Le paradoxe de Bertrand

 

Soit un triangle équilatéral de côté 3 inscrit dans un cercle de rayon 1. Ensuite, une droite coupe aléatoirement le cercle en deux points A et B. L’enjeu consiste à déterminer quelle est la probabilité pour que la longueur AB soit supérieur ou égale au côté du triangle inscrit.

J’ai utilisé la méthode du milieu aléatoire (mais sans l’option du petit cercle concentrique, et en ce sens ma méthode choisie est une variante de la 3e méthode et de la première).

J’ai conçu un script Perl qui définit aléatoirement deux points sur le cercle, et on compare la longueur du segment AB par rapport à 3.

  • Avec un long test d’environ 32 millions de segments générés aléatoirement, j’ai établi que la probabilité pour que AB soit supérieur ou égal à 3 est comprise entre 0,0945 et 0,0946, c’est-à-dire dans environ 9,5% des cas.

Mais si je prends l’option du petit cercle concentrique, j’ai pu déterminer par calcul que son rayon vaut 0,5, et que par conséquent, la probabilité pour qu’un segment passe à l’intérieur du cercle concentrique est le rapport des surfaces des disques :  (0,5/1)² = 1/4 = 25%.

Dans l’article de Wikipedia, la première méthode définit un point fixe arbitraire sur le cercle, tandis que le 2e point est choisi au hasard. Ma méthode choisie en est une variante : les deux points sont définis au hasard, et je trouve effectivement une probabilité différente.

 

 

© 2015 John Philip C. Manson

 

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