Mouvement brownien, collisions, et la taille des particules

J’ai réalisé une expérience de simulation informatique afin de modéliser le mouvement brownien, afin de déterminer la probabilité de collision entre deux particules en fonction de la taille de ces particules.

Dans un cube de 1 mètre de côté, dans lequel on a fait le vide, on y place 2 particules de rayon R. On évalue ensuite la probabilité d’une collision entre ces 2 particules, sachant que leur mouvement est aléatoire.

 

Voici les résultats empiriques, avec 2R = diamètre d’une particule :

  • Avec 2R = 0,0001 m (soit 0,1 mm), la probabilité de collision est de 0,00000004.
  • Avec 2R = 0,001 m (soit 1 mm), la probabilité de collision est de 0,0000036.
  • Avec 2R = 0,01 m (soit 1 cm), la probabilité de collision est de 0,0003133.
  • Avec 2R = 0,05 m (soit 5 cm), la probabilité de collision est de 0,0075131.
  • Avec 2R = 0,08 m (soit 8 cm), la probabilité de collision est de 0,0188124.
  • Avec 2R = 0,1 m (soit 10 cm), la probabilité de collision est de 0,02874.

 

Avant l’expérience, je m’attendais à ce que la probabilité en fonction de R soit linéaire. Mais l’expérience révèle un résultat montrant clairement une croissance exponentielle.

  • P(R) = 0,00151891 * e^(29,7735 * 2R)

Pour les faibles grandeurs de R, il semblerait que si 2R = 10 puissance moins X corresponde à P = 10 puissance moins 2X, en observant un décalage régulier des zéros après la virgule. Ainsi, si les deux particules avaient la taille d’un atome (2R = 10⁻¹⁰ m), la probabilité de collision serait de l’ordre de 10⁻²⁰.

Et le diamètre critique d’une boule dans le cube, auquel tout mouvement devient impossible, les deux boules étant définitivement en contact permanent est de racine de 3 divisée par 2, donc 0,7211 m, soit 72,11 cm. Au-delà de ce diamètre, on ne peut pas placer les deux boules dans le cube de 1 m de côté, car trop grosses.

Voici la courbe obtenue :

brownien

Mais en améliorant le programme, en prenant compte de la proximité des 8 sommets du cube, car auparavant les particules sphériques débordaient partiellement du cube, je trouve quelque chose de différent :

 

brownien2

C’est la fonction cubique (polynôme du 3e degré, en bleu ci-dessus) qui correspond le mieux au tracé entre chaque point rouge.

Avec D = 2R = diamètre de chacune des particules, l’équation de probabilité est : P(D) = -5,64 x³ + 7,14 x² – 0,81 x + 0,01. Néanmoins fausse entre D = 0 et D = 0,1 m.

 

Avec une autre modification plus poussée du programme, la tendance se confirme : croissance exponentielle puis logarithmique. Voici la courbe ci-dessous :

brownien3

P(D) = -4,70526 x³ + 5,57339 x² - 0,189722 x + 0,00359065

 

 

John Philip C. Manson