Jeux de grattage et probabilités

J’ai observé que les jeux de grattage sont très populaires en France. On gratte un ticket dans l’espoir de gagner de l’argent, et quand on perd on retente sa chance…

Pourtant, il suffit d’examiner le ticket au dos pour estimer nos chances de gagner… ou de perdre. Il y est détaillé le nombre de lots par type de gain sur un échantillon de 2 millions de tickets.

Tout d’abord, j’ai réalisé une simulation informatique, en voici l’algorithme :

  • Achat d’un ticket (3 euros)
  • Probabilité de 78,2% de perdre (donc aucun gain)
  • Probabilité de 1/7 de gagner 6 euros (mais on aura aussi perdu 3 euros à l’achat, soit un gain réel de 3 euros)
  • Probabilité de 1/20 de gagner 9 euros (gain réel = 9 – 3 = 6 euros)
  • Probabilité de 1/73 de gagner 20 euros (gain réel = 20 – 3 = 17 euros)
  • Probabilité de 1/157 de gagner 40 euros (gain réel = 40 – 3 = 37 euros)
  • Probabilité de 1/1170 de gagner 100 euros (gain réel = 100 – 3 = 97 euros)
  • Probabilité de 1/250000 de gagner 1 000 euros (gain réel = 1000 – 3 = 997 euros)
  • Probabilité de 1 sur 1 million de gagner 30 000 euros (gain réel = 999 997 euros)
  • On calcule le coût et le gain pour le ticket testé
  • On recommence en rachetant un autre ticket et ainsi de suite…

Sur 20 calculs, la simulation informatique montre qu’en moyenne la perte d’argent est significativement plus grande que les gains reçus : 1,3 à 1,5 million d’euros perdus en moyenne (malgré compensation par tous les gains obtenus) avant de tomber enfin une fois sur le ticket offrant les 30 000 euros.

Plus concrètement avec un calcul direct : si on parvient à obtenir enfin le ticket gagnant de 30 000 euros, il aura fallu acheter en moyenne 1 million de tickets pour un coût total de 3 millions d’euros, et on aura gagné 1 530 000 euros en moyenne pour l’ensemble des gains probables, mais globalement les dépenses engagées sont significativement supérieures aux gains reçus : en moyenne on possédera finalement 1 470 000 euros de moins par rapport à avant d’avoir acheté et gratté 1 million de tickets…

En effet, supposons que vous ayez un capital de 3 millions d’euros, ou pire encore : supposons que vous ayez obtenu un prêt bancaire de 3 millions d’euros (que vous devrez rembourser plus tard…). Vous vous dites qu’avec vos 3 millions d’euros mis en jeu pour gratter 1 million de tickets, vous finiriez par gagner plus en ayant gratté 1 million de tickets ? Grave erreur ! En moyenne, les gains sont équivalents à environ la moitié des dépenses : après avoir gratté 1 million de ticket, vous aurez gagné 1,53 million d’euros, mais vous aurez perdu les 3 millions d’euros engagés. Ainsi, vous vous retrouverez avec une perte (et une dette en cas d’emprunt impossible à rembourser) de 3 M – 1,53 M = 1,47 million d’euros… Les jeux d’argent, c’est un mauvais plan. Pour gagner de l’argent à coup sûr : il suffit de travailler… ou mieux : faire travailler les autres.

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Le présent article est une occasion pour montrer que les maths ne servent pas à rien, elles sont utiles.

© 2014 John Philip C. Manson

 

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