Résolution et démonstration d’une énigme mathématique

Dans un article intéressant de Slate, je vois un exercice apparemment difficile, mais en examinant la solution proposée, je n’en suis pas du tout satisfait. Je présume même que cette solution est erronée. En prétendant cela, je me dois de réaliser ici une démonstration convaincante…

 

Capture d’écran 2015-04-20 à 17.55.56

 

Voici l’énoncé en français :

  • Un fil est attaché de manière symétrique autour d’une tige circulaire (d’un cylindre). Le fil fait très exactement quatre fois le tour du cylindre. La circonférence du cylindre est de 4 cm et sa longueur est de 12 cm.
  • Trouvez la longueur du fil.
  • Montrez tout votre raisonnement.

La solution propose le théorème de Pythagore et affirme que le fil mesure 20 cm. Mais c’est faux.

 

Voici comment j’ai raisonné :

Pour simuler un fil enroulé autour d’un cylindre, j’ai pensé à une onde, que l’on peut représenter au moyen d’une fonction sinusoïdale.

y = (4/(2*pi))*sin(2x)    équation ci-contre légèrement incorrecte

y = (4/(2*pi))*sin(x * 8 * pi / 12)    équation conforme : 4 tours de fil correspond à 12 cm de longueur de cylindre, soit une longueur d’onde de 3 cm pour un tour de fil

Simplification :  y = (2/pi) * sin (x * 2 * pi/3)

Puis pour déterminer la longueur de la courbe de la fonction, j’applique une équation que j’avais moi-même trouvée il y a plus de 3 ans, j’en avais même publié un article : https://jpcmanson.wordpress.com/2012/03/15/calcul-de-la-longueur-de-la-courbe-dune-fonction-dans-un-intervalle/

Ici, la longueur de la courbe sera :

L = intégrale de x=0 à x=12 de la racine carrée de (1 + (dy/dx)²).

L = intégrale de x=0 à x=12 de (1 + (((4/3)*cos(2*pi*x/3)))²)^0.5

avec dy/dx = (4/3)*cos(2*pi*x/3)

Voici mon résultat :    L = 16,251 cm. Et non pas 20 cm comme raconté dans l’article de Slate.

 

Justification du résultat :

La circonférence d’un cercle (par enroulement autour du cylindre), c’est quand on fait un seul tour complet du fil, soit 4 cm. Dans notre problème pour calculer la longueur du fil, peu importe la longueur du cylindre : on enroule 4 fois le fil sur lui-même, donc 4 fois sa circonférence, soit 4 fois 4 = 16 cm, ce qui est une valeur très proche de la solution de l’intégrale (16,251 cm).

Pourquoi l’essai avec Pythagore est faux ? Parce que ceux qui on utilisé Pythagore ont raisonné au schéma comme si c’était un plan euclidien, alors qu’il faut raisonner en 3 dimensions, et une fonction sinusoïdale peut permettre de résoudre cette difficulté due à une représentation en deux dimensions. Utiliser Pythagore sans même utiliser le nombre pi dans l’équation, c’est faux, sachant que l’enroulement circulaire du fil est nécessairement lié au nombre pi.

L’exercice narré ici avait été conçu pour des élèves singapouriens d’une quinzaine d’années. The Independent rapporte que cette énigme mathématique a tenu en échec 96% des meilleurs étudiants en mathématiques des Etats-Unis.

Je n’y crois pas. Ce serait grave si c’était vrai (les cancres auraient de bonnes notes à la fac de sciences ?).

Je ne suis pas spécialement bon en maths, mais c’est un domaine qui m’intéresse. Si j’ai résolu l’exercice, c’est parce que j’ai le niveau requis, alors les meilleurs étudiants américains sont certainement meilleurs que moi. Mais si des étudiants chevronnés ne savent pas résoudre des exercices du niveau d’âge de 15 ans, c’est qu’il y a un problème. A moins que les niveaux diffèrent didactiquement de façon sensible selon les pays. Mais franchement, je n’ai pas trouvé ici l’exercice très difficile… Mais celui qui propose le théorème de Pythagore comme solution en convertissant un cylindre en un rectangle dans un plan, selon moi c’est un zéro pointé qu’il devrait recevoir…

 

© 2015 John Philip C. Manson

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