Géométrie analytique : aire d’un quadrilatère aléatoire et probabilité de son aire

J’ai imaginé un exemple de géométrie avec l’utilisation du hasard.

Soit un carré de côté 1. Dans l’aire de ce carré, on génère aléatoirement 4 points. Ces 4 points aléatoires forment un quadrilatère quelconque (de forme irrégulière). La question est la suivante : quelle est l’aire la plus probable du quadrilatère aléatoirement formé dans l’aire du carré ?

Comme le carré a une aire de 1, l’aire du quadrilatère aléatoire est comprise nécessairement entre 0 et 1.

Avec un programme codé en langage Perl, j’ai réalisé un test avec 10 millions de quadrilatères générés aléatoirement.

Voici le résultat étonnant auquel je ne m’y attendais pas :

 

  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.0 et 0.1 = 0.33
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.1 et 0.2 = 0.26
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.2 et 0.3 = 0.14
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.3 et 0.4 = 0.06
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.4 et 0.5 = 0.02
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.5 et 0.6 = 0.006
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.6 et 0.7 = 0.001
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.7 et 0.8 = 0.0002
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.8 et 0.9 = 0.00005
  • Probabilité que l’aire du quadrilatère aléatoire soit entre 0.9 et 1.0 = 0.33

La probabilité décroît exponentiellement en fonction de l’aire du quadrilatère quelconque, mais la probabilité remonte soudain pour une aire comprise entre 0.9 et 1.

Curieux, non ?

© 2015 John Philippe C. Manson

 

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