Calcul du volume du tétraèdre régulier avec une intégrale

Quelle est le volume d’un tétraèdre régulier ? La majorité d’entre nous irait voir la formule pour le calcul du volume sur Wikipedia.

Mais concrètement, il est possible de calculer sans avoir la moindre formule connue de mémoire, ni par l’intermédiaire d’une encyclopédie disponible sous la main.

Soit un tétraèdre régulier de côté c, puis je pose ce solide de Platon sur une des 4 faces triangulaires équilatérales sur la table. Ce tétraèdre a alors une hauteur h. Avec le théorème de Pythagore, on voit que le carré du quotient h/c vaut 2/3, et que l’aire d’une face vaut 3c³/8.

On suppose que le tétraèdre est subdivisé en une quasi-infinité d’épaisseurs superposées : des triangles superposés, empilées les uns sur les autres selon une aire triangulaire graduellement diminuée linéairement : c’est la définition même d’une intégrale. Une épaisseur multipliée par l’aire du triangle d’une face, multiplié par un coefficient variant graduellement de 0 à 1, ça équivaut à un volume. Et la somme de ces volumes empilés est le volume du tétraèdre.

Par définition, avec A = aire d’une face (triangle équilatéral) et avec h = hauteur du tétraèdre, je pose donc V = intégrale de 0 à h de (A*x/h) dx qui exprime le volume du tétraèdre.

J’obtiens alors V = c³6 / 16 comme solution. C’est-à-dire V = 0,153093 c³. Sauf erreur ou omission de ma part…

Je vérifie alors sur le web, afin de comparer mon résultat avec la vraie valeur.

Le volume exact d’un tétraèdre régulier est : V = c³/(62). Donc V = 0,11785113 c³.

On constate deux valeurs du même ordre de grandeur, avec une différence de presque 30%. Je trouve par calcul intégral une valeur assez proche de la valeur exacte.

Ainsi, comme on vient de le voir, il peut arriver que l’on ne connaisse pas des formules par coeur en géométrie, et le calcul intégral dans la situation présente peut permettre de s’en sortir.

 

John Philip C. Manson