Les artéfacts d’Ishango : probabilités

Aujourd’hui, on examine un autre cas, similaire car il concerne aussi les nombres premiers, mais cela se réfère à des artéfacts archéologiques humains vieux d’environ 20 000 ans : les os d’Ishango. Les os d’Ishango, également appelés bâtons d’Ishango, sont des artéfacts archéologiques découverts dans l’ancien Congo belge et datés de peut-être 20 000 ans.

Mais il y a controverse. En effet, des entailles présentes sur un des os d’Ishango furent interprétées, selon les auteurs, comme le calcul de nombres premiers. Mais d’autres contestent cette possibilité.

Voici ces entailles :


Au contraire des autres entailles présentant des nombres entiers ordinaire, ces entailles ci-dessus présentent un quadruplet de 4 nombres premiers consécutifs.

Le meilleur moyen d’estimer l’authenticité d’un calcul intentionnel de nombres premiers par des hommes de Cro Magnon est de comparer avec la probabilité d’obtenir un tel quadruplet de nombres premiers consécutifs au hasard.

Il existe 5 quadruplets de nombres premiers consécutifs parmi toutes les permutations possibles avec des nombres aléatoires compris entre 1 et 20 :

  • 2 3 5 7
  • 3 5 7 11
  • 5 7 11 13
  • 7 11 13 17
  • 11 13 17 19

La probabilité d’obtenir au hasard un quadruplet de nombres premiers consécutifs, dans le désordre, est de 0,83%, valeur obtenue empiriquement via un programme informatique que j’ai conçu. On constate que, même dans le désordre, la probabilité est faible. La présomption de calcul intentionnel de nombres premiers par des hommes d’il y a 20 000 ans est légitime.

Et la probabilité d’obtenir au hasard un quadruplet de nombres premiers, cette fois dans l’ordre, est plus faible que la valeur précédente. Un calcul direct à la main indique 0,0069%, et le programme informatique indique une valeur empirique de 0,00338%, soit à peu près une chance sur 29586. En-dessous du seuil de 5% (la fameuse p-value), il y a présomption que ce n’est pas un hasard.

Les calculs réalisés ici se basent sur la génération de nombres aléatoires qui peuvent être différents entre eux, mais qui peuvent aussi se répéter dans le quadruplet.

Mais si on modifie le calcul informatique de façon à ce que les quadruplets générés aléatoirement soient formés de nombres strictement différents entre eux, alors la probabilité d’obtenir un quadruplet de 4 nombres premiers différents entre eux, et consécutifs, mais dans le désordre, est entre 1,09% et 1,1%. Et environ 0,004% dans l’ordre.

Jean de Heinzelin de Braucourt, géologue belge, pensait lui-même que l’os d’Ishango est une preuve de l’histoire ancienne des mathématiques, et je considère que son hypothèse est très crédible.

Les nombres premiers étaient déjà connus il y a environ 20 000 ans, c’est ce qu’indiquent mes résultats probabilistes par programmation informatique.

 

John Philip C. Manson