Hexagone inscrit dans un cube

  • Dans un vieil article, j’avais évoqué des polygônes dans le cas du cube tranché lors des défis mathématiques du journal Le Monde :  https://jpcmanson.wordpress.com/2013/04/05/les-defis-mathematiques-du-monde-le-cube-tranche/

Je vais donner davantage de détails pour le cas de l’hexagone inscrit dans un cube. On peut voir une vidéo à ce sujet ici : http://www.lemonde.fr/sciences/video/2013/04/19/les-defis-mathematiques-du-monde-reponse-de-l-episode-2-le-cube-tranche_3163253_1650684.html

De plus, vous constaterez en bas de la vidéo un commentaire désobligeant écrit par un imbécile qui s’est permis de critiquer Cédric Villani sans raison valable…

Bon, revenons au sujet.

Soit un cube de côté 1. Dont voici les coordonnées des sommets :

  • A (0;0;1)    B(1;0;1)  C(1;0;0)   D(0;0;0)
  • E(0;1;1)   F(1;1;1)   G(1;1;0)   H(0;1;0)

Ensuite, les coordonnées des milieux d’arêtes :

  • I(1/2;0;1)    J(1;0;1/2)    K(1;1/2;0)
  • L(1/2;1;0)     M(0;1;1/2)   N(0;1/2;1)

Un plan coupe de cube de façon à ce que les intersections soient les sommets d’un hexagone régulier.

On a alors un hexagone régulier de côté 1/√2.

L’équation paramétrique du plan, par lequel sont les points de l’hexagone, est :   x + y+ z + 3/2 = 0.

Cela démontre qu’il est possible d’obtenir un hexagone en tranchant un cube de façon oblique.

 

John Philip C. Manson

 

 

Publicités