Distribution aléatoire, asymptote et totalité

A l’attention du Dr Goulu, en particulier.

Distribution aléatoire, asymptote et totalité, ou réchauffement progressif de la glace jusqu’à la fonte complète (loi de Newton).

Oui, j’ai eu du mal à choisir le titre de ce présent article.

Je révèle le résultat de mes recherches personnelles, parce que j’ai trouvé quelque chose d’intéressant, et je n’en ai nullement entendu parler ailleurs. Peut-être inédit ? Je ne le sais guère. Cela va plutôt intéresser le Dr Goulu (www.goulu.com).  😉

Voila, je réfléchissais comment on peut écrire l’équation de Newton concernant la thermodynamique. Il y a quelques semaines, j’avais appris comment modéliser le refroidissement progressif d’un corps matériel, à partir de l’équation différentielle de Newton selon laquelle la vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence entre la température initiale et la température ambiante.

Aujourd’hui, j’ai essayé de modéliser le phénomène contraire : le réchauffement progressif de la glace d’eau. En 2011, j’avais observé expérimentalement que des glaçons (initialement à -6°C) fondent en 2 à 3 heures dans une atmosphère ambiante de 21°C.

J’ai réussi à modéliser cela :

  • T(t) = 21 – (21+6)*e^(-k*t)
  • avec k compris dans l’intervalle [0,084 ; 0,126].
  • et avec t, le temps en heures.

Jusque là, c’est de la physique concernant un phénomène connu et expliqué par les physiciens.

Or, ces derniers temps, j’avais aussi étudié le phénomène de distribution aléatoire suivant : il existe 5 millions de pirates distincts, et Hadopi (la loi antipiratage en France) diffuse 10000 emails d’avertissement par jour à autant de pirates qui se sont fait choper, alors combien de temps faut-il pour que tous les pirates (donc les 5 millions) aient tous été avertis, sans en omettre un seul ?

Techniquement, jusqu’à présent, je savais construire un programme qui livrait des résultats, mais je ne trouvais pas d’équation convaincante pour faire des évaluations plus précises.

J’ai finalement aujourd’hui observé dans cette problématique une similitude avec la loi de Newton !!!!!

Et là ça devient très intéressant.

Depuis quelques jours, quand j’en avais le temps, j’étais confronté à un casse-tête : je pensais que la distribution aléatoire était une croissance logarithmique. Je n’arrivais pas à construire une équation à partir des données fournies par mon programme de simulation informatique. Or c’est effectivement logarithmique comme on va le voir ci-dessous.

En effet, la croissance allant de N=0 à N=5000000 allait vite au départ, mais elle ralentit peu à peu en se rapprochant du nombre total 5000000, en approchant une asymptote horizontale : les derniers pirates non encore chopés étaient de plus en plus difficilement traquables, car comme on est dans un contexte de diffusion d’emails aléatoires, les pirates multirécidivistes pouvaient encore se faire choper à la place des pirates encore restés impunis.

piracyhadopi

Voici la courbe obtenue grâce aux données empiriques fournies par mon programme de simulation informatique (langage Perl combiné avec Bash, sous GNU/Linux). La courbe exprime le nombre de pirates chopés en fonction du temps écoulé depuis le début de la traque par Hadopi (si on suppose que le taux de 10000 mails par jour est constant).

Choper tous les pirates (les 5 millions) devient peu à peu plus difficile, et cela prend donc plus de temps que prévu.

J’ai ainsi découvert que ma modélisation mathématique sur Hadopi est similaire à la loi de Newton : le nombre de pirates encore impunis restant à avertir est proportionnel à la « vitesse » à laquelle les mails seront reçus par eux. En clair, on obtient l’équation ci-dessous à partir d’une équation différentielle.

  • N = No – No.e^(-k*t) = No(1 – e^(-k*t)
  • avec No = 5 000 000 (le nombre total de pirates)
  • t = temps écoulé en jours  depuis le fonctionnement de Hadopi
  • k = (1/No) * dN/dt = 10000 / 5000000 = 0,02 = 1/500

L’on voit que pour qu’il ne reste plus qu’un dernier pirate à avertir  (donc N(t) – No = 1), il faut t = 7712 jours.

J’avais une équation précédente qui prédisait une valeur t = 3500 à 5000 jours, c’était à peu près dans le même ordre de grandeur.

J’avais aussi consacré un article sur cette problématique : il y a 1 cambriolage toutes les minutes et demie en France, et il y a 27,8 millions de maisons en France, combien de temps faut-il pour qu’aucune maison n’ait été épargnée par un cambriolage ?

Si l’on suppose que les incendies surviennent au hasard (c’est-à-dire que le lieu est aléatoire, bien que les incendies ne soient pas toujours dus au hasard : électricité défectueuse ou criminalité) et qu’il ne reste plus qu’une seule maison épargnée et que les 27 799 999 autres ont été dévalisées, alors il aura fallu patienter 604 années. Il faut environ 6 siècles pour que les maisons actuellement existantes aient toutes connues un cambriolage. J’avais obtenu un résultat relativement proche (370 à 550 ans), en appliquant mon ancienne équation qui servait d’approximation :   t = C*No*dN/dt, avec C un coeficient (nombre réel) entre 7 et 10.

Calcul du temps nécessaire pour un événement (quasi-)total :

  • t = -(dN/dt) * No * ln (1 – (Q/No))
  • t = exprimé ici en minutes.
  • dN/dt = 1 toutes les 90 secondes = 1 par 1,5 minute = 1/1,5.
  • No = 27 800 000.
  • Q tend vers No. Pour simplifier j’ai pris Q = No – 1.

Il s’agit donc bien d’une équation logarithmique, comme je le supposais.

Et pour revenir au thème du jeu vidéo Elite Dangerous, d’après lequel j’avais prédit qu’une exploration aléatoire de 400 milliards de systèmes solaires par 500 000 joueurs qui jouent chacun 4 heures par jours en explorant chacun 12 système par heure, j’avais pensé que l’exploration complète prendrait quelques siècles. Mais avec la nouvelle équation logarithmique, c’est nettement moins optimiste que ça, je trouve t = 702 millions de milliards d’années… En résumé, plus No est grand, plus t sera grand. En gros, il se passera des lustres (donc très très longtemps) avant que la galaxie entière soit explorée dans sa totalité dans le jeu Elite Dangerous.

Bref, lorsque le phénomène de « complétude » est aléatoire (équation logarithmique), ça peut prendre beaucoup de temps. Mais lorsqu’il est bien organisé (en évitant de revisiter plus d’une fois un lieu déjà exploré), on gagne du temps car l’équation est linéaire. Par exemple, avec les mêmes 500 000 joueurs dans le jeu Elite Dangerous, il ne faudra que 45 à 46 ans pour l’exploration planifiée complète des 400 milliards de systèmes solaires.

© 2015 John Philip C. Manson (20 juillet 2015)

 

 

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