Session 2015 de mathématiques du Bac S

Epreuve du lundi 22 juin 2015

Exercice 1

Partie 1

On reconnaît ici l’équation de la loi exponentielle.

  • 1.a.  P(c <= X <= d) = intégrale de c à d de lambda * e^(-lambda * x) dx = [-e^(-lambda * d)] – [-e^(-lambda * c)] = e^(-lambda * c) – e^(-lambda * d).  EXACT
  • 1.b.  P(X > 20) = 0,05. alors lambda = ln 0,05 / -20 = 0,145. EXACT
  • 1.c.   Espérance E(X) = 1 / lambda = 1 / 0,145 = 6,897. EXACT
  • 1.d.  Avec lambda = 0,15. P(10 <= X <= 20) = intégrale de x=10 à x=20 de f(x) dx = e^(-10*0,15) – e^(-20*0,15) = 0,173. EXACT
  • 1.e.  P(X > 18) = 0,067. EXACT
  • 2.a.  P(20 <= Y <= 21) = 0,015. EXACT Avec P = (1/(1,95(2*pi)^0.5)) * e^(-(16 – x)²/(2 * 1,95²)) où l’espérance est égale à la moyenne, dans le cadre d’une loi normale.
  • 2.b.  Opérateurs logiques : P(Y<11) ou Y>21) = 1 – P(Y<11 et Y>21) = 1 – 0,99 = 0,01. EXACT

Attribution de 3 points pour la partie 1 de l’exercice 1.

Partie 2

  1. Sachant qu’il y  a une chance sur 4 pour qu’un bon d’achat soit rouge, et une chance sur 100 pour que le bon rouge ait une valeur de 100, et une probabilité de 0,015 pour que le bon rouge ait une valeur égale à 30, alors P = 0,25 * (0,015 + 0,01) = 0,0625. Soit une chance sur 160. FAUX car c’est 0,015 + 0,01 = 0,025  (j’ai en effet calculé une probabilité par rapport à toutes les couleurs et non par rapport à uniquement la couleur rouge : j’aurais dû me dire : le bon est rouge et quelle proba pour le montant ? au lieu de me dire quelle serait la proba si on tire au hasard en piochant une couleur aléatoire). Je ne me serais pas trompé si j’avais moins d’inattention.
  2. Bon d’achat de valeur supérieure ou égale à 30, quelque soit la couleur. P = 0,25*(0,015 + 0,01) + 0,75 * 0,067 = 0,0565 que l’on arrondit avec la valeur 0,057. EXACT
  3. On applique la loi binomiale :   P = (200! / (194! * 6!)) * 0,057^6 * (1 – 0,057)^194 = 0,032. Ainsi, il y a 3,2% de chance pour que 6 clients parmi les 200 reçoivent un bon d’achat d’au moins 30 euros. Le corrigé donne un tout autre raisonnement en appliquant l’intervalle de confiance à 95%.

Attribution de seulement 1 points (sur les 3) pour la partie 2 de l’exercice 1.

Exercice 2

Ici, il s’agit de géométrie analytique dans l’espace.

  • 1.a. La droite AB est parallèle (et appartient) à l’axe OI parce que le vecteur AB est (2;0;0). EXACT (il fallait bien calculer le vecteur)
  • 1.b La droite CD est parallèle (mais n’appartient pas) au plan OJK car le vecteur CD vaut (0;4;3). Le plan P aurait eu pour équation : x = 0 si le plan coïncidaient aux axes OJ et OK (auquel P aurait été le plan OJK), mais le plan P est placé en x = 11, soit à 11 cm parallèlement par rapport au plan OJK. Ainsi, le plan P, décalé de 11 cm par rapport à OJK, a pour équation : x – 11 = 0. EXACT (c’est bien le plan OJK). Et l’équation du plan P est exacte aussi, bien que je n’ai pas procédé selon les calculs révélés par le corrigé.
  • 1.c.  La droite CD reste fixe sur l’axe OI, tandis que la droite AB reste fixe sur les axes OJ et OK, par conséquent les coordonnées de E ont pour valeur x la valeur de x du point C et la valeur x (identique à C) du point D, tandis que les valeurs y et z correspondent à celles des points A et B, ainsi on a E = (11;-1;-5). Autrement dit, si AB coupe le plan P, alors la valeur de x du point E doit nécessairement être égale à la valeur de x des points C et D, et la valeur de y et celle de z du point E doit nécessairement être égale à la valeur y et z du point A et celle du point B. Corrigé : il fallait démontrer que les points sont colinéaires mais j’ai livré un raisonnement correct cependant, grâce aux vecteurs et à ma propre représentation mentale visuo-spatiale.
  • 1.d. Les droites AB et CD sont-elles sécantes ? La droite CD est parallèle au plan P et elle y appartient et CD est parallèle au plan OJK. La droite AB et l’axe OI ne forment qu’une même droite. Les droites AB et CD ne sont pas sécantes, bien que la droite AB soit perpendiculaire au plan P. La droite AB coupe CD au point de coordonnées (11;0;0), qui est un point qui n’appartient pas à la droite CD. Corrigé : j’aurais dû démontrer que les points E, C, et D sont colinéaires (ils ne le sont pas, donc AB et CD ne sont pas sécantes, ce que j’ai trouvé quand même par raisonnement). Je n’ai pas du tout évoqué les notions de colinéarité et de coplanaire dans cette épreuve mais je connais pourtant ces notions, mais les utiliser ici ne m’a pas traversé l’esprit… Je me botte moi-même le derrière…

 

  • 2.a  MN² = (xM – xN)² + (yM – yN)² + (zM – zN)² = (t – 11)² + (-1 – 0,8t)² + (5 – (1+0,6t))² = 2t² – 25,2t + 138. EXACT
  • 2.b.  Avec MN² = 2t² – 25,2t + 138 : la valeur MN² (et par extension : MN) est minimale lorsque la dérivée d(MN²)/dt est nulle. Par conséquent, la valeur MN² est minimale avec t = 6,3 secondes. EXACT (la valeur est bien t=6,3) Ce qui correspond à un déplacement de 6,3 cm le long des droites concernées. Les coordonnées de M sont (6,3;-1;5) et celles de N sont (11;5,04;4,78).

Attribution indulgente des 3 points si l’on tient compte d’un bon raisonnement ayant conduit à des réponses exactes, bien qu’aucun calcul sur la colinéarité n’a été fait. Sinon on retire 1 point en cas de tolérance zéro (ne pas utiliser de calcul de colinéarité pourrait être un crime, lol !).

Exercice 3

  1. z²-8z+64=0 c’est de la forme (a+bi)²-8(a+bi)+64=0. L’équation du second degré admet deux solutions complexes : z=4+4i√3 et z=4-4i√3. EXACT
  2. On retrouve dans cette question-ci les nombres a et b que j’ai calculé précédemment. Calcul de l’argument K :  cos(K) = a / |z| = a / √(a²+b²) et sin(K) = b / |z| = b / √(a²+b²). alors cos(K) = 4/√(4²+4²*3) = 4 /(4√4) = 4/(4*2) = 4/8 = 1/2. L’argument K vaut donc pi/3 radian. On a vu que le module vaut |z|=8. La forme exponentielle est z = |z|*e^(i*K) = 8*e(i*pi/3). Rayon du cercle : j’ai essayé avec (4+4i√3)²+(4-4i√3)²=R² où cela donne R = 8i. EXACT, le corrigé dit que le module vaut 8 et l’argument vaut bien pi/3. Et concernant le cercle, le rayon vaut 8.
  3. La question 3.a. montre que b’=8, où 8 est égal au module car les trois points d’affixes contiennent justement l’argument pi/3.
  4. Je passe cette question… En effet, en lisant le corrigé, je n’ai jamais abordé ce type de situation en Terminale pour les nombres complexes, j’ai donc foiré ici.

Attribution de 4 points au lieu des 5 (pénalité contre la question 4)

  • NOTE : entre 12 et 14 sur 20.      J’ai quand même dépassé la moyenne (comme l’année dernière en 2014). Cela signifie que ceux qui n’ont pas la moyenne n’ont pas assimilé les connaissances en cours d’année, mais c’est une certitude : quand on bosse et qu’on est motivé, on atteint forcément au moins la moyenne au bac S.

 

Si j’avais potassé quelques jours plus tôt, j’aurais mieux fait. Là, j’avais improvisé en faisant les exercices en retrouvant des notions pas vues depuis des années…

 

Remarque à la fin de la session de maths 2015 :

  • Cela m’a pris à peine 4 heures, presque autant que la durée maximum exigée. Même si j’ai coincé au niveau de la question 4 de l’exercice 3, et même si j’ai commis une étourderie au début de la partie 2 de l’exercice 1, je considère que l’ensemble du travail à faire est sensiblement plus facile que la session de maths du Bac S de 2014 (la session de maths du Bac S 2014 nécessitait de l’effort et du temps de réflexion, mais ce n’était pas insurmontable). Il y a plus de 20 ans, c’était plus dur. Plus difficile encore pendant les années 1970 !  Si certains trouvaient à dire que les maths du bac S c’est encore trop dur cette année 2015 comme en 2014, ils sont de mauvaise foi. Je trouve même que les maths actuelles de la filière S sont presque anormalement trop facile ! Tout ce que j’ai vu dans les exercices fait partie du programme de maths de Terminale, bien que je n’ai aucun souvenir de la notion d’affixe concernant les nombres complexes par rapport à ce que j’ai appris moi-même en terminale il y a bien longtemps. J’ai donc effectué les exercices, en plongeant dans les nombres complexes dans lesquels je ne m’y était pas immergé depuis des décennies. Les nombres complexes, comme la plupart des autres trucs appris en maths, c’est marrant car comme les dérivées et les équations différentielles, je ne connais pas un prof de maths (du moins dans mon parcours scolaire) qui n’ait expliqué à quoi tout cela pouvait bien servir concrètement (alors que l’utilité existe bien)…
  • Je lirai le corrigé de cette épreuve, ça me permettra de voir où ça ne collait pas, et ce sera l’occasion d’apprendre ou de réapprendre des notions qui m’ont échappé depuis longtemps. C’est fait.

 

 

 

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John Philip C. Manson

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