Combien de temps durerait une chute dans un tunnel qui traverse la Terre ?

Je résume brièvement.

Et si l’on creusait un tunnel à travers la Terre et que l’on sautait à l’intérieur ?

Alors combien de temps faudrait-il pour arriver jusqu’à l’autre extrémité ? Depuis près de 50 ans, les scientifiques affirment qu’il faudrait 42 minutes et 12 secondes pour traverser un tunnel creusé à l’intérieur de la Terre mais une étude publiée en 2015 leur a donné tort. Ces recherches ont été menées par Alexander Klotz de l’Université McGill à Montréal et ont permis de conclure qu’il en fallait moins (à cause de la densité non uniforme de la Terre).

 

Je me suis penché sur cette problématique, et je me suis basé sur la densité moyenne uniforme de la Terre, comme pour les calculs d’il y a 50 ans.
Une chute libre suit une accélération dans un tunnel en passant par le centre de la Terre.
J’ai tenu compte de la variation de l’accélération de la pesanteur en fonction de la distance parcourue.
Je pose alors g(z) = 9,81 / ((4 R^3 / (z²(3R – z))) – 1)
et aussi z(t) = (1/2) * g(z) * t²
Avec R = 6371000 m (rayon terrestre moyen), z = distance parcourue dans le tunnel, par rapport au point d’origine situé au niveau de la mer.
Calculer la durée à travers du demi-tunnel est tout simple, avec la condition suivante :  z = R. Donc t = 2R/g.
Temps pour parcourir le tunnel entier :   t =  4 R / g = 2 fois 1298,88 secondes, soit 43 minutes et 18 secondes.
Je trouve donc un résultat très proche de la valeur connue jusqu’en 2015.
Évidemment, comme la Terre a une densité variable selon sa profondeur (la densité n’est pas constante dans la réalité), on appelle cela un gradient de densité, cela change forcément le contenu des calculs.
Tout lycéen de Terminale S (niveau Bac S) sait normalement calculer tout cela.
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Voici un exemple qui démontre qu’il ne faut pas se fier à l’intuition

Voici un exemple simple qui démontre qu’il ne faut pas se fier à l’intuition. Vous y réfléchirez à deux fois…

Baseball

Il paraîtrait que plus de la moitié des étudiants de Harvard se font avoir…
Notez comment la première réponse qui vous vient à l’esprit paraît évidente : 10 euros.
Pourtant, ce résultat est faux.

En effet, l’intuition est un biais, une illusion de « logique ».

La logique mathématique exige de la rigueur.

Soit A le prix de la balle, et B le prix de la batte. La batte est plus chère que la balle, donc B > A.

Selon l’énoncé dans l’image, nous avons donc A + B = 110 et B = 100 + A. La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues, qui est très simple, indique que la batte vaut 105 euros, et la balle vaut 5 euros (et non pas 10).

Ce qui apparaît très clair, c’est que l’intuition n’est pas fiable pour quantifier les choses. Les journalistes et les gouvernements (ainsi que les adeptes des théories du complot) utilisent les biais de l’intuition, tous les jours, pour nous tromper et nous illusionner.

Ne croyez pas qu’une solution a l’air d’être ceci ou cela en apparence. Il ne faut pas avoir l’impression ou la sensation que le résultat est ceci ou cela, calculez un résultat avec rigueur, prenez votre temps. Même quand c’est simple. Avec l’intuition, se tromper est si facile à faire…

 

John Philip C. Manson

 

Des victimes d’arnaques au photovoltaïque

Depuis le temps que je disais que l’énergie solaire est peu rentable (surtout comme moyen de production électrique chez les particuliers), les journalistes annoncent bien tardivement les mauvaises surprises, pourtant prévisibles par quelques calculs…

Certains pensaient investir grâce à l’énergie solaire… Ils se retrouvent avec 200 euros de coûts chaque mois…

On peut refaire le calcul :

  • Le rayonnement solaire incident est de 1367 W/m² au niveau de l’orbite terrestre (c’est la constante solaire).
  • Le rayonnement solaire incident reçu sur la surface terrestre (pendant le jour) sur une section de disque est de 342 W/m².
  • Le rendement habituel des panneaux solaires est compris entre 10% et 20%.
  • Par conséquent, dans le meilleur des cas (temps ensoleillé sans ombrage dans les régions tempérées), un mètre carré de panneau solaire produit environ 34 à 68 W maximum (25 à 50 W si on se base sur un rayonnement solaire incident de 1 kW/m²). De quoi faire fonctionner une ou deux ampoules électriques.

La plupart des installations photovoltaïques sur les toits, c’est 16 panneaux d’environ 1 m² chacun, soit 16 m². Dans les conditions d’ensoleillement les plus optimistes (et seulement durant les jours, et non les nuits), on peut espérer une production électrique atteignant 400 à 800 W maximum pendant le jour. Mais un temps ensoleillé continu, et constamment au zénith, ça n’existe pas. Ce sera donc toujours inférieur à 400 ou 800 W/m² en période diurne pour les 16 panneaux solaires. En effet, le temps peut être souvent nuageux, et l’angle des rayons solaires incidents forment souvent un angle qui fait que les rayons sont tangents par rapport à la surface des panneaux (comme au lever et au coucher de soleil). L’inclinaison des panneaux par rapport à la position changeante du soleil a des conséquences sur le rendement électrique.

La production d’énergie solaire photovoltaïque réalisée par un panneau solaire cristallin (dans la région de Lyon en France) est en moyenne de 100 kWh/m² par an. Ce qui correspond, calcul fait, à environ 11 W/m² en moyenne (cette valeur est inférieure à mes calculs précédents car là elle prend en compte les périodes d’ennuagement et les intempéries, car il n’y a pas tout le temps du soleil en journée).

En moyenne, avec 16 m² de panneaux solaires sur un toit de maison, on produit environ 176 W. C’est bien maigre comme production électrique. Grâce aux calculs aux conclusions explicites, je n’achèterai jamais ce bazar dont la publicité fait plus de bruit que les résultats réels…

En pédalant comme un athlète sur un vélo équipé d’une dynamo, on peut atteindre environ 600 watts. La force musculaire d’un homme produisant de l’électricité à l’aide d’une dynamo bon marché, ça donne un meilleur résultat que 16 m² de panneaux photovoltaïques, et mieux aussi qu’une petite éolienne domestique. Évidemment, on remplace le cycliste quand celui-ci est fatigué.  😉

La logique veut que l’on évalue et que l’on vérifie avant d’acheter. Non ? On ne doit pas acheter sous prétexte de croire qu’un vendeur dit la vérité quand il vous convainc qu’une 2-CV a un moteur dont la puissance dépasse de loin celle d’un Boeing 747… Quand vous achetez une bagnole, vous l’essayez avant de l’acheter.

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© 2014 John Philip C. Manson

Feng Shui et affirmation mensongère

  • Bonjour à tous. Mon blog est actuellement en activité très réduite (plus de 30 fois moins actif), mais il n’est pas à l’abandon. Je suis très occupé à d’autres priorités assez différentes. De plus, la saison estivale rend l’internet beaucoup moins actif que le reste de l’année. Puis je n’avais plus beaucoup d’inspiration à écrire depuis un mois. Cependant, j’ai trouvé un petit sujet assez intéressant pour vous montrer l’intérêt de l’esprit critique. Le temps, voila un sujet intéressant. La gestion du temps. Je veux parler ici du calendrier. Il existe un lien entre les calendriers et les mathématiques, et c’est ce dont je vais parler ici dans ce présent article.

Quelques jours plus tôt, en explorant Facebook, j’ai découvert un statut publié par un homme qui s’intéresse au magnétisme animal (le mesmérisme) et au Feng Shui (croyance traditionnelle chinoise récupérée par le monde occidental). L’intérêt de ce que cet homme a publié, c’est le contenu de l’image, et cette image présente la particularité d’être vérifiable et réfutable, elle a donc un intérêt scientifique parce que l’on peut réaliser une comparaison quantitative entre une hypothèse et le résultat de l’analyse.

Voici l’image de Facebook :

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Bref, une combinaison précise telle qu’il y ait 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches dans le mois de juillet, est-ce que ça tombe tous les 623 ans comme cela est affirmé ? On peut réfuter ce que prétend cette croyance en présentant un contre-exemple quantitatif objectif.

Comme je suis un habitué du système GNU/Linux, il existe une fonction nommée CAL qui fonctionne en ligne de commande sous Linux. En développant mon propre programme, il est possible de vérifier combien il existe de mois de juillet correspondant à la condition évoquée ci-dessus dans un intervalle donné d’années. Pour les linuxiens n’ayant pas ce programme CAL, vous pouvez l’installer (sous distribution de type Debian) avec la commande suivante :  sudo apt-get install cal

Voici le code source de mon programme, en Bash :

#!/bin/bash

cmd=true
cyear=1900

while($cmd == true)
do
verif1=`cal Juillet $cyear | head -7 | tail -3 | wc -c`
verif2=`cal Juillet $cyear | head -7 | tail -3 | wc -w`
verif3=`cal Juillet $cyear | head -5 | tail -1 | cut -d’ ‘ -f1`

if [[ $verif1 == « 69 » ]]
then
if [[ $verif2 == « 21 » ]]
then
if [[ $verif3 == « 10 » ]]
then
echo « $cyear » >> calendrier.log
fi
fi
fi

cyear=$(($cyear + 1))

if [[ $cyear == « 2101 » ]]
then
cmd=false
fi

done

taux=`cat calendrier.log | wc -l`

echo $taux

Ce programme va créer un fichier journal qui liste les années entre 1900 et 2100 dont les mois de juillet qui ont 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches. Puis lorsque le programme a terminé, il indique le nombre d’années qui correspondent à la condition définie.

Alors, cela arrive vraiment tous les 623 ans ? Non, pas du tout, c’est même bien plus fréquent.

Entre 1900 et 2100, il existe 28 années qui satisfont à la condition recherchée : 1904, 1910, 1921, 1927, 1932, 1938, 1949, 1955, 1960, 1966, 1977, 1983, 1988, 1994, 2005, 2011, 2016, 2022, 2033, 2039, 2044, 2050, 2061, 2067, 2072, 2078, 2089, 2095.

Il y a 14 années correspondantes pour le vingtième siècle, et autant pour le vingt-et-unième siècle.

D’après ce que dit le texte de l’image, avoir un mois de juillet avec 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches c’était vrai pour l’an 2011 (il y a 2 ans), mais faux pour 2012 et 2013, et cela redeviendra vrai pour l’an 2016.

J’ai relancé le calcul informatique pour un intervalle de presque 10000 ans (entre l’an 1 de notre ère et l’an 9999 de notre ère, soit un total de 9999 années analysées). Il existe 1447 années qui satisfont à la condition (avoir un mois de juillet avec 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches) sur 10000 ans. Le phénomène se produit donc en moyenne tous les 6,91 ans (presque tous les 7 ans), et certainement pas tous les 623 ans. Bref, en réalité, le phénomène est environ 90 fois plus fréquent que ce que raconte la croyance.

  • Ce constat soulève une question essentielle : à quoi sert-il de croire des choses certainement fausses alors qu’il est plus utile et plus pertinent de connaître ce qui est plus proche de la réalité ? Je n’inclus pas ici la croyance en Dieu, car l’existence de Dieu est une question indécidable par laquelle on ne peut conclure ni à l’existence ni à l’inexistence. L’indécidabilité conduit à deux choix : l’agnosticisme, ou la croyance. On est donc libre de croire ou de ne pas croire dans le cadre d’une question indécidable. L’enjeu ici avec le texte de l’image de Facebook est le suivant : lorsqu’une idée est quantitativement vérifiable et qu’elle se révèle fausse, ce qui est le cas du sujet étudié dans le présent article, il devient absurde de conserver cette idée quand on sait concrètement qu’elle est fausse, il faut donc la considérer comme une hypothèse réfutée et invalidée, et il faut donc la remplacer au mieux par un concept plus proche de la réalité si cela est possible, ou au pire on la remplace par une idée indécidable. Ainsi, l’équilibre vient de nos croyances qui doivent s’adapter à l’objectivité, et non le contraire. L’équilibre ne signifie pas équivalence entre subjectivité et objectivité, l’équilibre est donc plutôt l’adaptation de nos a prioris avec la réalité. Ce ne sont pas nos croyances qui fixent la réalité, mais la réalité qui s’impose à nous. Les Droits de l’Homme parlent de la liberté de croyance (article 18), mais ils parlent aussi du droit à l’éducation (article 26) au moins en ce qui concerne l’enseignement élémentaire et fondamental (dont l’aptitude au calcul). Que faire quand les résultats de calculs entrent en contradiction avec les croyances ? Libre à chacun de choisir, mais un choix est à faire pour lever la contradiction (principe du tiers exclu).

© 2013 John Philip C. Manson

Résolution d’un exercice de mathématiques

Voici l’image de l’énoncé :

exercice-voile

Je crois que c’est de niveau Seconde.

Donc, pour résumer, on a une voile en forme de triangle rectangle, sur laquelle il faut coller un rectangle rouge de façon à ce que ce rectangle rouge ait la surface maximale.

Comment ça marche ? Hé bien je vais vous le dire.

Le triangle ABC a une aire constante, elle vaut 8 × 5 / 2 = 20 m².

Ensuite, l’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires de ses différents contenus : le rectangle rouge MNAP et deux petits triangles rectangles CNM et MPB.

Je pose x = AN et y = AP.

AC×AB/2 = x.y + (y/2)(AC – x) + (x/2)(AB – y)

Je pose S = x.y = aire du rectangle rouge.

En remplaçant les côtés par leur valeur connue, je trouve ceci :

  • S = -(5/8)(x² – 8x) = -5x²/8 + 5x

sachant qu’entre-temps j’ai remplacé ‘y’ par S/x.

On a donc l’expression de l’aire S en fonction du côté x. La fonction S(x) est une parabole.

S(x) ci-dessous :

fonction-SdeX

Maintenant, pour trouver l’aire maximale, il faut calculer x tel que la dérivée dS/dx = 0.

C’est normal : quand on s’amuse à faire varier x et y, l’aire S change, elle augmente ou diminue. Quand l’aire est maximum, c’est quand la dérivée est nulle.

En dérivant la fonction S(x), je trouve dS/dx =  -10x/8 + 5 = -5x/4 + 5 = 5(-x/4 + 1) = 0

  • Solution :   x = 4 mètres.
  • Dans la fonction S(x), je remplace x par sa valeur maintenant connue, je trouve alors S = 10 mètres carrés. C’est l’aire maximale.
  •  y = S/x = 10/4 = 5/2 = 2,5 mètres.

 

Vérification :      10 + 2,5(8 − 4)/2 + 4(5 − 2,5)/2 = 20

C’est bien ça.

Remarque intéressante dans le cas où le rectangle MNAP a une aire maximum : AN = NC et AP = PB.

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

Quand Internet résout les DM à votre place

Quand Internet résout les DM (devoirs maison = homework) à votre place.

Analyse de la situation de ceux qui demandent de l’aide ou à faire faire leurs devoirs par autrui sur Internet :

  • Quand vous êtes étudiants, vous apprenez, donc vous cherchez tout seul.
  • Quand vous avez fini vos études, vous avez un travail et vous touchez un salaire.

Il est donc hors de question de vous donner la solution…

  • Soit vous êtes lycéens ou étudiants et ce n’est pas vous rendre service que de faire vos devoirs à votre place.
  • Soit vous n’êtes pas lycéens ni étudiants, et dans ce cas on veut bien donner une solution moyennant un salaire.

Personne ne m’a aidé (c’est-à-dire : personne n’a fait mes devoirs à ma place) pendant toutes mes études scientifiques, et heureusement, car sinon je n’aurais rien appris et je serais toujours un cancre en maths maintenant.

La réussite dans les études se gagne avec notre propre sueur. C’est comme le sport : si vous êtes sportif, c’est vous qui devez pratiquer votre sport, personne ne fait de compétitions sportives à votre place…

Le dopage dans le sport c’est démodé, maintenant on engage une doublure qui fait le boulot à notre place.

iconlol

© 2013 John Philip C. Manson

Comment calculer le nombre pi ?

Pour calculer le nombre pi :

  • Première méthode : on trace un gros cercle avec un compas, et on mesure sa circonférence (périmètre) que l’on divise par son diamètre, le résultat est égal à pi. Par définition, c’est ça, le nombre pi.
  • Deuxième méthode : la somme continue de n = 1 à n = infini de ((-1)^(n-1)/(2n+1)) converge vers 1 – (pi/4).

Preuve ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+n%3D1+to+infinite+of+%28%28-1%29%5E%28n-1%29%2F%282n%2B1%29%29

 

 

© 2013 John Philip C. Manson