Une cité maya découverte grâce aux constellations

Lisez d’abord la page du lien ci-dessus. Pour une fois, c’est une info authentique sur un travail réel réalisé par un jeune, et qui a abouti à une découverte. Auparavant, c’était souvent des buzz sensationnalistes sur des jeunes et leurs « théories » qui n’était pas grand chose de concret… Mais là, enfin, on a une info solide.

  • Je cite une phrase essentielle extraite du texte du journal Libération : « Rigel et Alnitak sont représentées par les cités Calakmul (Mexique) et El-Mirador (Guatemala). »

Peut-on potentiellement découvrir d’autres vestiges de cités mayas ? Oui.

J’ai pris comme hypothèse que l’étoile Sirius (de la constellation du Grand Chien) est représentée selon les proportions définies par les mayas sur le globe terrestre.

Pour vérifier cela, on relève les coordonnées géographiques de Calakmul et El Mirador, on les trouve sur Wikipedia. Ces données sont souvent exprimées en degrés, minutes et secondes d’arc, il faut les convertir ensuite en degrés décimaux, puis en radians.

Ensuite, on calcule les coordonnées cartésiennes de chaque point x, y et z qui définit chaque lieu connu.

Voici les équations :

  • x = -R . sin(longitude) . cos(latitude)
  • y = R . sin(latitude)
  • z = R . cos(longitude) . cos(latitude)

Voici les étapes :

  • Rigel est une étoile matérialisée symboliquement par un point sur Terre, situé à Calakmul, coordonnées 18,10539° N et 89,81082° W, soit en coordonnées cartésiennes (en km) :  6055,516 ; 1979,889 ; 19,994.
  • Alnitak est une étoile matérialisée symboliquement par un point sur Terre, situé à El Mirador, coordonnées 17,75505° N et 89,920431° W, soit en coordonnées cartésiennes : 6067,537 ; 1942,825 ; 8,426.
  • Sachant que 40,645 km sépare Calakmul de El Mirador, selon un angle céleste de 9,042° (différent de l’angle terrestre cependant, car les mayas n’ont pas mis à l’échelle naturelle), Sirius a donc pour coordonnées X,Y et Z telles que X²+Y²+Z² = 6371² et 106.4²=(x-6055.516)²+(y-1979.889)²+(z-19.994)² et aussi 97.365²=(x-6067.537)²+(y-1942.825)²+(z-8.426)².
  • Selon le système d’équations à 3 inconnues, il existe deux solutions dont une seule est valable : POINT A = 6059,18 ; 1966,89 ; -85,546, et POINT B = 6075,84 ; 1914,05 ; 101,072.
  • Comme je le disais, les mayas ont calqué le ciel sur le sol terrestre, mais pas à la même échelle angulaire. En effet, le ciel reproduit sur le sol est 24,74 fois environ plus grand que la surface de la voûte céleste. Ainsi, 9,042° sur le globe terrestre correspond à 0,3655° sur le ciel…
  • En convertissant les coordonnées cartésiennes en coordonnées géographiques, afin de définir le point qui correspond à Sirius, le point A est à 17,982438° N et 89,19088° W, et le point B est à 17,483530° N et 89,04667° W.
  • Le point A est situé près d’une zone habitée et un peu fréquentée, je doute qu’il reste des vestiges inconnus là-bas car sinon ils auront été trouvés depuis longtemps. Le point B, en revanche, est situé dans une région très boisée et inhabitée, on devrait aller voir sur place là-bas…

 

Comme vous le voyez, les mathématiques, notamment la géométrie 3D, peuvent permettre de retrouver des cités perdues.

J’ai dit « découverte authentique » plus haut, mais je dois corriger ce que j’ai dit car il y a du nouveau :

 

Il faut toujours rester prudent sur les annonces de découvertes inédites. Il faut garder un certain recul critique et de la rigueur, il ne faut pas céder aux sirènes des médias.

 

© 2016 John Philip C. Manson

 

Géométrie dans l’espace et vecteurs coplanaires

Comment démontrer que 3 points sur un globe sont alignés en suivant la rotondité terrestre ?

Jusqu’à présent, je m’étais basé au mieux sur Google Earth pour cela. Mais on peut utiliser la géométrie dans l’espace et les vecteurs si on veut réaliser une démonstration mathématique.

Soit R le rayon terrestre moyen. Soient x, y et z les axes d’un repère tridimensionnel centré sur le point origine (0;0;0). L’équation de la sphère est x² + y² + z² = R².

Par conséquent, à partir de la latitude et la longitude (angles en radians) d’un point de la surface du globe, on en déduit les coordonnées cartésiennes :

x = -R*sin(longitude)*cos(latitude)
y = R*sin(latitude)
z = R*cos(longitude)*cos(latitude)

Toute latitude Sud est de valeur négative (inférieure à zéro, de 0° à -90°). Toute longitude Ouest est de valeur négative (de 0° à -180°, donc de 0 radian à -pi radians).

Maintenant, pour chaque point situé à la surface du globe correspond un vecteur : ce vecteur est un segment entre ledit point du globe et le centre de la Terre (point origine). Ainsi, pour un point de coordonnées (a;b;c), on aura un vecteur défini selon le point (a;b;c) et le point origine (0;0;0). Le vecteur vaut donc (-a;-b;-c).

Soient 2 points situés sur le globe terrestre : on définit alors un plan qui coupe le globe terrestre et qui passe par (0;0;0) et qui passe aussi par les 2 points. Tout troisième point est aligné avec les 2 premiers points (alignement en suivant la courbure terrestre, mais pas selon une droite) si les 3 vecteurs sont coplanaires, donc appartenant au même plan.

Les vecteurs  \vec u,  \vec v et  \vec w sont coplanaires si et seulement si les trois vecteurs forment une famille liée, s’il existe un triplet de scalaires k, m, n différent de (0,0,0) tel que  k  \vec u + m  \vec v + n  \vec w.

 

Étude du cas de Stonehenge, la caldeira de Santorin et la Kaaba (La Mecque) :

  • Stonehenge : 51,18° N et 1,826° W
  • Santorin : 36,4° N et 25,4° E
  • Kaaba : 21,42°N et 39,83° E

 

Ce qui donne les coordonnées cartésiennes suivantes :

  • Point S : Stonehenge : 127 ; 4964 ; 3992
  • Point T : Santorin : -2200 ; 3781 ; 4632
  • Point K : Kaaba : -3799 ; 2327 ; 4555

On change le signe des nombres pour obtenir les valeurs cartésiennes des vecteurs OS, OT et OK.

On constate qu’il existe des nombres réels a et b et c tels que :

a * vect(OS) + b * vect(OT) + c * vect(OK) = 0

et je trouve : 0,059061 vect(OS) – 0,69299 vect(OT) + 0,40328 vect(OK) = 0

Par conséquent, les vecteurs OS, OT et OK sont coplanaires, et donc les points S, T et K sont alignés sur la courbure terrestre. (Il ne s’agit évidemment pas d’un alignement euclidien, comme une droite).

 

Preuve visuelle avec Geogebra :

Geogebra

 

John Philip C. Manson

 

 

Equation de la sphère

Par hasard, sur Yahoo Q/R, je découvre une question de géométrie dans l’espace :

  • Déterminer l’équation de la sphère passant par les deux points A(4 ; 2 ; -3), B(-1 ; 3 ; 1) et ayant son centre sur la droite CD connaissant C(2 ; 3 ; 7) et D(1 ; 5 ; 9).

Je précise ne pas avoir abordé ce type de problématique quand j’étais au lycée (il y a bien longtemps). Ou bien je n’avais pas su le résoudre (à l’époque c’est certain).

Ainsi, je vais faire l’exercice avec comme seul outil : la logique. La mémoire des cours n’est donc pas nécessaire. On parvient à résoudre l’exercice par la seule réflexion. Il faut prendre le temps de réfléchir et de comprendre.

Tout d’abord, l’équation du cercle, où le cercle de rayon R est centré sur le point (0;0) dans un plan est x² + y² = R².

Mais l’équation de la sphère ? Je me suis dit qu’il fallait ajouter une dimension spatiale perpendiculaire au plan.

Ainsi, une sphère de rayon R et centrée sur le point (0;0;0) obéit à cette équation :

x² + y² + z² = R²

Mais l’on sait d’après l’énoncé que la sphère n’est pas centrée sur (0;0;0).

Soient a et b et c tels que (a;b;c) est le centre de la sphère, lequel est un point qui appartient à la droite CD.

Alors dans ce cas, l’équation devient :

(x+a)²+(y+b)²+(z+c)² = R²

De plus, d’après les points A et B, on sait que l’équation de la sphère doit respecter l’égalité suivante :

(4+a)²+(2+b)²+(-3+c)² = (-1+a)²+(3+b)²+(1+c)²

Ainsi, les segments OA et OB ont même longueur (égale au rayon R), où le point O désigne le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère.

Pour déterminer les valeurs de a et b et c, j’ai improvisé une sorte de cuisine, en écrivant une sorte d’équation paramétrique de la droite CD. Paramétrique, dis-je, parce que j’ai ailleurs entendu parler d’équation paramétrique du plan, et là j’applique cela à une droite qui traverse un espace.

J’introduis alors la variable t, telle que :

a = 2 – t
b = 2t + 3
c = 2t + 7

C’est le seul moyen que j’ai trouvé pour tenter de résoudre le problème, et je suppose que c’est comme ça que ça se fait habituellement.

Ensuite, on obtient donc ça :

(x+(2-t))²+(y+(2t+3))²+(z+(2t+7))² = R²

Et en injectant les points A et B dans cette équation, je trouve ça :

(4+(2-t))²+(2+(2t+3))²+(-3+(2t+7))² = (-1+(2-t))²+(3+(2t+3))²+(1+(2t+7))²

Ainsi, on va pouvoir résoudre t. Je trouve t = -4/5.

Connaissant désormais la valeur de t, on peut calculer a et b et c :

a = 14/5 = 2,8 , b = 7/5 = 1,4  , c = 27/5 = 5,4.

Alors l’équation de la droite, encore incomplète, devient :   (x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = R²

Vérification :

(4+14/5)² + (2 + 7/5)² + (-3 + 27/5)² = (-1+14/5)² + (3 + 7/5)² + (1 + 27/5)² = R² = 1589/25

Maintenant, nous connaissons enfin le rayon de la sphère, il vaut R = 7,9725.

L’équation de la sphère est maintenant complète :

(x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = 1589/25

Par vérification, en remplaçant (x;y;z) par les points A et B, on constate que l’égalité ci-dessus est respectée : les points A et B font bien partie de la surface de la sphère. Tandis que le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère, il fait bien partie de la droite CD.

J’ai su résoudre l’exercice. Normalement, les élèves de Terminale S doivent pouvoir résoudre eux aussi ce genre d’exercice, car la géométrie dans l’espace fait partie du programme scolaire de Terminale S.

Avec cet exercice ici, on comprend les mathématiques quand on prend le temps de réfléchir. Les solutions ne tombent jamais du ciel. Il faut de l’effort et du temps. On n’est pas dans un stade olympique où il faut essayer de courir plus vite que le dieu Usain Bolt. 😉

En maths, la vitesse est l’ennemie de l’exactitude. Aller trop vite, c’est prendre le risque de se planter. On tombe à terre et on mord la poussière. Aller vite, c’est le signe que l’on prend les maths comme une corvée dont on veut se débarrasser, non ?

Je sais que les maths peuvent donner de grosses migraines, mais ceux qui ont délibérément choisi la voie des mathématiques, ils assument leur choix. Non ?  😉

Mathématiquement vôtre.

John Philip C. Manson