Les nombres magiques

 

En physique nucléaire, les nombres « magiques » désigne une série de nombres particuliers qui correspondent au nombre de protons ou de neutrons pour lequel un noyau atomique est particulièrement stable ; dans le modèle en couches décrivant la structure nucléaire, cela correspond à un arrangement en couches complètes.

Je connais ces nombres intriguants depuis de nombreuses années, je les avais connu à travers les bons livres de vulgarisation scientifique en physique.

Ces nombres me fascinaient un peu quand j’étais plus jeune. Je ne pensais pas qu’aujourd’hui je découvrirai un petit détail, une petite trouvaille dont je pense ne pas être le premier à l’avoir découverte.

Dans les années 1980, je me disais : « Flûte, quels peuvent bien être les autres nombres magiques pour compléter la suite ? ». Des questions restées sans réponses.

Aujourd’hui, toutefois, je tombe fortuitement sur l’article Wikipedia parlant de ces fameux nombres magiques. Et comme je suis en ce moment à fond sur les équations différentielles dans mes domaines actuels d’intérêt, je me suis posé la question suivante :

Est-ce que les nombres magiques peuvent être la solution d’une équation différentielle ?

Réponse : oui !

La fonction décrivant chaque terme de la suite de nombres magiques est la solution de l’équation différentielle suivante :

  • y’ = dy/dx = k * y

La dérivée est proportionnelle à la fonction.

La constante k vaut 0,486247.

Je trouve ensuite une seconde constante, conduisant à une solution unique qui est :

  • y = 4,25397 * e^(0,486247 * x)

Preuve ci-dessous, avec les points rouges qui matérialisent les nombres magiques sur lesquels on trace la fonction adaptée :

NombresMagiques

Le premier nombre magique (de valeur y = 2) commence dès x = 1.

Les nombres magiques connus sont au nombre de 7 :

  • 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

 

Quand on les soustrait d’une unité, on obtient alors les nombres 7 et 19 qui sont des nombres premiers, tandis qu’entre les nombres magiques entre le 4e terme inclus et le 6e terme inclus, les nombres magiques sont de la forme W²+1 ou W^3 + 1 où W est un entier. Etrange coïncidence.

  • 28 = 3^3 + 1
  • 50 = 7² + 1
  • 82 = 9² + 1
  • 126 = 5^3 + 1

Avec mon équation, je peux tenter de compléter la suite, sans prétendre à une quelconque validité objective.

  • 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 208, 338, 550

Mais comme les physiciens penseraient que le huitième nombre serait le nombre 184, alors l’équation devient :

  • y = 5.44571 *  e^(0,442639 * x).    Mais cela reste une solution d’une équation différentielle du premier ordre.

Mais je pense que cette suite de nombres magiques a ses propres limites : il paraît qu’au-delà d’environ 137 protons, les noyaux atomiques sont instables, les forces de cohésion nucléaire deviennent insuffisantes pour assurer la stabilité des noyaux atomiques massifs quand le rayon du noyau atomique devient trop important. C’est similaire à la loi empirique de Titius-Bode en astronomie, ça ne marche pas pour les grandes distances.

 

Réédition du 11/06/2015 :

  • Le docteur Goulu me fournit un renseignement complémentaire : https://oeis.org/A018226
  • Dans le lien ci-dessus, il existe une équation : y = n(x+1)(x+2)/3 pour x compris entre 1 et 3 inclus et y = n(n²+5)/3 pour x compris entre 4 et 7 inclus.
  • Le huitième terme serait 8(8²+5)/3 = 184. Le neuvième terme serait 9(9²+5)/3 = 258.
  • Par conséquent, ces équations sont plus fiables que ma recherche sur les équations différentielles. Maintenant je sais que les nombres magiques peuvent être construits au moyen d’un polynôme. Chose que je ne savais pas auparavant.

J’ai ensuite généré la suite suivante : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 28, 50, 82, 126, 184, 258, 350, 462, 596, 754, 938, 1150, 1392, 1666, 1974, 2318, 2700, 3122, 3586, 4094, 4648, 5250, 5902, 6606, 7364, 8178, 9050.

En modélisant avec une équation différentielle du type y’ = k*y, j’ai obtenu une courbe mais celle-ci ne passait pas pas tous les points.

Mais en utilisant un modèle basé sur un polynôme du 3e degré, j’obtiens un tracé nettement plus conforme :

Cubic

L’on voit que la courbe passe un peu mieux par les points, par rapport à une fonction exponentielle.

La fonction est y(x) = 0,336759 x^3 – 4,11246 x² + 16,6932 x + 7,92815. Mais en y regardant de plus près, ce n’est pas fiable non plus.

Ensuite, voici ce qu’on obtient avec une polynôme du 5e degré :

Quintic

La fonction est alors : y(x) = 0,000136505 x^5 – 0,0131988 x^4 + 0,79906 x^3 – 11.1367 x² + 59,4162 x – 61,249.

Mais ni exponentielle, ni les polynômes ne donnent des entiers exacts y(x) pour tous les termes x.

Tout ce que nous avons de valable, c’est y = n(n²+5)/3 à partir de n=4.

Merci au Dr Goulu pour m’avoir montré le lien vers OEIS. 🙂

John Philip C. Manson

 

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