loto ?

Un américain aurait gagné pour la septième fois au Power Ball, le loto américain.

Pourtant, selon les spécialistes, les chances de gagner le gros lot sont de 1 sur 175 millions.
Très sceptique, on va évaluer ce phénomène douteux avec la théorie des probabilités. On va prendre l’exemple du jeu de dés pour bien illustrer les chances que l’on a pour sortir un chiffre précis.
  • Avec un seul dé à six faces, on a une chance sur 6 de sortir un 6.
  • Avec deux dés, on a une chance sur 6² = 36 de sortir un double 6.
  • Avec trois dés, on a une chance sur 6³ = 216 de sortir un triple 6.

La loi générale pour n’avoir que le chiffre 6 partout quand on lance N dés montre que la probabilité d’avoir le chiffre 6 partout est de 1 / 6^N  (l’accent circonflexe désigne l’élévation à la puissance).

Donc, avec le Loto américain, le PowerBall, la probabilité de remporter le gros lot est de 1 sur 175 millions. Cette information va se révéler importante.

Quelle est la probabilité pour qu’un homme précis gagne 7 fois le gros lot du Power Ball ?

P = (1 / 175 000 000)⁷ = 1 chance sur 5 026 507 568 359 375 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Je mets en valeur explicite le grand dénominateur de la fraction ci-dessus. Une chance sur environ 5 × 10⁵⁷.

La probabilité est quasiment nulle.

À titre de comparaison, prenons l’exemple d’une planète quelconque qui est éjectée de son orbite elliptique à cause de sa proximité d’un trou noir. Supposons que cette planète provienne d’aussi loin que le fond de l’univers observable (à des milliards d’années-lumière) et qu’elle se déplace presque à la vitesse de la lumière. Alors la probabilité pour qu’elle percute exactement la Terre au hasard par rapport à toutes les trajectoires possibles est de 1 / 4,2 × 10³⁸, ce qui est environ 12 milliards de milliards de fois PLUS PROBABLE que de gagner 7 fois le gros lot du PowerBall !!!

Si ce Loto est entièrement régi par le hasard, gagner 7 fois pour un seul homme est impossible, d’après la théorie des probabilités. En revanche, si ces 7 gains sont réels, alors ce n’est pas par hasard. Une piste pour une explication ? Voici cela : http://en.wikipedia.org/wiki/Powerball dans lequel on peut lire une suspicion de fraude. Dans une autre page : http://www.consumerfraudreporting.org/lotteryscam_Powerball2.php il y est question de mail frauduleux (un scam sur la loterie). Les arnaques sur des martingales ont toujours existé. Donc attention aux faux conseils. Une incitation à la prudence est publiée ici : http://fr.playitalianlotto.com/lottery-fraud-a-scams.html (en résumé : ne pas répondre aux scams, ne jamais envoyer d’argent, ne pas donner de coordonnées bancaires ou administratives, ne pas ouvrir des fichiers joints). Interpol s’occupe de ce type de fraude.

Dans une page, on peut lire la liste des probabilités de gain au PowerBall : http://fr.playitalianlotto.com/usa-powerball-lottery-lotto.html

Par exemple, on voit qu’avec 5 bons numéros, on a une chance sur 5 153 633 de gagner. Avec cette information, on peut calculer combien il y a de numéros au total.

x! / (5! × (x – 5)!) = 5 153 633                         je trouve une solution :  x = 59

Le nombre de numéros pour le jeu est donc de 59. C’est ce qui est dit dans la page, les numéros vont jusqu’à 59. Mon calcul se base sur un phénomène totalement aléatoire (l’analyse combinatoire), les numéros du PowerBall sortent donc vraiment au hasard. On ne peut donc pas trouver de méthode déterministe permettant de trouver les bons numéros pour remporter le gros lot. Dans ce contexte, une série inexpliquée de 7 jackpots éveille légitimement des suspicions…

DiplomeMartingale

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© 2013 John Philip C. Manson

Une planète géante avalée en direct par un trou noir ?

On lit dans l’article en lien que des astronomes ont auraient observé un trou noir qui avale une planète géante.

L’examen de la vidéo montre que c’est une simulation, c’est-à-dire une sorte de dessin animé ou une «vue d’artiste» comme on en voit habituellement dans la presse de vulgarisation scientifique. Je trouve que les vues d’artiste sont des représentations vulgaires et biaisées de la réalité ; je préfère de loin les photographies ou les images du spectre infrarouge qui sont fidèles à la réalité (surtout quand il s’agit des images prises par le télescope spatial Hubble).

Le premier paragraphe de Maxisciences décrit le trou noir comme si c’était un volcan en réveil, c’est ce que cela suggère implicitement. La description ne correspond donc pas à l’astrophysique des trous noirs telle qu’on la connaît dans le cadre de la relativité générale. Un trou noir absorbe la matière à sa portée dès que ce trou noir s’est formé par effondrement gravitationnel sur lui-même, l’assimilation de matière par un trou noir est continuelle, elle n’a aucun phase de repos ni de réveil…

Dans le deuxième paragraphe, cela parle du satellite INTEGRAL. Celui-ci existe bien : c’est le «International Gamma Rays Astrophysics Laboratory», un satellite de 3 tonnes et demie. (http://fr.wikipedia.org/wiki/International_Gamma-Ray_Astrophysics_Laboratory). Il faut préciser que ce satellite ne permet pas des observations dans le spectre visible, il est un détecteur de rayons gamma et X.

Détection de planète avalée par un trou noir, ou alors il s’agit d’un autre événement ?

La chronique récente de l’astrophysique a évoqué l’hypothétique découverte de la matière noire sur la base de détection de positrons (anti-électrons = antimatière). Mais pas de planète géante a priori. L’instrument SPI du satellite  INTEGRAL a permis de réaliser une carte de la distribution des émissions de rayons gamma à 511 keV (kilo-électronvolts) qui sont produits lors de l’annihilation positron/électron. Les scientifiques ont ainsi pu déterminer qu’environ la moitié de l’antimatière produite dans la galaxie l’était par des trous noirs ou étoiles à neutrons arrachant de la matière à un compagnon de masse inférieure ou égale à celle du Soleil. Concernant la matière noire, toujours hypothétique, il faudra des preuves convaincantes. INTEGRAL, à ma connaissance, n’a pas détecté de planète géante. Et j’apprends aussi que la détection récente des positrons concerne le centre de notre propre Galaxie, donc pas NGC 4845. (http://smsc.cnes.fr/INTEGRAL/Fr/lien3_res.htm)

Marek Nikolajuk est authentiquement un physicien polonais. Via le site internet de l’ESA, j’en apprends davantage : la galaxie NGC 4845 (à 47 millions d’années-lumière de nous) a émis des rayonnements à haute énergie. C’est cet événement inhabituel qui suggère l’idée inadaptée d’un «réveil». Les astronomes affectés à l’étude ont conclu à un objet substellaire comme cause du rayonnement, un objet ayant 14 à 30 fois la masse de la planète Jupiter. Ils n’évoquent pas une planète géante, ils décrivent l’objet comme étant plutôt une naine brune (une étoile avortée car peu suffisamment massive). (http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Black_hole_wakes_up_and_has_a_light_snack?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+google%2FqkAO+%28Science%29) Mais l’hypothèse d’une super-Jupiter n’est pas écartée.
Il est question ici d’un trou noir galactique de 300 000 masses solaires. Le retard de 2 ou 3 mois entre la brillance et l’atténuation des rayons gamma, selon moi cela pourrait peut-être dû à l’objet orbital qui perd peu à peu sa grosse atmosphère dans le trou noir, ce dernier subirait alors une augmentation de son moment cinétique, et dont la conséquence est un éloignement progressif de l’objet en orbite, augmentant du coup peu à peu sa période orbitale.
En savoir plus avec le spectre visible ? Très peu envisageable, étant donné la distance (47 millions d’années-lumière). On sait que le télescope spatial Hubble a une résolution d’image de 0,1 seconde d’arc. Si Hubble observait la galaxie NGC 4845, un zoom sur une distance de 47 millions d’années-lumière permettrait de pouvoir pixeliser des objets dont l’envergure est supérieure ou égale à 22,8 années-lumière. Une naine brune a un diamètre de plusieurs milliers de km, c’est ponctuel par rapport au pixel critique de 22,8 années-lumière. Il est donc impossible d’observer directement (dans le spectre visible) l’image de l’objet substellaire qui orbiterait autour du trou noir.
Le rayon de Schwarzschild du trou noir de NGC 4845 est d’environ 890 000 km, très inférieur aux 22,8 années-lumière qui forment le côté d’un pixel d’une image que pourrait faire le télescope spatial Hubble.
En revanche, on peut mesurer les rayons gamma. L’énergie d’un seul rayon gamma ou X suffit, à elle seule, d’avoir une information sur un événement en astrophysique qui soit capable d’initier une énergie élevée. Les rayons gamma ne sont pas là pour structurer une image comme une photo d’un objet lointain. L’info essentielle ici c’est l’énergie du rayonnement électromagnétique et celle des positrons mesurés.
Remarque : l’ESA indique que le trou noir aurait une masse de 300 000 masses solaires, tandis que Maxisciences rapporte qu’il serait de 100 000 masses solaires. Il y a une erreur. Pourquoi les rédacteurs ne se relisent-ils pas ? Bon allez, je l’avoue : j’aurais adoré être journaliste scientifique, l’astronomie est un sujet que je connais par cœur depuis 1985, je maîtrise l’astronomie même mieux que mon métier de formation (la chimie). J’estime que la rigueur, la passion des sciences et le sens critique font partie du métier de journaliste scientifique, c’est indispensable. Le mieux serait que les scientifiques eux-mêmes communiquent sur leurs propres découvertes, sans faire relayer les informations par des intermédiaires… Mais les scientifiques sont déjà très occupés.
Tout cela me fait penser à un jeu amusant : le téléphone arabe. (http://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9l%C3%A9phone_arabe) Le jeu du téléphone arabe consiste à faire circuler rapidement de bouche à oreille à travers une file de joueurs, une phrase inventée par le premier d’entre eux puis récitée à voix haute par le dernier. L’intérêt du jeu est de comparer la version finale de la phrase à sa version initiale. En effet, avec les éventuelles erreurs d’articulation, de prononciation, les confusions entre des mots et des sons, la phrase finale peut être tout à fait différente de la phrase initiale. (« Nous sommes l’élite de la nation » pouvant devenir « Nous sommes l’hélice de la passion »). L’intérêt du jeu croît avec le nombre de joueurs et la complexité du message à échanger.
J’imagine une variante du téléphone arabe : le téléphone scientifique. Les règles sont les mêmes : on transmet la parole de bouche à oreille, mais en racontant à son voisin un résumé d’article scientifique, en prenant une source officielle (par exemple, l’ESA) comme texte d’origine. L’évolution de l’info retransmise d’une personne à l’autre est peu à peu dénaturée, le sens général du texte scientifique devient confus, évasif, abscons, simpliste, réducteur. Au pire, il devient bourré d’erreurs scientifiques. La perte de qualité de l’info dans le jeu du téléphone scientifique est proportionnelle à la complexité de la source d’origine et inversement proportionnelle au degré de connaissances scientifiques des participants du jeu.  Avec les médias modernes (notamment sur le web) qui s’improvisent dans le journalisme scientifique, la variante scientifique du téléphone arabe c’est ce qui se passe tous les jours. Sans recul critique, les lecteurs (et les rédacteurs aussi) peuvent ne pas déceler des erreurs, et considérer celles-ci comme étant des infos fiables… Pourtant, et j’ai des preuves dans mon blog, l’information est faillible : lire ceci https://jpcmanson.wordpress.com/2012/12/28/une-erreur-dans-un-livre-de-thermodynamique-pour-ingenieurs/ et cela https://jpcmanson.wordpress.com/2011/12/03/les-encyclopedies-sont-elles-sans-erreurs-et-infaillibles/ L’erreur est humaine, persévérer est diabolique.  🙂
L’information scientifique c’est faillible, c’est comme la viande de cheval dans les lasagnes de bœuf. C’est pour cela qu’il faut toujours faire des analyses.
cheval
© 2013 John Philip C. Manson