Géométrie dans l’espace et vecteurs coplanaires

Comment démontrer que 3 points sur un globe sont alignés en suivant la rotondité terrestre ?

Jusqu’à présent, je m’étais basé au mieux sur Google Earth pour cela. Mais on peut utiliser la géométrie dans l’espace et les vecteurs si on veut réaliser une démonstration mathématique.

Soit R le rayon terrestre moyen. Soient x, y et z les axes d’un repère tridimensionnel centré sur le point origine (0;0;0). L’équation de la sphère est x² + y² + z² = R².

Par conséquent, à partir de la latitude et la longitude (angles en radians) d’un point de la surface du globe, on en déduit les coordonnées cartésiennes :

x = -R*sin(longitude)*cos(latitude)
y = R*sin(latitude)
z = R*cos(longitude)*cos(latitude)

Toute latitude Sud est de valeur négative (inférieure à zéro, de 0° à -90°). Toute longitude Ouest est de valeur négative (de 0° à -180°, donc de 0 radian à -pi radians).

Maintenant, pour chaque point situé à la surface du globe correspond un vecteur : ce vecteur est un segment entre ledit point du globe et le centre de la Terre (point origine). Ainsi, pour un point de coordonnées (a;b;c), on aura un vecteur défini selon le point (a;b;c) et le point origine (0;0;0). Le vecteur vaut donc (-a;-b;-c).

Soient 2 points situés sur le globe terrestre : on définit alors un plan qui coupe le globe terrestre et qui passe par (0;0;0) et qui passe aussi par les 2 points. Tout troisième point est aligné avec les 2 premiers points (alignement en suivant la courbure terrestre, mais pas selon une droite) si les 3 vecteurs sont coplanaires, donc appartenant au même plan.

Les vecteurs  \vec u,  \vec v et  \vec w sont coplanaires si et seulement si les trois vecteurs forment une famille liée, s’il existe un triplet de scalaires k, m, n différent de (0,0,0) tel que  k  \vec u + m  \vec v + n  \vec w.

 

Étude du cas de Stonehenge, la caldeira de Santorin et la Kaaba (La Mecque) :

  • Stonehenge : 51,18° N et 1,826° W
  • Santorin : 36,4° N et 25,4° E
  • Kaaba : 21,42°N et 39,83° E

 

Ce qui donne les coordonnées cartésiennes suivantes :

  • Point S : Stonehenge : 127 ; 4964 ; 3992
  • Point T : Santorin : -2200 ; 3781 ; 4632
  • Point K : Kaaba : -3799 ; 2327 ; 4555

On change le signe des nombres pour obtenir les valeurs cartésiennes des vecteurs OS, OT et OK.

On constate qu’il existe des nombres réels a et b et c tels que :

a * vect(OS) + b * vect(OT) + c * vect(OK) = 0

et je trouve : 0,059061 vect(OS) – 0,69299 vect(OT) + 0,40328 vect(OK) = 0

Par conséquent, les vecteurs OS, OT et OK sont coplanaires, et donc les points S, T et K sont alignés sur la courbure terrestre. (Il ne s’agit évidemment pas d’un alignement euclidien, comme une droite).

 

Preuve visuelle avec Geogebra :

Geogebra

 

John Philip C. Manson