La règle des 72

Voici ce que raconte en substance l’article de Wikipedia à propos de la règle des 72 :

En finance, la règle des 72 est une méthode pour estimer le temps de doublement d’un capital. Si un capital est placé avec un taux d’intérêt de t% par période (en général, années), il faut 72/t périodes pour le doubler. A 4% par an, il faut 18 ans, à 6% il faut 12 ans… Cette règle remonte à la Renaissance. Une étude analytique montre que 70 (voire 69) serait plus réaliste, mais 72, légèrement pessimiste, favorise est plus facile que le calcul mental.

Pourtant, avec les mathématiques, on peut calculer tout ça sans trop de difficultés.

  • Soit n la valeur nominale du pourcentage. Par exemple, si x=6, alors ce sera un taux de 6%.
  • (1 + (n / 100)) puissance (72/n) = 2
  • donc n = 7,84687.
  • Pour que la règle soit exactement de 72, alors il faut un taux à 7,85% pendant une période de 72/7,85 = 9,17 années afin de doubler le capital.
  • Pour les taux inférieurs à 7,85%, la règle est valable pour un nombre inférieur à 72.
  • Pour les taux supérieurs à 7,85%, la règle est valable pour un nombre supérieur à 72.

 

Soit N le nombre qui est voisin de 72, et qui est le nombre à rechercher.

  • Alors voici mon équation :  N =  n * ln 2 / ln (1 + (n/100))
  • En essayant avec n=7,84687, on trouve bien N = 72.
  • Et pour calculer exactement le temps nécessaire en années au doublement du capital :  t = N / n = ln 2 / ln (1 + (n/100))
  • En essayant avec n=7,84687, on trouve bien t = 9,17 années.

 

Mais la règle des 72 ne vaut que pour un taux d’intérêt bien précis (7,85%). Elle n’est pas valable pour les autres taux, et la divergence peut être importante. En effet, comme le taux est compris entre 0% et 100%, la règle des 72 est caduque car en lieu et place du nombre 72, c’est plutôt un nombre compris entre 69,3147 et 100. Ainsi c’est plus souvent un nombre situé dans cet intervalle qui sera valide, mais pas systématiquement 72.

Une équation très précise, c’est quand même mieux qu’un nombre mnémotechnique trop approximatif. Et une équation logarithmique, c’est à la portée de tous les lycéens, et les financiers ont tous été lycéens autrefois.

 

John Philip C. Manson

 

 

 

 

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