Probabilités et grands nombres premiers

Soit N un nombre impair composé de C chiffres, où N peut s’écrire à peu près de la forme N = 10 puissance (C – 1) = 10 puissance M où M = C – 1.

Ensuite, la probabilité pour que N soit premier est environ p = 1 / ln N, soit 1 / (ln 10^M).

Ensuite, la probabilité pour que parmi K nombres à C chiffres, il y en ait deux qui soient premiers, est :

  • P = 1 – (ln N)! / (((ln N) – K)! * (ln N)^K)
  • soit P = 1 – (M * ln 10)! / (((M * ln 10) – K)! * (M * ln 10)^K)
  • donc : P = 1 – ((C-1) * ln 10)! / ((((C-1) * ln 10) – K)! * ((C-1) * ln 10)^K)

Ainsi, en générant aléatoirement environ 50 nombres ayant 100 chiffres chacun, la probabilité devient élevée pour que 2 nombres générés parmi ces 50 nombres générés soient des nombres premiers. Avec 19 nombres de 100 chiffres générés aléatoirement, la probabilité qu’il y ait 2 nombres premiers parmi les 19 nombres dépasse les 50%.

Avec un nombre N de 4 chiffres (donc entre 1000 et 9999), il ne faudrait générer aléatoirement que 3 à 4 nombres pour qu’il y en ait deux parmi eux qui soient des nombres premiers avec une probabilité de 50% (et 100% environ de probabilité avec au moins 7 à 8 nombres générés aléatoirement). Il est possible de vérifier cela avec une simulation informatique, je rééditerai bientôt ce présent article pour y livrer mes résultats, afin de dire si oui ou non mes équations sont valides.

Des tests statistiques m’indiquent que sur 4 nombres N à 4 chiffres, il y a 25% de probabilité pour qu’il y en ai 2 nombres sur les 4 qui soient des nombres premiers.

 

Copyright 2015 John Philip C. Manson

 

 

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