Probabilités et applications

Un peu de maths aujourd’hui. Désolé pour la migraine que je vous inflige.  😉

La loi binomiale est un outil intéressant. Dans les cours de maths, je comprends l’ennui des élèves lorsque la leçon manque d’imagination et de créativité. En effet, les cours sur les probabilités font souvent références à un tirage aléatoire de boules colorées.

Pour éveiller l’intérêt et l’éveil des élèves envers les maths, il faut montrer les maths sous une forme attractive, non pas en versant dans la science fiction ou la science fictive, mais par des exemples concrets et compréhensibles.

Que peut-on découvrir au moyen de la loi binomiale ?

Voici l’exemple n° 1 :

Des psychologues, fatigués à examiner les boyaux de la tête de leurs patients, décident de faire une pause, et décident donc de réaliser une expérience statistique.

Les psychologues observent que le taux général de surdoués dans la population en âge scolaire est de 2%. Ensuite, sur la base d’un échantillon de 25 élèves qui composent une classe, ils déterminent que, pour un taux de P de surdouance chez les jeunes (on a dit 2%, soit 0,02), on a la probabilité T pour qu’il y ait K élèves surdoués dans la classe composée de N élèves. Cette loi probabiliste est valable si la distribution est aléatoire (donc naturelle, quand les surdoués ne sont pas dépistés par exemple), et cette loi binomiale n’est pas pertinente quand les élèves surdoués ont été placés en classe délibérément par la direction de l’école (car les données deviendraient faussées et biaisées).

Loi binomiale :      T = [N!/(K!(N – K)!)] × P^K × (1 – P)^(N – K)

  • Le cas de l’absence de surdoués dans la classe de 25 élèves est de probabilité 0,603 (soit 60,3%).
  • La présence d’un seul surdoué dans la classe de 25 élèves est de probabilité 0,308 (soit 30,8%).
  • La présence de 2 surdoués dans la classe de 25 élèves est de probabilité 0,075 (soit 7,5%).
  • La présence de 3 surdoués dans la classe de 25 élèves est de probabilité 0,018 (soit 1,18%).
  • Si la classe de 25 élèves est composée (heureux hasard !) de 25 surdoués, cela est de probabilité 0,000000000000000000000000000000000000000000335 (c’est-à-dire 3,35×10⁻⁴² , soit très proche de 0%). Autrement dit, la probabilité est nulle, l’événement est impossible.

Exemple n°2 :

Supposons que chacune des prédictions météo ait une fiabilité de 60%. Est-il possible d’avoir 7 prédictions journalières exactes pour les 7 prochaines jours ? Est-il possible que toutes les prédictions des 7 prochains jours soient fausses ?

  • Réussir les 7 prédictions météo de la semaine prochaine, c’est probable à 2,8%.
  • Échouer toutes les prédictions météo de la semaine prochaine, c’est probable à 1,6 pour mille.

Qu’obtiendrait-on comme résultats en jouant à pile ou face plutôt qu’à utiliser des instruments de météorologie ?  😉 Environ 8 chances sur mille de faire des prédictions exactes à 7 jours (au hasard, sans instruments météorologiques), et autant (~8/1000) pour échouer complètement les prédictions à 7 jours. On ne peut donc pas prédire (au hasard ou avec instrumentation scientifique) de façon absolument certaine, et en même temps on ne peut pas tout échouer, ainsi les réussites et les échecs sont nuancés. C’est pour cela que les astrologues et les voyantes ont du succès : parfois ça marche (grâce au hasard), mais rarement l’on réussit totalement comme l’on ne peut pas totalement foirer, car il est rarement probable de tout réussir comme de tout échouer. Le hasard n’implique donc pas 100% d’échec, car des succès moyens, mitigés, nuancés (donc des demi-réussites qui sont rarement totalement absentes) sont fréquemment des biais statistiques qui laisse croire à tort qu’il existe des pouvoirs occultes…

Exemple n°3 avec la loi de Poisson :

En explorant plus loin, avec la loi de Poisson qui, elle aussi, peut être intéressante, j’ai pu déterminer sur la base d’un taux moyen de 1,66 scan par heure du port HTTP sur un ordinateur cible par des pirates informatiques du monde entier (oui, les pirates scannent des IP au hasard), qu’il est rigoureusement impossible statistiquement (et aléatoirement) que toutes les IP du réseau mondial viennent soudain scanner la machine ciblée en une heure. Mais que si l’événement se produisait quand même malgré tout, cela signifie qu’il n’aura pas du tout été aléatoire, mais pleinement intentionnel.

Exemple de scans reçus, via un serveur web honeypot :

honeypot

Comme on l’a vu, avec la loi binomiale et avec la loi de Poisson, on peut trouver des exemples assez intéressants. À vous aussi d’imaginer d’autres exemples qui pourraient favoriser à éveiller l’intérêt des lycéens pour les mathématiques.  😉

Exemple n°4 avec les gains multiples au Loto :

On joue au Loto avec 7 grilles (N), ci-dessous les probabilités respectives en fonction du nombre (K) de grilles gagnantes (chacune avec 6 numéros exacts).

Loto-chancedecocu

Ce n’est pas une surprise : les chances de perdre (aucune grille gagnante) sont très élevées.

Plus le nombre de grilles gagnantes est grand, moins cela est probable que ledit événement survienne.

Si on joue 7 grilles de Loto pour 7 tirages et que ces 7 grilles soient gagnantes, la probabilité pour que cela arrive est de 1 chance sur 9,944019051×10⁴⁹. C’est-à-dire, sous forme littérale : une chance sur 9 944 019 051 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Oui, une chance sur 9944 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards !

Oui mais quid des gains plus petits ? La probabilité est de 1/61 d’avoir 3 bons numéros au lieu de 6 bons numéros (voir le livre Quid 2006, page 1419b). Ainsi, si on joue 36 grilles, on a un peu plus d’une chance sur 2 (55%) de perdre à toutes les 36 grilles, et on a environ une chance sur 3 de gagner une seule grille (sur les 36) avec 3 numéros gagnants. Enfin, il y a environ 12% de chances de gagner au moins 2 grilles (ou plus) avec 3 numéros gagnants par grille. De plus, avec 36 grilles, on a théoriquement plus de chances de gagner jusqu’à 7 grilles gagnantes (avec 3 n° gagnants par grille) que de gagner avec une seule grille avec 6 n° gagnants.

Exemple n°5 :

Cas insolite : http://www.insolite.ca/2013/08/09/toujours-pas-de-fille-apres-12-enfants/

Un couple engendre une fratrie de 12 enfants du même sexe. Fatalité ? Rareté ?

La loi binomiale montre que la probabilité d’avoir 12 enfants du même sexe (garçons ou filles) si l’on a 12 enfants est de (1/2)¹² = 1 / 4096.

Ce n’est pas rare en soi, mais comme les familles de 12 enfants ne sont pas si nombreuses, cela rend le phénomène plus marginal.

Les heureux parents peuvent continuer de procréer, ils ne peuvent pas indéfiniment engendrer uniquement des garçons. Au-delà du 23e enfant né, ils auront moins de chances d’avoir encore un garçon en comparaison d’un gagnant du Loto (49 boules) avec 6 bons numéros (1 chance sur 13 983 816).

Mes arguments ne valent que si le phénomène est dû au hasard. Il existe cependant des cas particuliers (génétiques peut-être) où l’homme ne peut engendrer qu’un seul sexe, et auquel on n’y peut rien. Je cite : «Les statistiques signalent aussi que 6% des hommes n’ont qu’une seule sorte de spermatozoïdes donc ne peuvent engendrer qu’un seul sexe». Mais je crois que dans ce cas, il y a prédominance de naissances de filles et non de garçons. Mais l’info d’origine est à vérifier, je pense avoir lu ça dans le livre Quid 2006.

 

Exemple n°6 :

 

En examinant un relevé d’abonnement téléphonique (téléphonie mobile) avec les détails des appels, j’ai établi un graphe (histogrammes) présentant une fonction : le nombre d’appels en fonction de la durée par appel. À partir de la moyenne (1,78 minute par appel), j’ai constaté que la fonction suivait remarquablement bien la loi de Poisson dans l’intervalle de 2 minutes par appel à 6 minutes par appel, cet intervalle montrant que ces durées était le fait du hasard. En revanche, pour une durée d’au moins de 6 minutes par appel (jusqu’à 14 minutes par appel), j’ai pu conclure que cet événement n’était pas dû au hasard, puisque cela s’éloignait de la loi de Poisson.

 

Cela change des cours de probabilités sur les boules rouges, bleues et vertes tirées au sort, hein ?  :p

Un autre exemple à méditer : sachant qu’avant les droits de l’Homme et avant les lois favorables au mariage gay, les homosexuels devaient malheureusement se cacher, nombreux ceux qui s’affichaient souvent comme des hétérosexuels pour ne pas être inquiétés par les «normes» sociales et les autorités de l’époque… (à lire : https://jpcmanson.wordpress.com/2012/06/23/centenaire-de-la-naissance-dalan-turing/) De nos jours, encore trop de pays intolérants et obscurantistes classent l’homosexualité comme passible de la peine de mort… 😦 Ce dont je veux en venir, et pour évoquer le rapport que cela peut avoir les maths, c’est que chacun de nous a au moins un ancêtre homosexuel. Pour moi, cela ne pose aucun problème, je suis gay-friendly. 🙂  Avoir au moins un ancêtre gay (père, grand-père, mère, grand-mère, arrières-grands-parents, et autres ascendants directs) lors des 500 dernières années est une certitude. Oui je sous-entends que même les homophobes ont un ancêtre homosexuel, car c’est la vérité.

Faites le calcul : P = 1% à 5% de personnes homosexuelles, puis 500 ans en arrière ça fait environ 20 générations qui précèdent chacun (soient environ N = 2097150 ancêtres par personne). Ensuite, on calcule la probabilité qu’il n’y ait aucun ancêtre gay, avec la loi binomiale (cette probabilité est égale à (1 – P)^N quand on a fixé K = 0. alors la probabilité de ne pas avoir d’ancêtre gay sur les 20 dernières générations est de comprise entre 0,95^2097150 et 0,99^2097150, soient respectivement 10 puissance moins 46717 et 10 puissance moins 9154.

Par conséquent, la probabilité d’avoir au moins 1 ancêtre gay (1 au minimum) sur les 20 dernières générations (sur environ 500 ans) est égale à 1 – (1 – P)^N, ce qui frôle la probabilité 1 (donc 100%) de très près.    😉

Le même genre de calcul peut prouver aussi que nous sommes tous métis, d’une façon ou d’une autre, à travers le brassage des gènes (cf. la génétique des populations). Le concept de «race pure», que je ne cautionne absolument pas et que je rejette, est une imposture et une mystification idéologique qui ne repose sur aucune réalité.

Les maths peuvent contribuer à rendre les gens tolérants et réalistes.  🙂

À lire sur le web :  http://fr.openclassrooms.com/sciences/cours/nous-descendons-tous-de-gengis-khan

© 2013 John Philip C. Manson

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