Tangente d’une fonction

Je suis pleinement conscient que le calcul de la tangente d’une fonction est un problème récurrent chez les lycéens, j’y ai été moi-même confronté, et à l’époque je ne savais pas comment faire. Nul besoin d’apprendre des cours par cœur, il faut juste savoir dériver une fonction et apprendre à observer attentivement un repère quadrillé (axe des abscisses et axe des ordonnées).

Si je parle de ce sujet ce soir, c’est parce que j’ai aperçu une requête de recherche dans les logs de mon blog. Ainsi, j’ai pu voir cette question naïve :

Comment calculer une tangente d'une courbe sans avoir la fonction ?

Franchement, par exemple, avez-vous déjà essayé de calculer sans utiliser les nombres ?… Ah ah ah.  🙂

L’équation de la tangente sous forme algébrique est :    g(x) = f'(x0).x + f(x0) – f'(x0).x0 avec f(x) la fonction, et f'(x) sa dérivée, et (x0;f(x0)) le point auquel il faut y calculer la tangente. Sans fonction, pas de dérivée de fonction, donc pas d’équation de la tangente. De plus, il faut connaître le point de la fonction sur lequel l’on doit calculer la tangente car l’équation de la tangente varie selon l’endroit du point de la courbe.

 

  • Exemple avec la fonction f(x) = x² – x – 1
  • La dérivée de f(x) est f'(x) = dy/dx = 2x – 1
  • Je choisis x0 = 1,618033989 (c’est le nombre d’or) tel que x0 (x indice zéro) est situé sur l’axe des abscisses (donc y0 = f(x0) = 0). On peut choisir toute autre valeur de x0.
  • Description : Le coefficient directeur qui définit la pente de la tangente est déterminé par la dérivée de f(x) selon l’emplacement du point où passe la droite. Ce coefficient directeur vaut dy/dx. Ensuite, on détermine la valeur d’un point sur l’axe des ordonnées de façon à ce que la tangente passe bien par (x0,y0). Le point sur l’axe des ordonnées vaut B tel que la tangente g(x) est de la forme g(x) = A.x + B, où A = dy/dx = coefficient directeur de f(x).
  • Alors g(x) = (2x0 – 1)x + (x0² – x0 – 1) – x0(2x0 – 1) : cette tangente ne vaut que pour la fonction f(x) étudiée ici.
  • On réduit g(x) et on trouve g(x) = (x – x0)5
  • On continue :  g(x) = x5 – (5 + 5)/2
  • Et on trouve :  g(x) = x5 – x0 – 2     en sachant que x0 = (1 + 5)/2 = 1,618033989 = constante.
  • On constate que la tangente est croissante aux coordonnées du point (x0 ; 0).

 

En vérifiant sur WolframAlpha, on trouve pareil :

wolftan

 

 

Les maths, il n’y a pas de secret, la réflexion est bien plus déterminante et productive que des formules apprises par cœur.

 

© 2014 John Philip C. Manson

 

 

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