Topométrie : alignement de sites, statistiques et probabilités

  • Aujourd’hui, le sujet d’étude est consacré aux alignements de sites (monuments, églises, calvaires, mégalithes, etc), et ce concept va être confronté à la géométrie sur le plan et les probabilités.

Beaucoup considèrent ce genre de thème explicité par cet article suivant http://fr.wikipedia.org/wiki/Alignement_de_sites selon le point de vue du sourcier ou du mystique. Ainsi, dans la mouvance New Age, certains croient que les sites topographiques (dûment cités plus haut) forment des alignements surprenants et vont jusqu’à donner des interprétations et explications farfelues.

Moi-même, sur une carte IGN, il y a plus de 20 ans, j’ai constaté en effet des alignements (plus ou moins approximatifs) en ce qui concernent des sites qui ont été construits par la main de l’homme. Ces alignements existent, c’est un fait. Mais quelle interprétation peut-on leur donner ?

L’hypothèse mystique, religieuse, spirituelle ? L’œuvre des dieux du paganisme ou celle des petits hommes verts ? Non, il y a plus simple. L’on doit considérer le sujet comme un thème des mathématiques, notamment la géométrie sur le plan et la statistique.

J’ouvre une carte IGN. Elle est à l’échelle 1:25000. C’est-à-dire que 1 cm sur la carte représente 25000 cm sur le terrain, soit 250 mètres sur le terrain. Donc 4 cm sur la carte, cela fait 1 km sur le terrain. Il y a plus de 20 ans, je constatais des alignements comme je l’ai raconté plus haut.

Mais à propos de ces alignements, il fallait apporter une explication scientifique. Les maths sont là pour nous venir en aide.

Donc, j’ai ouvert la carte. Je pose 1 mètre carré de la carte IGN (IGN est le sigle de l’Institut national de l’information géographique et forestière), voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Institut_national_de_l%27information_g%C3%A9ographique_et_foresti%C3%A8re  Franchement, ils font de très bonnes cartes. C’est très intéressant d’étudier des cartes topographiques, notamment quand on fait de la géologie.

En créant un programme informatique qui utilise la notion de vecteurs colinéaires, j’engendre 3 points aléatoires sur 1 m² de la carte. La précision du positionnement de chaque point est de l’ordre de 1 mm sur la carte, soit 25 m sur le terrain. Pour que les 3 points soient alignés entre eux, à 1 mm près, la probabilité est d’environ 0,001%, soit une chance sur 100 000. Et au mieux, une chance sur 60 000 environ.

Mais si on considère un alignement fortuit et assez approximatif, où la déviation peut atteindre 1 cm sur la carte (soit 250 m sur le terrain) et non plus 1 mm, la probabilité atteint environ 0,1%, c’est-à-dire 100 fois plus probable environ par rapport à la précision millimétrique. Soit environ une chance sur 1000.

Pour compliquer les alignements, j’ajoute un 4e point aléatoire : pour que 4 points soient alignés à 1 mm près sur la carte carrée de 1 m², la probabilité pour que cela arrive est entre 0 et 0,0003%. Puis à 1 cm près sur la carte, la probabilité atteint environ 0,01%.

Pour compliquer à nouveau les alignements, j’ajoute un 5e point aléatoire : pour que 5 points soient alignés à 1 mm près sur la carte, sur une aire carrée de 1 m², la probabilité pour que cela arrive est nulle ou presque. Puis à 1 cm près sur la carte, la probabilité atteint environ 0,0001% au mieux.

Mais plus on va ajouter de points, plus les alignements vont en fait devenir de plus en plus probables. Par exemple, supposons que je sature la carte avec une multitude de points, tous espacés quadratiquement entre eux de 1 mm : on obtient alors des alignements horizontaux et des lignes parallèles, et aussi des alignements verticaux et d’autres lignes parallèles, il y a aussi de nombreuses lignes perpendiculaires, sans oublier non plus des alignements en diagonales et à des angles divers et d’autres lignes parallèles entre elles. Il est donc clair qu’après un certain nombre de points aléatoires ajoutés sur la carte, les alignements fortuits deviennent plutôt probables. Avec une carte précise au millimètre près, on peut y mettre un million de points dessus, et cela peut engendrer des milliers d’alignements fortuits (horizontaux, verticaux, diagonales, etc). Avec une précision de 1 cm sur la carte, on peut placer 10 000 points aléatoires et former fortuitement des centaines d’alignements.

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Image ci-dessus : 80 alignements avec 4 points à partir de 137 points aléatoires.

 

Leylines

Ci-dessus : 607 alignements avec 4 points à partir de 269 points aléatoires.

Les alignements topographiques de sites n’ont rien de miraculeux ni rien de mystique. Ces alignements peuvent avoir le hasard comme cause. Ou même la volonté humaine comme cause, les bâtisseurs pouvant décider sciemment de créer des alignements voulus.

 

D’après mes propres recherches, il semblerait que la probabilité optimale d’obtenir un alignement de 3 points avec 3 points aléatoires avec une précision de l’ordre du millimètre au sein d’un carré de 1 mètre de côté serait égale à (0,001 pi / 3) × 3 × 2 = 0,0063, soit 0,63%.

Selon moi, il faut au moins 10 à 11 points aléatoires (avec une précision au mm près pour la position de chaque point) sur un carré de 1 m de côté pour que l’on rencontre au moins un alignement fortuit de 3 points à coup sûr.

 

© 2014 John Philip C. Manson

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