Jeu mathématique

En examinant un exercice de mathématiques du magazine hors-série de La Recherche, de février 2012, je ne trouve pas le même résultat que la solution proposée.

Voici l’énoncé :

Une urne contient 15 bulletins A, 15 bulletins B, 15 bulletins C, et 15 bulletins D. Combien faut-il en sortir, sans les voir, pour être certain d’avoir au moins un bulletin de chaque sorte ?

Dans le magazine, la solution proposée est : au moins 76.

Or, à défaut d’équations, j’ai réalisé une simulation numérique. Il semblerait qu’en moyenne il faut sortir à peu près 8 bulletins pour en avoir 1 de chaque.

Voici le code source du script Perl :

#!/usr/bin/perl
$m = 0; $sm = 0;
for ($try = 1; $try <= 10000; $try++)
{
$cumul = «  »;
for ($q = 1; $q <= 100; $q++)
{
$alea = 1 + int(rand(4));
if ($alea == 1)
{
$cumul = « $cumul ». »A »;
}
if ($alea == 2)
{
$cumul = « $cumul ». »B »;
}
if ($alea == 3)
{
$cumul = « $cumul ». »C »;
}
if ($alea == 4)
{
$cumul = « $cumul ». »D »;
}
if ((index($cumul, »A ») > -1) and (index($cumul, »B ») > -1) and (index($cumul, »C ») > -1) and (index($cumul, »D ») > -1))
{
#print « $q :: $cumul \n »;
$sm = $sm + $q;
$q = 1000;
}
}  # for q
} # for try
$m = $sm / 10000;
print « Moyenne = $m \n »;

———————————————–

Voici un exemple de quelques tirages aléatoires dans l’urne :

4 :: DCAB
7 :: CDADDAB
7 :: ACCCBAD
5 :: BBCDA
14 :: DADCCADDDDDDAB
4 :: DCAB
8 :: ADACAAAB
12 :: CADCDDCDAAAB
7 :: BAADBBC
8 :: ABAACCBD
4 :: BCDA
8 :: ACDAADAB
11 :: CCDBDCDBBCA
8 :: CBDBDDDA
6 :: BDBAAC
15 :: ACABBBACBABBACD

Les nombres à gauche de chaque série de bulletins tirés au sort désignent le nombre de bulletins qu’il aura fallu pour avoir les 4 bulletins de chaque au moins (A, B, C et D). J’ai surligné en rouge pour mieux mettre en évidence ces bulletins de chaque.

En bref, sur un total de 10 000 tirages aléatoires, j’ai constaté une moyenne d’environ 8,3 bulletins nécessaires afin qu’il y ait au moins un A, au moins un B, au moins un C et au moins un D.

Mais la solution indiquée dans le magazine est 76. Je ne comprends pas… En effet, pour un bulletin donné, il a une chance sur 4 d’être tiré au sort, puisqu’au total il y a 4×15 = 60 bulletins, et qu’il y a 15 bulletins pour chaque catégorie. La simulation numérique que j’ai conçue est pourtant explicite, tout me paraît correct, à moins qu’un détail m’ait échappé. Le Dr Goulu pourrait-il m’éclairer sur cette énigme ?

 

© 2014 John Philip C. Manson

 

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