Combien de temps durerait une chute dans un tunnel qui traverse la Terre ?

Je résume brièvement.

Et si l’on creusait un tunnel à travers la Terre et que l’on sautait à l’intérieur ?

Alors combien de temps faudrait-il pour arriver jusqu’à l’autre extrémité ? Depuis près de 50 ans, les scientifiques affirment qu’il faudrait 42 minutes et 12 secondes pour traverser un tunnel creusé à l’intérieur de la Terre mais une étude publiée en 2015 leur a donné tort. Ces recherches ont été menées par Alexander Klotz de l’Université McGill à Montréal et ont permis de conclure qu’il en fallait moins (à cause de la densité non uniforme de la Terre).

 

Je me suis penché sur cette problématique, et je me suis basé sur la densité moyenne uniforme de la Terre, comme pour les calculs d’il y a 50 ans.
Une chute libre suit une accélération dans un tunnel en passant par le centre de la Terre.
J’ai tenu compte de la variation de l’accélération de la pesanteur en fonction de la distance parcourue.
Je pose alors g(z) = 9,81 / ((4 R^3 / (z²(3R – z))) – 1)
et aussi z(t) = (1/2) * g(z) * t²
Avec R = 6371000 m (rayon terrestre moyen), z = distance parcourue dans le tunnel, par rapport au point d’origine situé au niveau de la mer.
Calculer la durée à travers du demi-tunnel est tout simple, avec la condition suivante :  z = R. Donc t = 2R/g.
Temps pour parcourir le tunnel entier :   t =  4 R / g = 2 fois 1298,88 secondes, soit 43 minutes et 18 secondes.
Je trouve donc un résultat très proche de la valeur connue jusqu’en 2015.
Évidemment, comme la Terre a une densité variable selon sa profondeur (la densité n’est pas constante dans la réalité), on appelle cela un gradient de densité, cela change forcément le contenu des calculs.
Tout lycéen de Terminale S (niveau Bac S) sait normalement calculer tout cela.

Voici un exemple qui démontre qu’il ne faut pas se fier à l’intuition

Voici un exemple simple qui démontre qu’il ne faut pas se fier à l’intuition. Vous y réfléchirez à deux fois…

Baseball

Il paraîtrait que plus de la moitié des étudiants de Harvard se font avoir…
Notez comment la première réponse qui vous vient à l’esprit paraît évidente : 10 euros.
Pourtant, ce résultat est faux.

En effet, l’intuition est un biais, une illusion de « logique ».

La logique mathématique exige de la rigueur.

Soit A le prix de la balle, et B le prix de la batte. La batte est plus chère que la balle, donc B > A.

Selon l’énoncé dans l’image, nous avons donc A + B = 110 et B = 100 + A. La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues, qui est très simple, indique que la batte vaut 105 euros, et la balle vaut 5 euros (et non pas 10).

Ce qui apparaît très clair, c’est que l’intuition n’est pas fiable pour quantifier les choses. Les journalistes et les gouvernements (ainsi que les adeptes des théories du complot) utilisent les biais de l’intuition, tous les jours, pour nous tromper et nous illusionner.

Ne croyez pas qu’une solution a l’air d’être ceci ou cela en apparence. Il ne faut pas avoir l’impression ou la sensation que le résultat est ceci ou cela, calculez un résultat avec rigueur, prenez votre temps. Même quand c’est simple. Avec l’intuition, se tromper est si facile à faire…

 

John Philip C. Manson

 

Des victimes d’arnaques au photovoltaïque

Depuis le temps que je disais que l’énergie solaire est peu rentable (surtout comme moyen de production électrique chez les particuliers), les journalistes annoncent bien tardivement les mauvaises surprises, pourtant prévisibles par quelques calculs…

Certains pensaient investir grâce à l’énergie solaire… Ils se retrouvent avec 200 euros de coûts chaque mois…

On peut refaire le calcul :

  • Le rayonnement solaire incident est de 1367 W/m² au niveau de l’orbite terrestre (c’est la constante solaire).
  • Le rayonnement solaire incident reçu sur la surface terrestre (pendant le jour) sur une section de disque est de 342 W/m².
  • Le rendement habituel des panneaux solaires est compris entre 10% et 20%.
  • Par conséquent, dans le meilleur des cas (temps ensoleillé sans ombrage dans les régions tempérées), un mètre carré de panneau solaire produit environ 34 à 68 W maximum (25 à 50 W si on se base sur un rayonnement solaire incident de 1 kW/m²). De quoi faire fonctionner une ou deux ampoules électriques.

La plupart des installations photovoltaïques sur les toits, c’est 16 panneaux d’environ 1 m² chacun, soit 16 m². Dans les conditions d’ensoleillement les plus optimistes (et seulement durant les jours, et non les nuits), on peut espérer une production électrique atteignant 400 à 800 W maximum pendant le jour. Mais un temps ensoleillé continu, et constamment au zénith, ça n’existe pas. Ce sera donc toujours inférieur à 400 ou 800 W/m² en période diurne pour les 16 panneaux solaires. En effet, le temps peut être souvent nuageux, et l’angle des rayons solaires incidents forment souvent un angle qui fait que les rayons sont tangents par rapport à la surface des panneaux (comme au lever et au coucher de soleil). L’inclinaison des panneaux par rapport à la position changeante du soleil a des conséquences sur le rendement électrique.

La production d’énergie solaire photovoltaïque réalisée par un panneau solaire cristallin (dans la région de Lyon en France) est en moyenne de 100 kWh/m² par an. Ce qui correspond, calcul fait, à environ 11 W/m² en moyenne (cette valeur est inférieure à mes calculs précédents car là elle prend en compte les périodes d’ennuagement et les intempéries, car il n’y a pas tout le temps du soleil en journée).

En moyenne, avec 16 m² de panneaux solaires sur un toit de maison, on produit environ 176 W. C’est bien maigre comme production électrique. Grâce aux calculs aux conclusions explicites, je n’achèterai jamais ce bazar dont la publicité fait plus de bruit que les résultats réels…

En pédalant comme un athlète sur un vélo équipé d’une dynamo, on peut atteindre environ 600 watts. La force musculaire d’un homme produisant de l’électricité à l’aide d’une dynamo bon marché, ça donne un meilleur résultat que 16 m² de panneaux photovoltaïques, et mieux aussi qu’une petite éolienne domestique. Évidemment, on remplace le cycliste quand celui-ci est fatigué.  😉

La logique veut que l’on évalue et que l’on vérifie avant d’acheter. Non ? On ne doit pas acheter sous prétexte de croire qu’un vendeur dit la vérité quand il vous convainc qu’une 2-CV a un moteur dont la puissance dépasse de loin celle d’un Boeing 747… Quand vous achetez une bagnole, vous l’essayez avant de l’acheter.

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© 2014 John Philip C. Manson

Feng Shui et affirmation mensongère

  • Bonjour à tous. Mon blog est actuellement en activité très réduite (plus de 30 fois moins actif), mais il n’est pas à l’abandon. Je suis très occupé à d’autres priorités assez différentes. De plus, la saison estivale rend l’internet beaucoup moins actif que le reste de l’année. Puis je n’avais plus beaucoup d’inspiration à écrire depuis un mois. Cependant, j’ai trouvé un petit sujet assez intéressant pour vous montrer l’intérêt de l’esprit critique. Le temps, voila un sujet intéressant. La gestion du temps. Je veux parler ici du calendrier. Il existe un lien entre les calendriers et les mathématiques, et c’est ce dont je vais parler ici dans ce présent article.

Quelques jours plus tôt, en explorant Facebook, j’ai découvert un statut publié par un homme qui s’intéresse au magnétisme animal (le mesmérisme) et au Feng Shui (croyance traditionnelle chinoise récupérée par le monde occidental). L’intérêt de ce que cet homme a publié, c’est le contenu de l’image, et cette image présente la particularité d’être vérifiable et réfutable, elle a donc un intérêt scientifique parce que l’on peut réaliser une comparaison quantitative entre une hypothèse et le résultat de l’analyse.

Voici l’image de Facebook :

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Bref, une combinaison précise telle qu’il y ait 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches dans le mois de juillet, est-ce que ça tombe tous les 623 ans comme cela est affirmé ? On peut réfuter ce que prétend cette croyance en présentant un contre-exemple quantitatif objectif.

Comme je suis un habitué du système GNU/Linux, il existe une fonction nommée CAL qui fonctionne en ligne de commande sous Linux. En développant mon propre programme, il est possible de vérifier combien il existe de mois de juillet correspondant à la condition évoquée ci-dessus dans un intervalle donné d’années. Pour les linuxiens n’ayant pas ce programme CAL, vous pouvez l’installer (sous distribution de type Debian) avec la commande suivante :  sudo apt-get install cal

Voici le code source de mon programme, en Bash :

#!/bin/bash

cmd=true
cyear=1900

while($cmd == true)
do
verif1=`cal Juillet $cyear | head -7 | tail -3 | wc -c`
verif2=`cal Juillet $cyear | head -7 | tail -3 | wc -w`
verif3=`cal Juillet $cyear | head -5 | tail -1 | cut -d’ ‘ -f1`

if [[ $verif1 == « 69 » ]]
then
if [[ $verif2 == « 21 » ]]
then
if [[ $verif3 == « 10 » ]]
then
echo « $cyear » >> calendrier.log
fi
fi
fi

cyear=$(($cyear + 1))

if [[ $cyear == « 2101 » ]]
then
cmd=false
fi

done

taux=`cat calendrier.log | wc -l`

echo $taux

Ce programme va créer un fichier journal qui liste les années entre 1900 et 2100 dont les mois de juillet qui ont 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches. Puis lorsque le programme a terminé, il indique le nombre d’années qui correspondent à la condition définie.

Alors, cela arrive vraiment tous les 623 ans ? Non, pas du tout, c’est même bien plus fréquent.

Entre 1900 et 2100, il existe 28 années qui satisfont à la condition recherchée : 1904, 1910, 1921, 1927, 1932, 1938, 1949, 1955, 1960, 1966, 1977, 1983, 1988, 1994, 2005, 2011, 2016, 2022, 2033, 2039, 2044, 2050, 2061, 2067, 2072, 2078, 2089, 2095.

Il y a 14 années correspondantes pour le vingtième siècle, et autant pour le vingt-et-unième siècle.

D’après ce que dit le texte de l’image, avoir un mois de juillet avec 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches c’était vrai pour l’an 2011 (il y a 2 ans), mais faux pour 2012 et 2013, et cela redeviendra vrai pour l’an 2016.

J’ai relancé le calcul informatique pour un intervalle de presque 10000 ans (entre l’an 1 de notre ère et l’an 9999 de notre ère, soit un total de 9999 années analysées). Il existe 1447 années qui satisfont à la condition (avoir un mois de juillet avec 5 vendredis, 5 samedis et 5 dimanches) sur 10000 ans. Le phénomène se produit donc en moyenne tous les 6,91 ans (presque tous les 7 ans), et certainement pas tous les 623 ans. Bref, en réalité, le phénomène est environ 90 fois plus fréquent que ce que raconte la croyance.

  • Ce constat soulève une question essentielle : à quoi sert-il de croire des choses certainement fausses alors qu’il est plus utile et plus pertinent de connaître ce qui est plus proche de la réalité ? Je n’inclus pas ici la croyance en Dieu, car l’existence de Dieu est une question indécidable par laquelle on ne peut conclure ni à l’existence ni à l’inexistence. L’indécidabilité conduit à deux choix : l’agnosticisme, ou la croyance. On est donc libre de croire ou de ne pas croire dans le cadre d’une question indécidable. L’enjeu ici avec le texte de l’image de Facebook est le suivant : lorsqu’une idée est quantitativement vérifiable et qu’elle se révèle fausse, ce qui est le cas du sujet étudié dans le présent article, il devient absurde de conserver cette idée quand on sait concrètement qu’elle est fausse, il faut donc la considérer comme une hypothèse réfutée et invalidée, et il faut donc la remplacer au mieux par un concept plus proche de la réalité si cela est possible, ou au pire on la remplace par une idée indécidable. Ainsi, l’équilibre vient de nos croyances qui doivent s’adapter à l’objectivité, et non le contraire. L’équilibre ne signifie pas équivalence entre subjectivité et objectivité, l’équilibre est donc plutôt l’adaptation de nos a prioris avec la réalité. Ce ne sont pas nos croyances qui fixent la réalité, mais la réalité qui s’impose à nous. Les Droits de l’Homme parlent de la liberté de croyance (article 18), mais ils parlent aussi du droit à l’éducation (article 26) au moins en ce qui concerne l’enseignement élémentaire et fondamental (dont l’aptitude au calcul). Que faire quand les résultats de calculs entrent en contradiction avec les croyances ? Libre à chacun de choisir, mais un choix est à faire pour lever la contradiction (principe du tiers exclu).

© 2013 John Philip C. Manson

Résolution d’un exercice de mathématiques

Voici l’image de l’énoncé :

exercice-voile

Je crois que c’est de niveau Seconde.

Donc, pour résumer, on a une voile en forme de triangle rectangle, sur laquelle il faut coller un rectangle rouge de façon à ce que ce rectangle rouge ait la surface maximale.

Comment ça marche ? Hé bien je vais vous le dire.

Le triangle ABC a une aire constante, elle vaut 8 × 5 / 2 = 20 m².

Ensuite, l’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires de ses différents contenus : le rectangle rouge MNAP et deux petits triangles rectangles CNM et MPB.

Je pose x = AN et y = AP.

AC×AB/2 = x.y + (y/2)(AC – x) + (x/2)(AB – y)

Je pose S = x.y = aire du rectangle rouge.

En remplaçant les côtés par leur valeur connue, je trouve ceci :

  • S = -(5/8)(x² – 8x) = -5x²/8 + 5x

sachant qu’entre-temps j’ai remplacé ‘y’ par S/x.

On a donc l’expression de l’aire S en fonction du côté x. La fonction S(x) est une parabole.

S(x) ci-dessous :

fonction-SdeX

Maintenant, pour trouver l’aire maximale, il faut calculer x tel que la dérivée dS/dx = 0.

C’est normal : quand on s’amuse à faire varier x et y, l’aire S change, elle augmente ou diminue. Quand l’aire est maximum, c’est quand la dérivée est nulle.

En dérivant la fonction S(x), je trouve dS/dx =  -10x/8 + 5 = -5x/4 + 5 = 5(-x/4 + 1) = 0

  • Solution :   x = 4 mètres.
  • Dans la fonction S(x), je remplace x par sa valeur maintenant connue, je trouve alors S = 10 mètres carrés. C’est l’aire maximale.
  •  y = S/x = 10/4 = 5/2 = 2,5 mètres.

 

Vérification :      10 + 2,5(8 − 4)/2 + 4(5 − 2,5)/2 = 20

C’est bien ça.

Remarque intéressante dans le cas où le rectangle MNAP a une aire maximum : AN = NC et AP = PB.

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

Quand Internet résout les DM à votre place

Quand Internet résout les DM (devoirs maison = homework) à votre place.

Analyse de la situation de ceux qui demandent de l’aide ou à faire faire leurs devoirs par autrui sur Internet :

  • Quand vous êtes étudiants, vous apprenez, donc vous cherchez tout seul.
  • Quand vous avez fini vos études, vous avez un travail et vous touchez un salaire.

Il est donc hors de question de vous donner la solution…

  • Soit vous êtes lycéens ou étudiants et ce n’est pas vous rendre service que de faire vos devoirs à votre place.
  • Soit vous n’êtes pas lycéens ni étudiants, et dans ce cas on veut bien donner une solution moyennant un salaire.

Personne ne m’a aidé (c’est-à-dire : personne n’a fait mes devoirs à ma place) pendant toutes mes études scientifiques, et heureusement, car sinon je n’aurais rien appris et je serais toujours un cancre en maths maintenant.

La réussite dans les études se gagne avec notre propre sueur. C’est comme le sport : si vous êtes sportif, c’est vous qui devez pratiquer votre sport, personne ne fait de compétitions sportives à votre place…

Le dopage dans le sport c’est démodé, maintenant on engage une doublure qui fait le boulot à notre place.

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© 2013 John Philip C. Manson

Comment calculer le nombre pi ?

Pour calculer le nombre pi :

  • Première méthode : on trace un gros cercle avec un compas, et on mesure sa circonférence (périmètre) que l’on divise par son diamètre, le résultat est égal à pi. Par définition, c’est ça, le nombre pi.
  • Deuxième méthode : la somme continue de n = 1 à n = infini de ((-1)^(n-1)/(2n+1)) converge vers 1 – (pi/4).

Preuve ici : http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+n%3D1+to+infinite+of+%28%28-1%29%5E%28n-1%29%2F%282n%2B1%29%29

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

Peut-on calculer un sinus sans calculette ?

Un internaute demande si on peut calculer un sinus sans calculette. Sa fille lui a dit qu’il est impossible de calculer un sinus sans calculette, et que son prof de physique a demandé à la classe de calculer le sinus d’un angle sans calculette.

Sans calculette, oui, puisqu’avant le 20e siècle, les mathématiciens et les ingénieurs calculaient tout à la main, c’était bien plus long.

On peut faire ça à la main.

On trace un cercle au compas. On trace ensuite le rayon du cercle (sur l’axe des abscisses, le centre du cercle étant en position (0;0)).

Ensuite, on trace un segment de 45° par rapport au rayon précédemment tracé, sa longueur est prolongée jusqu’à une droite qui est tangente au cercle et parallèle à l’axe des ordonnées. Ensuite, on effectue une division à la main : le rayon est divisé par la longueur du deuxième segment.

J’ai un cercle de rayon 1. Le segment à 45° de l’axe des abscisses (sur lequel se confond le segment-rayon) mesure 1,41. Évidemment, on mesure la longueur avec une règle.

On s’aperçoit alors que sin (45°) = 1 / 1,41 = l’inverse de la racine carrée de 2

Pour n’importe quel autre angle, on fait pareil : la mesure de la longueur des segments, on divise ensuite à la main, et on a la valeur du sinus de l’angle.

 

Schéma ci-dessous :

sinus

Le sinus de 45° (voir l’image) est égal à la division de la longueur du segment rouge (rayon du cercle) par la longueur du segment vert.

Particularité : le segment rouge, le segment vert et un segment bleu de la tangente forment tous trois un triangle-rectangle. Évidemment, le théorème de Pythagore s’y applique : le carré du rayon + le carré du segment vert = le carré du segment bleu (longueurs des segments).

Puis aussi :    cos² A + sin² A = 1

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

La clé des mathématiques

  • Créé le 2 novembre 2011 dans mon premier blog désormais disparu, cet article est restauré le 28 janvier 2013 ici.

Ce n’est pas parce que l’on n’est pas doué en maths que cela signifie que l’on n’aime pas les maths. Ayant été toujours un élève attentif, il m’est souvent arrivé d’avoir des problèmes de compréhension des mathématiques. Pour ainsi dire, j’étais médiocre à l’école primaire en maths, notamment pour faire une division à la main.

Ce n’est pas par manque d’intérêt mais à cause de la façon dont les maths sont enseignées. Après le bac, à l’université, il faut l’avouer, les maths c’est bien pire qu’au lycée.

Produire de bons résultats en maths est une mécanique liée à l’application de formules apprises en cours, mais calculer n’est pas comprendre. C’est une mécanique infernale qui, quand elle tombe sur un grain de sable, finit par bloquer. La vraie difficulté des maths est un problème profond lié à son enseignement, on ne voit que la partie émergée de l’iceberg. En effet : comment mesure t-on la compréhension des élèves en classe de maths ? En vérifiant qu’ils trouvent le bon résultat à un exercice. Mais pas en évaluant la compréhension de l’essence des maths.

Nous pourrions mettre en évidence ce problème réel avec un exemple anecdotique (l’âge du capitaine), d’après un texte de Gustave Flaubert :

  • « Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème : Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d’avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle Nord-Nord-Est, l’horloge marque trois heures un quart d’après-midi, on est au mois de mai… On demande de calculer l’âge du capitaine. » 

Il suffit d’appliquer ce test à une classe de CM2 et à une classe de Terminale pour se convaincre qu’il existe un problème de compréhension des maths. On peut donner ce test pour évaluer nos propres enfants à la maison à l’heure de faire les devoirs. Plusieurs élèves auront donné une solution alors qu’il n’y en a pas… Parce qu’il n’y a pas de lien de causalité entre les données et le résultat demandé. Il faut absolument se méfier des pseudo-savoirs intuitifs.

Dans l’enseignement quotidien, à aucun moment il ne viendrait à l’idée d’un prof de maths, ou d’un chercheur en pédagogie, de demander à un élève : « Oui, tu as trouvé le bon résultat… mais que signifie ce résultat ? »

Ce problème existe au collège et au lycée, et même en math sup ou math spé – où les étudiants n’ont même pas conscience du lien entre une dérivée et une tangente… Mais ils trouvent quand même les bons résultats aux équations différentielles. Ahurissant, non ? Évidemment à ce niveau, on ne dira jamais que ces étudiants sont en difficultés mathématiques… Je parle en connaissance de cause : au lycée, je savais très bien calculer une dérivée mais je ne savais pas à quoi cela pouvait servir.

Appliquer des formules ne suffit pas. Les maths doivent nécessairement conduire à des raisonnements, à un argumentaire. Qui sait retranscrire de façon littéraire le langage mathématique, en détaillant à plat, mot à mot, les subtilités ? La plupart des élèves posent des chiffres et des notations mathématiques sans écrire de texte qui explique leur raisonnement.

Le problème de base dans la compréhension des maths, c’est de faire connaître des définitions. Dire qu’une fonction est dérivable parce que (f(b) — f(a)) / (b — a) c’est seulement braire des formules prédigérées, mais ça n’est pas exprimer un raisonnement.

Ce que j’essaie d’expliquer, c’est que les profs de maths devraient illustrer chaque cours par des exemples concrets.

Par exemple, il y a un an sur Yahoo QR, j’ai eu l’occasion de répondre à une question «Qu’est ce qu’une fonction dérivée concrètement ?» et j’ai répondu en donnant un exemple, j’ai carrément fait un cours dessus. Je reproduis cette anecdote ci-dessous :

Le principal défaut de quelques profs de maths est de balancer des équations sans même les expliquer en détail. Cette mésaventure en tant qu’élève m’est arrivée au lycée. La source de confusion la plus fréquente en maths (et dans les sciences) ce sont les lacunes dans les définitions. Par exemple, ce n’est que relativement tardivement que j’ai compris l’enjeu de la nécessité des critères épistémologiques (dont celui de la réfutabilité) qui sont le fondement de la démarche scientifique. Cette mésaventure m’a également concerné dans les dérivées en maths. On savait tous calculer les dérivées mais on ignorait à quoi ça servait. Après, il ne faut pas s’étonner que les jeunes ne s’intéressent pas aux sciences. Des maths trop abstraites et absconses, mal présentées, prennent une apparence proche (à tort) du mysticisme de la numérologie, et ça peut conduire à un abandon injuste par les élèves. Mais les maths valent la peine d’être apprises car c’est un domaine passionnant quand il est bien compris.

La dérivée d’une fonction décrit la pente positive ou négative d’une fonction.

Je vais prendre l’exemple de la parabole du mouvement de chute libre avec une vitesse initiale qui s’oppose à la gravitation. L’axe des abscisses sera l’axe du temps t, l’axe des ordonnées sera la hauteur z en fonction de t. La fonction d’un corps qui s’oppose à la pesanteur avec une vitesse v depuis z(0) = 0 avec une vitesse initiale donnée sera la suivante : z(t) = v*t — (1/2) g*t²

Avec t le temps, g = accélération de la pesanteur terrestre, v la vitesse initiale.

On le voit, c’est une fonction parabolique qui décrit une courbe. En examinant la fonction, la parabole atteint une altitude maximum h au bout d’un temps tx.

La dérivée de la fonction est dz/dt = v — g*t
Les lycéens peuvent la calculer facilement, mais souvent il peut arriver qu’ils ne savent pas à quoi ça sert.

La dérivée est nulle dz/dt = 0 lorsque la fonction z(t) a une pente nulle (endroit du point où la tangente est parallèle à l’axe t), Ce point correspond à l’altitude maximale dans notre cas concret.

Comment calculer h = z(tx) grâce à notre dérivée ? La notation x indique un indice pour un t qui désigne le temps auquel l’altitude z est maximale.

Puisque dz/dt = v — g*tx = 0

Alors v = g*tx et donc tx = v/g

Puisque h = z(tx) = v*tx — (1/2) g*tx²
alors h = v*(v/g) — (1/2) g * v²/g²

h = v²/g — (1/2) v²/g

h = v²/g (1 — 1/2) = (1/2) v²/g

On a ainsi pu calculer l’altitude maximale atteinte par un projectile tiré verticalement, en fonction de sa vitesse et de g, en éliminant t. Et ceci grâce au calcul de la dérivée.

Une petite précision : la dérivée est positive lorsque le projectile n’a pas encore atteint son altitude maximale, puis négative après cette étape.

Sources :

Mécanique

Je trouve que c’est important de présenter une explication simple et claire sous la forme littéraire. Si un matheux sait calculer des dérivées mais sans savoir les expliquer simplement, c’est un robot. Certaines réponses, pas forcément ici, me font penser à une visite de notre ami googlebot. :)

  • Il y a 1 an
  • 1 Évaluation : bonne réponse
  • 0 Évaluation : mauvaise réponse
Évaluation du demandeur :
 
Commentaire du demandeur :
Merci beaucoup ! Je comprends enfin ! Pourtant ce n’est pas faute d’avoir posé la question à mon prof de Maths, qui nous répondait « c’est là où est le délicat des Maths, on ne peut pas dire concrètement que.. blablabla.. »

Il faut absolument réformer l’enseignement des sciences, surtout les maths, en France. Nous traversons une crise de la filière scientifique qui compte de moins en moins de vocations d’année en année…

La clé des maths n’est pas dans les résultats par des chiffres dans les exercices, c’est avant tout essentiellement la maîtrise du langage, c’est la clé de la compréhension. Ce qui manque dans les maths c’est la pédagogie. Croire que donner des formules sans les expliquer par des exemples concrets est avoir fait son travail, c’est faire une erreur dont les conséquences est le décrochage des jeunes envers les sciences.

«Pour la seule France, selon les statistiques 2011 du ministère de l’Éducation Nationale, la licence de sciences n’attire que 11% des bacheliers contre 24% en 1996 et 17% en 2002. Entre 2002 et 2009, le nombre d’étudiants en formation scientifique ou en ingénierie a décru de 5,9%, celui des étudiants en sciences fondamentales de 17%, celui des SVT de 9,4%.»   (P. Bruckner, dans «Le fanatisme de l’Apocalypse», p.172 et 173)

© 2011-2012-2013 John Philip C. Manson

Hérodote, la pyramide, et le nombre d’or

  • Le présent article, publié ici le 28 janvier 2013, est le duplicata d’un article (ancienneté : 29/05/2011) de mon premier blog aujourd’hui disparu.

 

Hérodote était un fameux historien et géographe grec du 4e siècle avant JC.
J’ai lu quelque part que Hérodote avait défini une pyramide telle que le carré de sa hauteur verticale est égal à l’air d’une de ses 4 faces triangulaires.

Soit h la hauteur verticale de la pyramide, soit x la demi-base carrée de la pyramide, soit f la hauteur d’une face.

Alors l’aire d’une face triangulaire, noté A = x.f est telle que A² = x².f² = x²(x² + h²).

Ainsi je trouve l’égalité :     h4 = x²(x² + h²) = x4 + x²h².

Je note w = h/x (c’est le rapport entre la hauteur verticale et la demie-base carrée).

Je découvre que w4 = 1 + w², ce qui a pour conséquence étonnante que w² = 1,618033988 qui est le nombre d’or.

La pyramide de Hérodote a la particularité que le rapport entre la hauteur verticale et la demie-base carrée est égal à la racine carrée du nombre d’or.

Je cite ce qui est raconté dans un paragraphe du lien web cité dans cet article :

  • Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d’or. Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique. D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : « Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires »

Le problème est que ce paragraphe se contredit: la définition de Hérodote ne peut pas être cohérente avec le rapport de la hauteur sur la demie-base pour la pyramide de Khéops. En effet, si Hérodote dit vrai, mieux aurait valu dire ceci :  Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est la racine carrée du nombre d’or. Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique. D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : « Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ». Mais si le rapport pour Khéops était vraiment le nombre d’or, Hérodote se serait trompé.

 

Vérification : la hauteur d’origine pour Khéops est de 146,58 mètres. La base carrée vaut 230,35 mètres. Lorsque je divise la base carrée par la hauteur, je trouve un rapport qui vaut à peu près la moitié du nombre pi : 1,57149679. Pour Khéops, le carré du rapport entre la hauteur et la demie-base carrée est égal à 1,61969407, ce qui est très proche du nombre d’or (1,618033988…). Ce degré de précision est bien plus convaincant que la polémique à propos du rapport des distance entre La Mecque et les pôles géographiques… En effet, pourquoi la fondation de la ville sainte comporte t-elle une marge d’erreur quatre fois plus grande que celle des égyptiens, les pyramides étant beaucoup plus anciennes ?

La vérification conforte les dires de Hérodote. Il existe bien une erreur dans le site cité, le paragraphe corrigé étant ce texte : Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est la racine carrée du nombre d’or. Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique. D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : “Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires”

 

Calculs complémentaires :

 

Soit α l’angle entre la base carrée et la pente d’une face triangulaire. Alors w = tan α.

Par conséquent :  α = arctan w = 0,9045568943 rad = 51,8273° = 51° 49′ 38,25 ».

Ensuite, soit S la somme de toutes les aires de la pyramide :  S = 4(x² + A) = 4(x² + h²) = 4w4x² = 10,47213596 x² = 4w²A = 6,47213596 h².

D’après l’égalité ci-dessus, j’observe que :     4w4/π est presque égal à 10/3. Peut-être que les égyptiens pensaient-ils à l’hypothétique rationalité de π (en réalité π est irrationnel et transcendant), mais je pense qu’ils avaient dû faire la même observation que moi.

 

Informations intéressantes d’astronomie archéologique :

 

  • En approfondissant les recherches en astronomie archéologique, au moyen d’un planétarium, je constate qu’à l’époque du pharaon Khéops, l’étoile Thuban était l’étoile « polaire » à la place de Polaris. Je constate aussi que, à la latitude et l’emplacement de la pyramide de Khéops, il se trouve que l’amas des Pléiades se lève pile poil à l’horizon (à l’Est) le 21 juin 2621 avant JC à 0h00.
  • Le rapport entre la distance entre les sommets des deux grandes pyramides de Gizeh et la distance la plus proche entre les bases carrées de ces pyramides est 483/178 = 2,7134… qui correspond sensiblement au nombre ‘e’ qui est à la base du logarithme naturel.Peut-être une simple coïncidence.

 

© 2011-2012-2013 John Philip C. Manson