Les défis mathématiques du Monde : le cube tranché

Le but est de trouver une figure pentagonale à partir d’un plan qui coupe un cube. Et de justifier le résultat.

  • Pour ceux qui sont en train de chercher par eux-mêmes et qui ne veulent pas voir tout de suite une réponse partielle, revenez plus tard. 😉
  • Pour ceux qui s’arrachent les cheveux comme moi, et qui veulent une piste pour être soulagés, vous pouvez continuer à lire ici.
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  • On a vu dans la vidéo qu’il est possible d’obtenir un triangle équilatéral, ça marche aussi pour les triangles quelconques.

Voici mon image :

triangle

  • Pour obtenir un triangle équilatéral IJK de sommet F, il faut que IJ = JK = KI. C’est possible.
  • Pour obtenir un carré, c’est très simple, il suffit que le plan qui coupe le cube soit parallèle à 8 arêtes du cube. Si on veut obtenir un rectangle, le plan devra être incliné selon un axe perpendiculaire au mouvement d’inclinaison.
  • Pour avoir un pentagone, oulalala, j’ai cogité, dessiné des schémas, ça prend quand même un long moment. Chercher n’est pas vain, car il est possible de tracer un pentagone à partir des intersections entre le plan et le cube.

Voici mon image :

pentagone

Il y a 3 des 5 sommets du pentagone sont sur 3 arêtes du cube. Il y a deux sommets du pentagone hors des arêtes mais qui sont chacun sur une face carrée du cube.

Remarque tardive du 29/10/2014 : KJ et IJ ci-dessus dans le schéma sont plus courts chacun que LM, et de plus on peut constater que KLM et LMI et JKL forment chacun un angle droit (90°) alors que les 5 angles internes d’un vrai pentagone valent chacun 72°. Il se peut qu’il ne soit pas possible de construire un pentagone régulier dans un cube. A moins que je me trompe, après tout…

 

  • Pour aller plus loin (les maths excitent la curiosité), on peut construire un hexagone avec le plan qui coupe le cube.

Voici mon image :

hexagone

On voit que les 6 sommets de l’hexagone sont sur 6 arêtes du cube. On a vu que, du triangle à l’hexagone, les sommets des polygones sont placés sur autant d’arêtes du cube. A priori, comme il existe 12 arêtes pour le cube, nous pourrions peut-être construire jusqu’au dodécagone, en passant entre-temps par l’heptagone, l’octagone, le nonagone, le décagone et l’undécagone ? J’y réfléchis encore…

Pour mener les recherches de polygones, par exemple l’hexagone, on établit des égalités, basées sur le théorème de Pythagore (entre autres) :

(voir les points de la figure juste au-dessus)

  • PK² = PG² + GK²
  • PM² = HP² + HM²
  • PM = PK
  • HG = GF
  • donc PG² + GK² = HP² + HM²

Pour aller plus loin, on construit un repère orthonormé où l’on place les sommets du cube, puis avec une équation du plan on teste l’inclinaison de façon à ce que les sommets d’un polygone s’inscrivent sur les arêtes du cube de façon à correspond aux égalités énoncées ci-dessus.

Complément du 29/10/2014 :

Dans le cas d’un hexagone régulier inscrit dans un cube de côté 2, je positionne les points de la dernière image ci-dessus selon ces coordonnées :

I (0;1;0)

J (1;2;0)

N (2;2;1)

K (2;1;2)

P (0;0;1)

M (0;0;1)

Le centre du cube : (1;1;1)

La longueur de chaque côté de l’hexagone vaut la racine carrée de 2. Même longueur pour la distance entre chaque point de l’hexagone et le centre de l’hexagone.

 

 

© 2013-2014 John Philip C. Manson

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