Des propriétés avec les décimales du nombre pi ?

J’ai vu quelqu’un qui s’étonne du fait que la somme des 20 premiers chiffres du nombre PI (en base décimale)  soit égale à 100. Cet émerveillement peut paraître naïf, mais il soulève cependant un questionnement scientifique intéressant.

Alors, est-ce que la somme des 20 premiers chiffres du nombre PI a une propriété extraordinaire ? Un chiffre rond comme résultat peut paraître être une étonnante propriété.

Le meilleur témoin dans une comparaison statistique, c’est le hasard. Avec l’informatique, le hasard peut être testé grâce aux algorithmes.

J’ai conçu un programme qui fait des sommes avec 20 chiffres aléatoires.

Voici le code source :

#!/usr/bin/perl
# Proba que somme des 20 premiers chiffres en base decimale soit egale a X

$lim = 10000;
for ($x = 0; $x <= 200; $x++)
{
$proba = 0;
for ($essai = 1; $essai <= $lim; $essai++)
{
$somme = 0;
for ($chiffres = 1; $chiffres <= 20; $chiffres++)
{
$somme = $somme + int(rand(10));
}
if ($somme == $x)
{
$proba++;
}
}
print « Probabilité pour que la somme des 20 premiers chiffres (base 10) \nsoit égale à $x : $proba sur $lim.\n »;
}

La probabilité pour que la somme des 20 premiers chiffres aléatoires (en base décimale) soit égale à 100 est d’environ 2,3%. Avec l’exemple du nombre PI, un tel résultat n’est pas vraiment curieux comme propriété mathématique.

Ce qui est même plus probable, c’est que la somme soit égale à une grandeur comprise entre 80 et 92, valeur de somme légèrement plus probable (de 3% à 5%) que celle de la somme égale à 100 (de 2% à 3%).

Supposons ensuite qu’un mathématicien dispose de 3 nombres transcendants obtenus au hasard : la probabilité pour que chacun de ces 3 nombres transcendants ait une somme des 20 décimales égal à 100 est d’environ 1 sur 82190. Probabilité faible, mais non nulle, donc suffisamment grande pour écarter la rareté extrême prétendue de ladite propriété. Le nombre PI ne fait donc pas exception à cette particularité, d’autres nombres (transcendants ou irrationnels) peuvent avoir leurs 20 premiers chiffres dont la somme vaut 100. Parmi 43 ou 44 nombres irrationnels ou transcendants, on en trouve 1 qui ait cette même propriété que le nombre PI.

 

Cependant, comme il est question ici des 20 premiers chiffres d’un nombre irrationnel ou transcendant, la quantité de nombres qui aient la même propriété que le nombre PI est finie.

J’estime qu’il existerait environ 2,3×10¹⁷ nombres ayant ladite propriété (la somme des 20 premiers chiffres qui est égale à 100). Cette valeur est relativement proche de celle du nombre de permutations possibles des 20 chiffres composants ces nombres (20! = 2,4329×10¹⁸).

 

© John Philip C. Manson

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