Equation de la sphère

Par hasard, sur Yahoo Q/R, je découvre une question de géométrie dans l’espace :

  • Déterminer l’équation de la sphère passant par les deux points A(4 ; 2 ; -3), B(-1 ; 3 ; 1) et ayant son centre sur la droite CD connaissant C(2 ; 3 ; 7) et D(1 ; 5 ; 9).

Je précise ne pas avoir abordé ce type de problématique quand j’étais au lycée (il y a bien longtemps). Ou bien je n’avais pas su le résoudre (à l’époque c’est certain).

Ainsi, je vais faire l’exercice avec comme seul outil : la logique. La mémoire des cours n’est donc pas nécessaire. On parvient à résoudre l’exercice par la seule réflexion. Il faut prendre le temps de réfléchir et de comprendre.

Tout d’abord, l’équation du cercle, où le cercle de rayon R est centré sur le point (0;0) dans un plan est x² + y² = R².

Mais l’équation de la sphère ? Je me suis dit qu’il fallait ajouter une dimension spatiale perpendiculaire au plan.

Ainsi, une sphère de rayon R et centrée sur le point (0;0;0) obéit à cette équation :

x² + y² + z² = R²

Mais l’on sait d’après l’énoncé que la sphère n’est pas centrée sur (0;0;0).

Soient a et b et c tels que (a;b;c) est le centre de la sphère, lequel est un point qui appartient à la droite CD.

Alors dans ce cas, l’équation devient :

(x+a)²+(y+b)²+(z+c)² = R²

De plus, d’après les points A et B, on sait que l’équation de la sphère doit respecter l’égalité suivante :

(4+a)²+(2+b)²+(-3+c)² = (-1+a)²+(3+b)²+(1+c)²

Ainsi, les segments OA et OB ont même longueur (égale au rayon R), où le point O désigne le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère.

Pour déterminer les valeurs de a et b et c, j’ai improvisé une sorte de cuisine, en écrivant une sorte d’équation paramétrique de la droite CD. Paramétrique, dis-je, parce que j’ai ailleurs entendu parler d’équation paramétrique du plan, et là j’applique cela à une droite qui traverse un espace.

J’introduis alors la variable t, telle que :

a = 2 – t
b = 2t + 3
c = 2t + 7

C’est le seul moyen que j’ai trouvé pour tenter de résoudre le problème, et je suppose que c’est comme ça que ça se fait habituellement.

Ensuite, on obtient donc ça :

(x+(2-t))²+(y+(2t+3))²+(z+(2t+7))² = R²

Et en injectant les points A et B dans cette équation, je trouve ça :

(4+(2-t))²+(2+(2t+3))²+(-3+(2t+7))² = (-1+(2-t))²+(3+(2t+3))²+(1+(2t+7))²

Ainsi, on va pouvoir résoudre t. Je trouve t = -4/5.

Connaissant désormais la valeur de t, on peut calculer a et b et c :

a = 14/5 = 2,8 , b = 7/5 = 1,4  , c = 27/5 = 5,4.

Alors l’équation de la droite, encore incomplète, devient :   (x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = R²

Vérification :

(4+14/5)² + (2 + 7/5)² + (-3 + 27/5)² = (-1+14/5)² + (3 + 7/5)² + (1 + 27/5)² = R² = 1589/25

Maintenant, nous connaissons enfin le rayon de la sphère, il vaut R = 7,9725.

L’équation de la sphère est maintenant complète :

(x+14/5)² + (y + 7/5)² + (z + 27/5)² = 1589/25

Par vérification, en remplaçant (x;y;z) par les points A et B, on constate que l’égalité ci-dessus est respectée : les points A et B font bien partie de la surface de la sphère. Tandis que le point (a;b;c) qui est le centre de la sphère, il fait bien partie de la droite CD.

J’ai su résoudre l’exercice. Normalement, les élèves de Terminale S doivent pouvoir résoudre eux aussi ce genre d’exercice, car la géométrie dans l’espace fait partie du programme scolaire de Terminale S.

Avec cet exercice ici, on comprend les mathématiques quand on prend le temps de réfléchir. Les solutions ne tombent jamais du ciel. Il faut de l’effort et du temps. On n’est pas dans un stade olympique où il faut essayer de courir plus vite que le dieu Usain Bolt. 😉

En maths, la vitesse est l’ennemie de l’exactitude. Aller trop vite, c’est prendre le risque de se planter. On tombe à terre et on mord la poussière. Aller vite, c’est le signe que l’on prend les maths comme une corvée dont on veut se débarrasser, non ?

Je sais que les maths peuvent donner de grosses migraines, mais ceux qui ont délibérément choisi la voie des mathématiques, ils assument leur choix. Non ?  😉

Mathématiquement vôtre.

John Philip C. Manson

 

 

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