Peut-on mesurer mathématiquement et objectivement les compétences des élèves ?

Avec Alfred Binet vers 1905, le concept psychométrique de QI a permis d’évaluer l’âge mental par rapport à l’âge mental moyen scolaire, afin de détecter des retards du développement. Le QI, à la base, ne mesure pas l’intelligence…

Sur un principe similaire (la courbe de Gauss), peut-on évaluer objectivement et mathématiquement les élèves d’une classe ? Je pense que oui, même si actuellement la notation par les profs est souvent subjective…

Comme exemple, je vais me baser sur le concept de QCM, un questionnaire basé sur 30 questions dont chaque question a une seule bonne réponse possible parmi 4 réponses proposées. Bref, un QCM rempli par un élève aura alors entre 0 bonne réponse (devoir noté 0/20) et 30 bonnes réponses (devoir noté 20/20).

Mais doit-on noter le QCM de façon proportionnelle, tel que le nombre de bonnes réponses est proportionnel à la notation sur 20 ? Non, et je vais expliquer pourquoi.

En fait, la conversion du nombre de bonnes réponses en note sur 20 est une loi logarithmique. En effet, à chacune des questions du QCM, il existe une probabilité de 1 chance sur 4 d’avoir une bonne réponse par question. Par conséquent, si un élève répond au hasard complètement au QCM, il aura en moyenne 7 bonnes réponses sur 30, dans ce cas on ne pourra pas lui attribuer une note de 7 sur 30, c’est-à-dire 4,66 sur 20. Obtenir un gain après avoir répondu au hasard, ce n’est pas légitime. Il faut donc prouver que l’on peut réaliser un score meilleur que le pur hasard, pour se démarquer de façon statistiquement significative. D’où une échelle logarithmique de conversion.

 

  • Entre 0 et 7 bonnes réponses sur 30, la note sera de 0/20. Dans cet intervalle, un élève connaît forcément les bonnes réponses mais aura choisi délibérément de mettre des réponses fausses. Même si c’est rare que ça arrive de faire zéro bonne réponse au hasard, sauf si l’élève ne répond pas du tout aux questions, c’est éliminatoire.
  • Avec 7 bonnes réponses, c’est le score le plus fréquent obtenu en moyenne par le hasard. Aucun point n’est attribué : 0/20. La note devient supérieure à zéro sur 20 au-delà de 7 bonnes réponses au QCM. C’est logique.
  • À partir de 12 points sur 30, la différence devient significative statistiquement (p-value = 0,05, distanciation de 2 écarts-types, et d’après la loi binomiale), auquel cas la note sera la moyenne : 10/20. L’écart-type est égal à 2,37.
  • À partir de 14 ou 15 points sur 30,  une nouvelle significativité (p-value = 0,01, distanciation de 3 écarts-types, et selon la loi binomiale), auquel cas la note sera de 12/20.
  • Enfin, avec 30 points sur 30, la note sera évidemment de 20/20. Mais la fonction dans son ensemble dans l’intervalle [7 ; 30] est logarithmique.
  • Équation approximative : note sur 20 = 13,51 * ln (0,1561 * bonnes réponses).
  • Il est possible d’ajuster autrement la notation : on pourrait par exemple attribuer 8/20 pour 12 points sur 30, mais cela ne changera que peu la courbe. Reste à définir correctement ce seuil. Le but de l’évaluation ici, c’est de voir l’effort fourni par rapport au hasard.

 

Voila ce que ça donne graphiquement, en première approximation :

 

L’intérêt d’un QCM correctement calibré est de mesurer le plus fiablement possible la quantité d’effort intellectuel par rapport à ce qu’on obtiendrait au hasard

Tu joues au hasard ? Donc tu n’as fait aucun effort, alors zéro pointé… Un peu d’effort afin de s’éloigner du hasard ? Tu gagnes alors des points. Mais plus l’effort sera important, plus ça devient dur d’essayer d’atteindre 30 bonnes réponses aux 30 questions du QCM (croissance logarithmique). C’est simple. Quel meilleur arbitre existe t-il de mieux que le hasard et de se mesurer contre lui ? C’est mieux que la subjectivité des profs dont les notes données à un élève varient sensiblement d’un prof à l’autre, même quand l’élève ne change pas sa méthode de travail (pour une même matière, aucun prof ne note pareil qu’un autre prof). Le travail ne se mesure que par le seul mérite, par l’effort de l’élève. Établir des quotas arbitraires et aveugles pour favoriser les élèves à avoir le Bac, de façon à ce qu’un maximum d’élèves aient le Baccalauréat, ce n’est pas une évaluation objective, ça ne veut rien dire. Il faut évaluer les compétences des élèves pour ce qu’elles valent réellement. Les mauvaises notes ne servent ni à juger ni à punir, mais à inciter à progresser grâce à des efforts réguliers (cela s’apprend, et peut ainsi devenir une bonne habitude). La réussite ça ne fonctionne pas autrement.

Publicités

Exercice de maths proposé aux bacheliers écossais

  • Un exercice de mathématiques au Bac en Ecosse a posé tellement de difficultés aux candidats au bac écossais que le barème de l’épreuve a dû être revu…

Jugeant l’exercice du crocodile trop difficile au même titre que l’ensemble de l’examen, les candidats écossais au Higher Maths exam, l’équivalent de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat français, ont lancé une pétition en mai 2015. Intitulée « Expliquez-nous pourquoi l’examen de mathématiques a été élevé à un niveau impossible », elle a recueilli plus de 11 000 signatures, aboutissant à un abaissement de la note requise lors de cette épreuve pour obtenir le diplôme.

Je vais démontrer ici pourquoi le niveau en maths a vraiment baissé par rapport à autrefois, par l’examen analytique du problème. C’est catastrophique au même titre que ce qui se passe en France : le nivellement par le bas.

Un exercice de niveau Terminale, croyez-vous ? Non, moi je dirais plutôt de niveau 4e de collège… On va voir pourquoi.

L’exercice demande d’estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon s’il se déplace dans l’eau ou sur terre.

« Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court.

Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. »

 

Tout d’abord, pour résoudre le problème, on va examiner l’équation et le schéma.

Une vitesse c’est une distance divisée par un temps. Donc le temps est égal à une distance divisée par une vitesse.

Vous remarquez que le trajet dans la rivière est une hypoténuse de triangle-rectangle. Je pose R la largeur de la rivière, puis L la longueur de l’hypoténuse, et on a x (déjà défini) qui est le 3e côté.

On sait avec Pythagore que R² + x² = L². C’est classique.

Je pose T1 tel que T1 = L / V1, où T1 est le temps parcouru exclusivement dans la rivière, et où V1 est la vitesse du crocodile dans la rivière.

Je pose T2 tel que T2 = (20 – x) / V2, où T2 est le temps parcouru exclusivement sur terre, hors de la rivière, et où V2 est la vitesse du crocodile sur la terre ferme.

Je pose T(x) = T1 + T2, pour avoir T(x) qui est la durée total des trajets.

Mais aussi, on a T1 = L / V1 = (x² + R²)^(1/2) / V1. On obtient donc la forme T(x) = [(x² + R²)^(1/2) / V1] + [(20 – x) / V2] qui est exactement la forme de l’équation de l’énoncé : T(x) = 5(36+x²)^(1/2) + 4(20-x).

Pour le calcul du temps le plus court, il est alors exclu que le crocodile se déplace uniquement en rivière, ou uniquement sur terre, il y a obligatoirement une étape en rivière et une étape sur terre ferme.

Pour calculer le temps T(x) le plus court, on remarque que la fonction atteint un point x où T est minimum, alors on calcule la dérivée dT(x)/dx = 0, et je trouve x = 8 mètres. Pour les autres valeurs de x, le temps est plus long.

Si on pose x = 20 mètres, alors le crocodile ne fait que nager, sans étape sur terre ferme. Une partie  de l’équation s’annule, et on aura T(x) = (x²+R²)^(1/2) / V1 = 5(36+20²)^(1/2) = 104,4.

Si on pose x = 0 mètre, alors le crocodile ne fera que marcher sur terre ferme, hors de la rivière (excepté le trajet R), et T(0) = 110.

Tandis qu’avec x = 8 mètres, on aura le temps le plus court : T(8) = 98.

J’ai répondu aux trois questions de l’exercice, cela n’a pris que quelques minutes… Affirmer que l’exercice est insoluble, c’est se foutre du monde, vraiment !

Au fond, le problème n’est pas les maths. Le problème des élèves est simple : ils ne savent pas lire un énoncé, par incompréhension de leur propre langue maternelle, et aussi parce qu’ils n’ont pas appris à réfléchir et à raisonner. Sans ces clés, on ne peut rien produire de bon en maths.

Peut-être que certains trouveront que j’exagère. Non, je suis sérieux.

  • Autre preuve : un exercice ci-dessous datant de 1950, à l’épreuve du certificat d’études, en France, et destiné à des jeunes de 13 ou 14 ans.

« La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims démarre de la gare de l’Est à 8h30 et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express part de Reims en direction de Paris à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. A quelle heure se croiseront-ils et à quelle distance de Paris ? »

Solution : les trains se croisent à 9h59 à 89 km de Paris. La solution tient en une équation assez simple.

Quand on donne cet exercice à des élèves de Terminale, il y a des surprises… Certains n’y parviennent pas. C’est une réalité propre à notre époque. C’est catastrophique…

 

 

Exercice du certif de 1928

  • Exercice : «J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.
    Quand vous aurez l’âge que j’ai, ensemble nous aurons 98 ans.
    Quels sont nos âges respectifs ?»
  • Cet exercice fut proposé lors du certificat de fin d’études primaires de l’année 1928, les candidats avaient 12 ans.

 

Sauriez-vous trouver la solution ?

J’ai personnellement trouvé la solution par calcul (si cela n’avait pas été le cas, ç’aurait été plutôt inquiétant pour mon niveau, hein).

On peut trouver la solution sur Internet (veuillez ne pas tricher sur Google).  😉

Soumettez des élèves de Terminale à cet exercice de niveau 12 ans, afin de voir ce que cela donne… On aurait des surprises, je vous l’assure. Le Bac actuel se base sur des formules apprises par coeur, ou formules même parfois données dans les énoncés. Le Bac actuel incite de moins en moins à la corvée de la réflexion. Quand il faut réfléchir, c’est considéré comme abusif, alors les jeunes font une pétition en 2014 contre l’épreuve de maths du Bac S (jugées trop difficiles mais qui sont pourtant de leur niveau) et une pétition en 2015 contre l’épreuve de physique-chimie du Bac (j’ai vérifié les pages, or rien n’atteste une difficulté insurmontable).

 

Attention, SPOILER ! (révélation de l’intrigue)

Je livre ci-dessous la solution, avec les détails de l’algèbre.

Comment j’ai fait ? Il faut évidemment de l’algèbre, bien-sûr. Et l’on opère avec des nombres entiers. Il est important de bien lire l’énoncé afin de déceler les détails importants exploitables.

Plus concrètement, j’ai construit deux égalités à 3 inconnues :

  • Avec V l’âge du plus vieux et J l’âge du plus jeune, on a la différence d’âge T = V – J.
  • V = 3(J – T).
  • V + J + 2T = 98.
  • alors T = 14 et V = 42 et J = 28.
  • Vous remarquerez que 3 fois 14 = 42 et 2 fois 14 = 28. Ce sont des multiples. Et cela est l’explication à l’étrangeté de l’énoncé qui mêle le présent, le passé et le futur. La complexité n’était qu’apparente.

Je dois préciser que ma maman, qui n’eut que le certificat de fin d’études primaires comme diplôme il y a bien longtemps, a récemment été capable de trouver en partie la solution, et m’a même fait une remarque sur un petit détail que je n’avais pas remarqué !

Si des élèves de niveau Terminale ne sont pas capables de résoudre l’exercice, honte sur eux, ils ne méritent pas leur Bac.

Faites faire l’exercice à des futurs candidats au Bac (qui sont censés être de niveau supérieur au certif), comme test afin d’évaluer la capacité de réflexion et d’analyse, vous aurez des surprises. Pour la plupart, ils n’ont pas le niveau… C’est dur à entendre cela, mais c’est une réalité.

Je ne dis pas ces choses dures pour dénigrer la jeunesse, je ne fais que dénoncer une réalité, en France les jeunes sont victimes d’un système agonisant dans lequel règne le non-sens et le chaos en matière de pédagogie. Le Bac actuel n’a plus aucune valeur. Savoir compter est une chose, mais comprendre un texte et réfléchir en est une autre…

John Philip C. Manson

 

 

Résolution d’un exercice de mathématiques

Voici l’image de l’énoncé :

exercice-voile

Je crois que c’est de niveau Seconde.

Donc, pour résumer, on a une voile en forme de triangle rectangle, sur laquelle il faut coller un rectangle rouge de façon à ce que ce rectangle rouge ait la surface maximale.

Comment ça marche ? Hé bien je vais vous le dire.

Le triangle ABC a une aire constante, elle vaut 8 × 5 / 2 = 20 m².

Ensuite, l’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires de ses différents contenus : le rectangle rouge MNAP et deux petits triangles rectangles CNM et MPB.

Je pose x = AN et y = AP.

AC×AB/2 = x.y + (y/2)(AC – x) + (x/2)(AB – y)

Je pose S = x.y = aire du rectangle rouge.

En remplaçant les côtés par leur valeur connue, je trouve ceci :

  • S = -(5/8)(x² – 8x) = -5x²/8 + 5x

sachant qu’entre-temps j’ai remplacé ‘y’ par S/x.

On a donc l’expression de l’aire S en fonction du côté x. La fonction S(x) est une parabole.

S(x) ci-dessous :

fonction-SdeX

Maintenant, pour trouver l’aire maximale, il faut calculer x tel que la dérivée dS/dx = 0.

C’est normal : quand on s’amuse à faire varier x et y, l’aire S change, elle augmente ou diminue. Quand l’aire est maximum, c’est quand la dérivée est nulle.

En dérivant la fonction S(x), je trouve dS/dx =  -10x/8 + 5 = -5x/4 + 5 = 5(-x/4 + 1) = 0

  • Solution :   x = 4 mètres.
  • Dans la fonction S(x), je remplace x par sa valeur maintenant connue, je trouve alors S = 10 mètres carrés. C’est l’aire maximale.
  •  y = S/x = 10/4 = 5/2 = 2,5 mètres.

 

Vérification :      10 + 2,5(8 − 4)/2 + 4(5 − 2,5)/2 = 20

C’est bien ça.

Remarque intéressante dans le cas où le rectangle MNAP a une aire maximum : AN = NC et AP = PB.

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

Exercice de mathématiques (casse-tête)

  • Un fils et son père ont 27 ans de différence. Le père dit à son fils : « J’ai le quadruple de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as ».  Quel est leur âge pour chacun ?

 

Je définis les paramètres :

  • Soit P l’âge actuel du père.
  • Soit F l’âge actuel du fils.

 

L’expression « J’ai le quadruple de l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as. » peut être interprétée ainsi : quand le père avait l’âge actuel du fils, l’âge du père valait le quadruple de l’âge de son fils à l’époque. Évidemment, l’âge du père ne valait pas le quadruple de l’âge actuel du fils, puisque l’âge du père avait l’âge actuel du fils par définition !

Désolé pour la migraine, messieurs dames…

L’expression du père adressée à son fils peut être source de confusion, ça peut être interprété de diverses manières, mais il n’y a qu’une solution vraie.

En effet, sur cette page : http://fr.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130412052344AA3LQC3&r=wEJFyD3bpPmOeos7BmMCx6UR3ARgYc9OuGWCebT_jPLxTwjFA4A80sr7RIA–&paid=delete_comment#openions  j’ai constaté que la «meilleure réponse» était incorrecte.

En effet, si on pose l’hypothèse selon laquelle le père a 72 ans et le fils 45 ans, à quelle époque le père avait 4 fois l’âge de son fils dans le passé ?

(72 – T) / (45 – T) = 4      donc T = 36 ans plus tôt

Mais il y a 36 ans, le père avait 36 ans et le fils avait 9 ans. Le problème c’est que le père n’avait pas l’âge que son fils a, parce que 36 est différent de 45, donc le père n’avait pas l’âge que le fils a. En fait, l’auteur de la solution a permuté une variable : au lieu que l’âge ancien du père soit celui de l’âge actuel du fils, l’auteur a défini un décalage temporel égal à l’âge ancien du père (le père avait 36 ans il y a 36 ans). Ce n’est donc pas pareil, à cause d’une mauvaise définition de l’auteur.

 

Je pose un système de deux équations à deux inconnues :

  • P = F + 27
  • F = P – T = 4(F – T)      afin que le père avait l’âge actuel de son fils

Unique solution : T = 27 (il y a 27 ans) ; P = 63 ans (âge actuel du père) ; F = 36 ans (âge actuel du fils)

Donc quand le père avait 36 ans (27 ans plus tôt), il avait l’âge actuel de son fils, et le père avait 4 fois l’âge de son fils (36 / 9 = 4).

Dans la page de Yahoo sur la «meilleure réponse», j’observe ceci comme raisonnement : «j’ai le quadruple de l’âge que tu avais : p = 4(f-27)» mais cela entre en conflit avec la suite de l’expression qui a été niée de fait : quand J’AVAIS l’âge que tu as.

Je ne juge personne, mais je fais observer que les choix de la «meilleure réponse» sur Yahoo sont parfois motivés par un manque d’esprit critique. Il y a même des adeptes du New Age qui viennent troller avec leurs cristaux magiques dans la rubrique consacrée à la chimie sans que personne ne trouve cela inapproprié…

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

Quand Internet résout les DM à votre place

Quand Internet résout les DM (devoirs maison = homework) à votre place.

Analyse de la situation de ceux qui demandent de l’aide ou à faire faire leurs devoirs par autrui sur Internet :

  • Quand vous êtes étudiants, vous apprenez, donc vous cherchez tout seul.
  • Quand vous avez fini vos études, vous avez un travail et vous touchez un salaire.

Il est donc hors de question de vous donner la solution…

  • Soit vous êtes lycéens ou étudiants et ce n’est pas vous rendre service que de faire vos devoirs à votre place.
  • Soit vous n’êtes pas lycéens ni étudiants, et dans ce cas on veut bien donner une solution moyennant un salaire.

Personne ne m’a aidé (c’est-à-dire : personne n’a fait mes devoirs à ma place) pendant toutes mes études scientifiques, et heureusement, car sinon je n’aurais rien appris et je serais toujours un cancre en maths maintenant.

La réussite dans les études se gagne avec notre propre sueur. C’est comme le sport : si vous êtes sportif, c’est vous qui devez pratiquer votre sport, personne ne fait de compétitions sportives à votre place…

Le dopage dans le sport c’est démodé, maintenant on engage une doublure qui fait le boulot à notre place.

iconlol

© 2013 John Philip C. Manson