Les défis mathématiques du Monde : les palindromes

Au cours de la nuit dernière, je tombe sur une vidéo de Dailymotion dans laquelle le grand mathématicien Cédric Villani présente la définition d’un palindrome, et nous invite à trouver la quantité de palindromes à 351 chiffres (en base décimale), et à déterminer l’écart minimal entre deux palindromes à 351 chiffres.

Les défis mathématiques du Monde, épisode 1… par lemondefr

Ce 22 mars 2013, il est 10 heures au moment où j’écris. Dès mon retour sur le web, j’étais sur le point de réfléchir et d’écrire un article pour présenter mes propres calculs, mais je constate qu’un internaute a été plus rapide que moi, et celui-ci a publié son résultat dans son blog.

Voici le lien de sa démonstration : http://guitarizon.over-blog.com/article-les-defis-du-monde-palindromes-reponse-et-correction-cedric-villani-116409907.html

Dans ce lien, l’auteur a suivi le même raisonnement que moi. Un palindrome à 351 chiffres peut s’analyser comme étant en 3 parties. Et 351 est impair. Le palindrome a donc un chiffre central qui se place symétriquement entre les deux parties longues placées en miroir entre elles.

Exemple avec un nombre palindrome à 5 chiffres :    12321.  Le chiffre central est 3, et les deux parties en miroir sont 12 et 21.

Donc pour un palindrome à 5 chiffres, il y a un chiffre central intercalaire, et un nombre à deux chiffres placé en deux exemplaires en miroir de chaque côté du chiffre central. Donc avec 12 et 21, on voit que le nombre de palindromes à 5 chiffres est égal à 99 × 10 = 990.

Pour les palindromes à 5 chiffres :  n = 5, et Q = nombre de palindromes à n chiffres.

Q = (10^((n-1)/2) – 1) × 10. Cette équation vaut pour tous les palindromes à n chiffres, où ‘n’ est strictement impair.

Donc pour n = 351, je vais vérifier le calcul du blogueur Guitarizon ayant présenté sa démonstration avant la mienne.

Q = (10^175 – 1) × 10 = 10^176 – 10

Littéralement : dix puissance cent soixante-seize, auquel on retranche dix.

Plus précisément, je trouve 9,999999…×10^175. Le dernier chiffre est un zéro.

Plus direct, j’écris le nombre de palindromes à 351 chiffres avec tous les chiffres en intégralité :
99 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 990.
Le blogueur Guitarizon affirme qu’il y a 9×10^175 palindromes à 351 chiffres en base décimale. Quelques minutes plus tôt, je m’attendais à trouver la même conclusion que lui, mais je trouve 9,9999999…99999×10^175 palindromes à 351 chiffres, le dernier chiffre étant un zéro. Mon résultat présente donc une valeur presque 10 fois supérieure à celle de Guitarizon.

Guitarizon et moi sommes dans le même ordre de grandeur. Qui est dans l’erreur ?

Je vais écrire un programme informatique en langage Perl, afin de calculer informatiquement de façon sûre le nombre de palindromes pour n > 5. Je vais ensuite comparer le résultat avec mon équation. Je saurai si je me suis trompé. Je rééditerai mon présent article d’ici quelques heures. 😉

  • Réédition à 11h40 : au moment de l’écriture du programme en langage Perl, je me suis aperçu que le premier et le dernier chiffre sont identiques et doivent nécessairement être supérieur à 0, contrairement aux autres chiffres composant le palindrome (chaque chiffre étant compris dans l’intervalle [0;9]). Cette remarque va donc diminuer la valeur de mon résultat exposé ci-dessus. Le moment est venu d’exécuter le programme. Les résultats ne devraient pas tarder pour n = 5.
  • Réédition à 11h45 : il existe 900 palindromes à 5 chiffres (dans la base décimale). La liste complète de ces palindromes à 5 chiffres a été générée par mon programme Perl. Par conséquent, l’équation Q(n) devra comporter une soustraction. Le programme Perl va maintenant être modifié pour n = 7.
  • Réédition à 11h55 : il existe 9000 palindromes à 7 chiffres (en base décimale). Intéressant. On dirait que l’équation exacte serait Q = 9×10^((n – 1)/2). Donc mon hypothèse la plus récente devient la suivante : pour n = 351, alors Q = 9×10^175. Ce résultat confirme le calcul du blogueur Guitarizon. J’ai compris mon erreur : le premier chiffre d’un palindrome (de même que le dernier chiffre) n’est pas un zéro, mais entre 1 et 9.
  • Réédition à 12h15 : pour un palindrome à 7 chiffres en base décimale, l’écart minimum vaut 1000 et l’écart maximum vaut 1100. Ainsi, je suppose que l’écart s’exprime selon l’égalité suivante : E = 10^((n – 1)/2), tel que Q = 9×E. Donc l’écart minimum entre deux palindromes à 351 chiffres chacun serait de 10^175. Et ce résultat confirme celui de Guitarizon.

Bilan : nous sommes finalement d’accord.  🙂

© 2013 John Philip C. Manson

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