En théorie, peut-on observer le Mont-Blanc depuis le sommet de la tour Eiffel ?

En théorie, peut-on observer le Mont-Blanc depuis le sommet de la tour Eiffel ? Ce sujet a déjà été abordé il y a longtemps dans ce blog, mais je peux apporter des précisions approfondies.

Les calculs sont abordables dès le niveau de 3e de collège, avec des notions comme le théorème de Pythagore et les bases de la trigonométrie.

  • R = rayon terrestre moyen = 6371009 mètres.
  • h1 = altitude de la tour Eiffel par rapport au niveau de la mer + hauteur de la tour Eiffel = 31 + 324 mètres.
  • h2 = altitude du Mont-Blanc par rapport au niveau de la mer = 4810 mètres.

 

Distance critique d’observation du Mont-Blanc depuis la tour Eiffel = distance rectiligne = différent de la distance à vol d’oiseau en suivant la rotondité terrestre :

L = L1 + L2 = sqrt(-R² + (R+h1)²) + sqrt(-R²+(R+h2)²)

La fonction sqrt désigne la racine carrée (square root).

Ensuite, il est impératif de convertir ce segment de longueur L en distance qui suit la courbure du globe terrestre.

Soit alpha l’angle (en radian) des deux localités par rapport au centre de la Terre :

Distance géodésique : L’ = alpha * R.

En sachant que L’ = a + b = arcsin(L1/(R+h1)) + arcsin(L2/(R+h2)).

Autrement dit :  L’ = a + b = arcsin(sqrt(-R² + (R+h1)²)/(R+h1)) + arcsin(sqrt(-R²+h2)²)/(R+h2)).

Ensuite, j’introduis le concept d’angle de déviation : c’est l’angle auquel un photon de lumière devra fléchir selon la réfraction en passant d’un milieu d’air vers un air plus chaud, c’est le principe des mirages. L’angle de déviation, comme on le verra, permet de vérifier si un mirage peut dévier suffisamment les rayons lumineux afin que le Mont-Blanc puisse théoriquement être encore visible malgré qu’il soit derrière l’horizon observé.

Angle de déviation (en radian) :  d = pi – a – b

La distance critique en tant que segment de droite est de 314,87 km. La distance critique en tant que distance courbe à vol d’oiseau est très proche de la valeur précédente, la différence n’est que de l’ordre d’une centaine de mètres, ce qui est négligeable.

Ensuite, sur la base des coordonnées GPS des deux localités, on peut calculer la distance à vol d’oiseau entre la tour Eiffel et le Mont-Blanc :

  • Tour Eiffel : 48,85833°N, 2,294167°E
  • Mont-Blanc : 45,832627°N, 6,864717°E

La distance GPS entre les deux localités, à vol d’oiseau, est de 481,3 km. Ce qui est une distance sensiblement supérieure (+53%) à la distance critique d’observation de l’horizon (314,87 km). Ainsi, le Mont-Blanc (y compris son sommet neigeux) se situe très certainement derrière l’horizon, le Mont-Blanc n’est jamais visible depuis le sommet de la tour Eiffel.

Autre argument : pour que les rayons lumineux soient visibles en se propageant du Mont-Blanc jusqu’à la tour Eiffel, ceux-ci doivent être déviés d’un angle théorique de 2,83°.

Or, la réfraction optique dans l’air terrestre, selon toutes les conditions thermiques possibles, implique une déviation inférieure à 1,4°. Ainsi, même en prenant en compte la réfraction de l’air, le Mont-Blanc ne sera jamais observé depuis le sommet de la tour Eiffel, même en cas de mirage.

 

Copyright 2015 John Philip C. Manson

 

 

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Que peut-on voir depuis le sommet du Mont-Blanc ?

 Que peut-on voir depuis le sommet du Mont-Blanc (Alpes) ?

 

Les altitudes sont par rapport au niveau de la mer.

  • Soit L la distance observable depuis le sommet du Mont-Blanc jusqu’à l’horizon d’altitude zéro.
  • Soit R le rayon moyen du globe terrestre (R = 6378000 m).
  • Soit h l’altitude du Mont-Blanc (h = 4810,45 m).

D’après le théorème de Pythagore :    L² + R² = (R + h)²

Alors L = √(h² + 2Rh) = √(h(h + 2R))

La distance maximale observable depuis le sommet du Mont-Blanc est L = 247,75 km environ, si l’on considère une atmosphère limpide par beau temps. Il est rigoureusement impossible d’observer au-delà de cette limite du fait de la rotondité de la Terre.

Attention cependant, car L est un segment de droite, il n’est pas égal à la distance qui suit la courbure géodésique terrestre. Cette distance courbe étant en réalité de valeur L’ = R * arccos (R / (R + h)) avec l’angle exprimé en radian. Ainsi, la distance géodésique courbe vaut ici L’ = 247,6 km.

 

J’ai réalisé un schéma :

geodesic.png

Le segment L est sur une droite tangente au rayon R et forme un angle droit. On applique ensuite le théorème de Pythagore. Comme la rotondité de la Terre était connue en Grèce antique il y a plus de 25 siècles, et comme la question de l’observabilité de l’horizon par rapport à l’altitude d’observation a sûrement existé dans l’esprit des grecs, ils savaient certainement calculer cette distance comme je l’ai fait. Le principe est aussi simple que le calcul de la circonférence terrestre par Ératosthène.

 

© 2011 John Philip C. Manson