Résolution d’un exercice de mathématiques

Voici l’image de l’énoncé :

exercice-voile

Je crois que c’est de niveau Seconde.

Donc, pour résumer, on a une voile en forme de triangle rectangle, sur laquelle il faut coller un rectangle rouge de façon à ce que ce rectangle rouge ait la surface maximale.

Comment ça marche ? Hé bien je vais vous le dire.

Le triangle ABC a une aire constante, elle vaut 8 × 5 / 2 = 20 m².

Ensuite, l’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires de ses différents contenus : le rectangle rouge MNAP et deux petits triangles rectangles CNM et MPB.

Je pose x = AN et y = AP.

AC×AB/2 = x.y + (y/2)(AC – x) + (x/2)(AB – y)

Je pose S = x.y = aire du rectangle rouge.

En remplaçant les côtés par leur valeur connue, je trouve ceci :

  • S = -(5/8)(x² – 8x) = -5x²/8 + 5x

sachant qu’entre-temps j’ai remplacé ‘y’ par S/x.

On a donc l’expression de l’aire S en fonction du côté x. La fonction S(x) est une parabole.

S(x) ci-dessous :

fonction-SdeX

Maintenant, pour trouver l’aire maximale, il faut calculer x tel que la dérivée dS/dx = 0.

C’est normal : quand on s’amuse à faire varier x et y, l’aire S change, elle augmente ou diminue. Quand l’aire est maximum, c’est quand la dérivée est nulle.

En dérivant la fonction S(x), je trouve dS/dx =  -10x/8 + 5 = -5x/4 + 5 = 5(-x/4 + 1) = 0

  • Solution :   x = 4 mètres.
  • Dans la fonction S(x), je remplace x par sa valeur maintenant connue, je trouve alors S = 10 mètres carrés. C’est l’aire maximale.
  •  y = S/x = 10/4 = 5/2 = 2,5 mètres.

 

Vérification :      10 + 2,5(8 − 4)/2 + 4(5 − 2,5)/2 = 20

C’est bien ça.

Remarque intéressante dans le cas où le rectangle MNAP a une aire maximum : AN = NC et AP = PB.

 

 

© 2013 John Philip C. Manson

 

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