Exercice de maths proposé aux bacheliers écossais

  • Un exercice de mathématiques au Bac en Ecosse a posé tellement de difficultés aux candidats au bac écossais que le barème de l’épreuve a dû être revu…

Jugeant l’exercice du crocodile trop difficile au même titre que l’ensemble de l’examen, les candidats écossais au Higher Maths exam, l’équivalent de l’épreuve de mathématiques du baccalauréat français, ont lancé une pétition en mai 2015. Intitulée « Expliquez-nous pourquoi l’examen de mathématiques a été élevé à un niveau impossible », elle a recueilli plus de 11 000 signatures, aboutissant à un abaissement de la note requise lors de cette épreuve pour obtenir le diplôme.

Je vais démontrer ici pourquoi le niveau en maths a vraiment baissé par rapport à autrefois, par l’examen analytique du problème. C’est catastrophique au même titre que ce qui se passe en France : le nivellement par le bas.

Un exercice de niveau Terminale, croyez-vous ? Non, moi je dirais plutôt de niveau 4e de collège… On va voir pourquoi.

L’exercice demande d’estimer en combien de temps le crocodile atteindra le zèbre, selon s’il se déplace dans l’eau ou sur terre.

« Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d’une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l’eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s’il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l’autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l’équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde).

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court.

Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum. »

 

Tout d’abord, pour résoudre le problème, on va examiner l’équation et le schéma.

Une vitesse c’est une distance divisée par un temps. Donc le temps est égal à une distance divisée par une vitesse.

Vous remarquez que le trajet dans la rivière est une hypoténuse de triangle-rectangle. Je pose R la largeur de la rivière, puis L la longueur de l’hypoténuse, et on a x (déjà défini) qui est le 3e côté.

On sait avec Pythagore que R² + x² = L². C’est classique.

Je pose T1 tel que T1 = L / V1, où T1 est le temps parcouru exclusivement dans la rivière, et où V1 est la vitesse du crocodile dans la rivière.

Je pose T2 tel que T2 = (20 – x) / V2, où T2 est le temps parcouru exclusivement sur terre, hors de la rivière, et où V2 est la vitesse du crocodile sur la terre ferme.

Je pose T(x) = T1 + T2, pour avoir T(x) qui est la durée total des trajets.

Mais aussi, on a T1 = L / V1 = (x² + R²)^(1/2) / V1. On obtient donc la forme T(x) = [(x² + R²)^(1/2) / V1] + [(20 – x) / V2] qui est exactement la forme de l’équation de l’énoncé : T(x) = 5(36+x²)^(1/2) + 4(20-x).

Pour le calcul du temps le plus court, il est alors exclu que le crocodile se déplace uniquement en rivière, ou uniquement sur terre, il y a obligatoirement une étape en rivière et une étape sur terre ferme.

Pour calculer le temps T(x) le plus court, on remarque que la fonction atteint un point x où T est minimum, alors on calcule la dérivée dT(x)/dx = 0, et je trouve x = 8 mètres. Pour les autres valeurs de x, le temps est plus long.

Si on pose x = 20 mètres, alors le crocodile ne fait que nager, sans étape sur terre ferme. Une partie  de l’équation s’annule, et on aura T(x) = (x²+R²)^(1/2) / V1 = 5(36+20²)^(1/2) = 104,4.

Si on pose x = 0 mètre, alors le crocodile ne fera que marcher sur terre ferme, hors de la rivière (excepté le trajet R), et T(0) = 110.

Tandis qu’avec x = 8 mètres, on aura le temps le plus court : T(8) = 98.

J’ai répondu aux trois questions de l’exercice, cela n’a pris que quelques minutes… Affirmer que l’exercice est insoluble, c’est se foutre du monde, vraiment !

Au fond, le problème n’est pas les maths. Le problème des élèves est simple : ils ne savent pas lire un énoncé, par incompréhension de leur propre langue maternelle, et aussi parce qu’ils n’ont pas appris à réfléchir et à raisonner. Sans ces clés, on ne peut rien produire de bon en maths.

Peut-être que certains trouveront que j’exagère. Non, je suis sérieux.

  • Autre preuve : un exercice ci-dessous datant de 1950, à l’épreuve du certificat d’études, en France, et destiné à des jeunes de 13 ou 14 ans.

« La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims démarre de la gare de l’Est à 8h30 et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express part de Reims en direction de Paris à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. A quelle heure se croiseront-ils et à quelle distance de Paris ? »

Solution : les trains se croisent à 9h59 à 89 km de Paris. La solution tient en une équation assez simple.

Quand on donne cet exercice à des élèves de Terminale, il y a des surprises… Certains n’y parviennent pas. C’est une réalité propre à notre époque. C’est catastrophique…

 

 

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Brevet : épreuve de mathématiques

J’ai examiné les pages de l’épreuve de maths du brevet des collèges 2015. Une bonne partie des questions sont très faciles, ça laisse l’impression que c’est du niveau CM2… C’est abusé.

J’aborderai ici les questions les plus « difficiles » de l’épreuve de maths.

 

  • Arthur a le choix pour s’habiller aujourd’hui entre trois chemisettes (une verte, une bleue et une rouge)
    et deux shorts (un vert et un bleu). Il décide de s’habiller en choisissant au hasard une chemisette puis un
    short.
    Quelle est la probabilité qu’Arthur soit habillé uniquement en vert ?

Cas possibles de combinaisons de couleurs, en développant un arbre de probabilités :

  • VV : vêtu tout en vert
  • VB : chemisette verte et short bleu
  • BV : chemisette bleue et short vert
  • BB : vêtu tout en bleu
  • RV : chemisette rouge et short vert
  • RB : chemisette rouge et short bleu

 

Arthur a une chance sur 3 d’avoir une chemisette verte, et une chance sur 2 d’avoir un short vert, il a donc une probabilité de 1 sur 6 d’être habillé uniquement en vert.

  •  Ariane affirme que 2 puissance 40 est le double de 2 puissance 39 . A-t-elle raison ?

Règle générale : quand on multiplie X puissance Y par X, on a alors X*X puissance Y = X puissance (Y + 1).

Pour les puissances de 2, quand on multiplie par 2 on augmente l’exposant d’une unité : ainsi le double de 2 puissance 39 vaut bien 2 puissance 40.

  • Loïc affirme que le PGCD d’un nombre pair et d’un nombre impair est toujours égal à 1.
    A-t-il raison ?

On essaie avec des nombres premiers : le nombre 2 et le nombre  7. Comme tout nombre premier a deux diviseurs : 1 et lui-même, alors le plus grand diviseur d’un nombre impair premier est lui-même et il est toujours différent de 2.

On essaie avec 9 et 18 : le nombre 9 a pour diviseurs : 1, 3, 9 Et 18 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 9, 18. Ainsi, dans le cas ici, les nombres 9 et 18 ont le nombre 9 comme PGCD, ce qui prouve que le PGCD d’un nombre pair et d’un nombre impair n’est pas toujours égal à 1.

 

EXERCICE 5 : peinture de la façade d’un hangar.

façade

Quel est le montant minimum à prévoir pour l’achat des pots de peinture ?

Tout d’abord (hors contexte), on s’aperçoit que pour couvrir 24 m² avec 6 litres de peinture, alors l’épaisseur de la couche de peinture est de 0,25 mm.

Pour calculer le montant minimum, il faut d’abord calculer l’aire de la façade. L’aire du rectangle est AE x AB. L’aire de la partie triangulaire isocèle est AE(9 – AB) / 2.

L’aire de la façade vaut donc : S = AE.AB + AE(9-AB)/2 = AE(AB + (9-AB)/2) = 7,5(6 + 3/2) = AE² = 7,5² = 56,25 m².

Et le montant minimum recherché vaut donc :    M = 103,45 x S / 24 = 103,45 x 56,25 / 24 = 242,46 euros.

 

EXERCICE 6

Pas très compliqué comme exercice. pour convertir les mètres par seconde en km/h, on multiplie par le coefficient 3,6. Le temps de réaction est de 1 seconde, et par conséquent la distance de réaction correspond à la distance parcourue en une seconde à une certaine vitesse.

Par temps sec, la distance de freinage est proportionnelle à la vitesse du véhicule. Mais par temps pluvieux (route mouillée), la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse (c’est lié à l’énergie cinétique du véhicule en mouvement).

Connaissant ces informations-là, il est aisé de résoudre l’exercice.

 

 

EXERCICE 7

dénivelé

La tangente de l’angle BCA est égale à 10/100 = 0,1. Par conséquent, l’angle BCA vaut arctan 0,1 = 0.0996687 radian, soit 5,71°.

2) Ensuite, un dénivelé de 1:5 (descente verticale de 1 mètre après une distance horizontale de 5 mètres) correspond à une pente de 20%, qui est plus grande que la pente de 15%. En effet, avec un coefficient de 20, on voit que 1:5 équivaut à 20:100.

 

 

Je disais en juin 2014 et récemment en juin 2015 que le niveau du bac de maths de la filière S avait beaucoup baissé depuis plus de 20 ans (pire encore depuis les années 1970). Et concernant le brevet, lui aussi le niveau des maths a vachement baissé… Tout paraît simplifié exagérément. On a tort de prendre les élèves pour des handicapés mentaux ou pour des gens qui ne veulent pas faire des efforts… On n’a de personnes éducables que ce que nous en faisons…

Quand je vois la faiblesse de la difficulté des maths en fin de classe de 3e, je me demande à quoi ressemble le programme scolaire de CM2… Des cahiers de coloriage avec des feutres ? Plus rien ne m’étonne maintenant. Mais c’est inquiétant que le niveau baisse d’année en année, au lycée comme au collège, et que rien n’est fait pour remédier à ça.

Bon ok d’accord, j’ai le niveau universitaire dans le domaine des sciences, le brevet est forcément plus facile selon mon propre point de vue, c’est sûr, mais je peux vous assurer que le niveau de l’ancien certificat d’études (le fameux certif’) qui fut le premier diplôme de nos parents ou grands-parents était d’un niveau supérieur à ce que l’on peut voir actuellement dans les épreuves de maths du brevet. Par exemple j’ai aperçu une méthode où l’on peut extraire une racine carrée à la main sans calculette. Au certif, nos aïeux avaient les tables trigonométriques et logarithmiques. Et au certif, les candidats étaient âgés en moyenne de 11 ans à 13 ans seulement.

Un candidat du brevet actuel saura t-il résoudre cette énigme issue des épreuves du certificat d’études de 1923 ?

  • Nous avons A – A = A et B / B = B, alors CCC + CC + C + C + C = BAAA. Quelle est la valeur de C ?

Evidemment, pour trouver la solution, il faut réfléchir un peu. 😉

John Philip C. Manson