Euromillions et probabilités

  • 17/10/2014 : Ce qui est exposé ci-dessous est erroné, voir le commentaire du Dr Goulu à la fin de l’article. Un nouveau résultat est présenté à la fin de l’article, après correction.

 

En examinant les différents rangs des probabilités et des gains au jeu Euromillions :  http://fr.wikipedia.org/wiki/Euro_Millions#Tableau_des_gains

J’ai conçu un programme de simulation informatique des tirages du jeu Euromillions.

Ce jeu a deux tirages par semaine. Ce qui fait 104 tirages par année.

Pour chacun des tirages, on dépense 2 euros pour réaliser une grille de numéros (5 numéros et 2 étoiles). On dispose au départ d’un capital égal à zéro. Après une année de jeu Euromillions, donc après 104 tirages dont les numéros sortent au hasard, j’ai pu évaluer combien devient ce capital, après y avoir ajouté les gains et y avoir déduit les pertes. Si le capital est inférieur à zéro, on aura réalisé plus de dépenses que de gains.

A t-on dépensé plus que l’on aura gagné ? Ou un équilibre entre les gains et les dépenses ? Ou un léger avantage ?

  • Après une année de jeu Euromillions (104 tirages), le capital est positif (en moyenne). En moyenne, on aura un peu plus d’argent qu’avant d’avoir joué aux 104 tirages.
  • Mais l’écart-type vaut au moins le double de la moyenne.

Voici plusieurs résultats statistiques du montant du capital après 104 tirages :

  • 45 ± 94 euros
  • 66 ± 100 euros
  • 66 ± 132 euros
  • 45 ± 143 euros
  • 54 ± 115 euros

Le capital moyen est positif (à notre avantage) mais l’écart-type indique que les intervalles favorisent un capital néanmoins négatif parmi les probabilités…

Concrètement, il y a 68,2% de probabilité pour que le capital soit compris dans les intervalles suivants :

  • entre -49 et 139
  • entre -34 et 166
  • entre -66 et 198
  • entre -98 et 188
  • entre -61 et 169

Si on est gagnant EN MOYENNE, cela n’empêche pas que l’on puisse souvent perdre quand même. Au bout d’un an de jeu, certains sont gagnants, d’autres sont en déficit. En moyenne il existe un léger avantage, apparemment.

Tout ce qui est écrit ci-dessus ne vaut que si le prix du ticket (pour un tirage) vaut 2 euros. Or on vient de m’annoncer, au cours de ma rédaction, que le prix du ticket est de 2,50 euros, ce qui change un peu mes conclusions.

Donc voila ce que l’on obtient si on joue pendant un an à Euromillions, quand le ticket vaut 2,50 euros :

  • 19 ± 129 euros

Ce résultat est une moyenne (avec un écart-type), réalisé sur une simulation informatique étalée sur 20 années consécutives.

  • Gain la première année : 56 (je fais un bénéfice)
  • Gain la 2e année : -102  (je suis en déficit)
  • Gain la 3e année : 134
  • Gain la 4e année : 168;
  • Gain la 5e année : -84
  • Gain la 6e année : -172
  • Et les années suivantes : 88; 96; 26; -74; -108; 144; 249; -190; -9; 106; -52; -116; 8; 218.

Et donc, en moyenne (sur 20 ans), on a un capital (gain sur un an) de 19 euros plus ou moins 129 euros.

Pour résumer, si j’ai 110 euros dans ma tirelire le 1er janvier et que je joue ensuite à Euromillions deux fois par semaine, pendant un an, alors au 31 décembre suivant, ma tirelire contiendra en moyenne 129 euros, avec une probabilité de 68,2% pour que le contenu réel de ma tirelire soit compris entre 0 et 258 euros. Compte-tenu de l’écart-type, dans le meilleur des cas ma tirelire contiendra 258 euros, et dans le pire des cas ma tirelire sera vide. Bien qu’en moyenne on est dans un léger avantage, il existe un risque de dépenser tout l’argent de la tirelire…

Pour entrer dans d’autres détails, la probabilité pour que l’on réalise un bénéfice positif (supérieur à zéro) après un an de jeu Euromillions est d’environ 56%. Il y a concrètement un risque de 44% environ pour qu’on soit perdant (déficitaire) après un an de jeu. Le bénéfice positif espéré consiste à réaliser des gains supérieurs aux dépenses engagées dans le jeu. Comme le ticket par tirage vaut 2,50 euros, les dépenses en une année sont de 2,50 * 104 = 260 euros. Un capital positif après un an de jeu consiste à réaliser des gains supérieurs à ces 260 euros. Mais il y a 44% de risque de ne pas atteindre cet objectif.

 

  • Pour terminer, supposons que je veuille gagner le gros lot d’Euromillions. En réalisant une simulation informatique, il me faudra jouer, par exemple, 44 420 758 de tirages avant de gagner le gros lot (5 numéros + 2 étoiles). Les dépenses engagées seront de 111 051 895 euros, et le gain cumulé sera de 51 931 388 euros. J’aurai dépensé là plus du double de ce que tout ce que j’aurai gagné.
  • Avec un second test, il faudra jouer pendant 89 180 184 de tirages avant de gagner le gros lot : les dépenses seront de 222 950 460 euros, et les gains cumulés sont de 83 136 323 euros (ces derniers étant nettement inférieurs aux dépenses engagées).

Commentaire du Dr Goulu :

goulu

Ma réponse :

En effet j’ai omis de redistribuer les cagnottes aux différents gagnants, ce qui fait des gains plus faibles par joueur gagnant à cause du partage entre les différents gagnants. Par conséquent, la simulation informatique est complètement à revoir… Et encore je trouvais bizarre qu’il y eut un léger avantage plutôt qu’une forte probabilité de perdre la mise de 2,50 euros à chaque tirage comme je devais m’y attendre. Une chose reste certaine : les jeux de hasard sont un attrape-nigaud.

iconlol

Merci beaucoup pour ta réponse.

J’ai modifié mon programme (langage Perl). J’ai maintenant pris en compte le partage moyen des gains entre joueurs gagnants à chaque rang.

Voici ce que j’obtiens :

  • En moyenne, et en partant d’un capital nul, le capital final après 104 tirages (un an de jeu) est de -228,4 ± 11,5 euros. Cette nouvelle conclusion, après la correction appliquée, montre qu’il est très probable de perdre de l’argent après un an de jeu Euromillions.
  • C’est-à-dire que si j’ai un peu plus de 220 euros au départ, il est fort probable de tout perdre après 104 tirages, même si entre temps j’ai reçu quelques petits gains. Mais j’aurai plus perdu que gagné.
  • Un deuxième test statistique indique ce résultat : -222,9 ± 12,8.
  • Le risque de perdre (sur une année de tirages), avec les nouveaux résultats, est de 100% (ou presque), et non plus de 44% comme je l’avais raconté plus haut.

 

 J’ai essayé aussi pour le jeu du Loto :

  • http://fr.wikipedia.org/wiki/Loto#En_France au paragraphe « Depuis 2008 », d’où j’ai relevé les probabilités respectives
  • https://www.fdj.fr/jeux/jeux-de-tirage/loto/resultats d’où j’y ai relevé les gains par grille gagnante.
  • Résultat : en jouant pendant un an au Loto, le capital final (à partir d’un capital nul) est d’environ -127 ± 25 euros. Ce qui signifie qu’à partir d’un budget moyen d’une cent vingtaine d’euros au départ, je perds finalement tout, même en ayant eu entre temps quelques gains divers.

 

 

© 2014 John Philip C. Manson

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