La clé des mathématiques

  • Créé le 2 novembre 2011 dans mon premier blog désormais disparu, cet article est restauré le 28 janvier 2013 ici.

Ce n’est pas parce que l’on n’est pas doué en maths que cela signifie que l’on n’aime pas les maths. Ayant été toujours un élève attentif, il m’est souvent arrivé d’avoir des problèmes de compréhension des mathématiques. Pour ainsi dire, j’étais médiocre à l’école primaire en maths, notamment pour faire une division à la main.

Ce n’est pas par manque d’intérêt mais à cause de la façon dont les maths sont enseignées. Après le bac, à l’université, il faut l’avouer, les maths c’est bien pire qu’au lycée.

Produire de bons résultats en maths est une mécanique liée à l’application de formules apprises en cours, mais calculer n’est pas comprendre. C’est une mécanique infernale qui, quand elle tombe sur un grain de sable, finit par bloquer. La vraie difficulté des maths est un problème profond lié à son enseignement, on ne voit que la partie émergée de l’iceberg. En effet : comment mesure t-on la compréhension des élèves en classe de maths ? En vérifiant qu’ils trouvent le bon résultat à un exercice. Mais pas en évaluant la compréhension de l’essence des maths.

Nous pourrions mettre en évidence ce problème réel avec un exemple anecdotique (l’âge du capitaine), d’après un texte de Gustave Flaubert :

  • « Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème : Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d’avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle Nord-Nord-Est, l’horloge marque trois heures un quart d’après-midi, on est au mois de mai… On demande de calculer l’âge du capitaine. » 

Il suffit d’appliquer ce test à une classe de CM2 et à une classe de Terminale pour se convaincre qu’il existe un problème de compréhension des maths. On peut donner ce test pour évaluer nos propres enfants à la maison à l’heure de faire les devoirs. Plusieurs élèves auront donné une solution alors qu’il n’y en a pas… Parce qu’il n’y a pas de lien de causalité entre les données et le résultat demandé. Il faut absolument se méfier des pseudo-savoirs intuitifs.

Dans l’enseignement quotidien, à aucun moment il ne viendrait à l’idée d’un prof de maths, ou d’un chercheur en pédagogie, de demander à un élève : « Oui, tu as trouvé le bon résultat… mais que signifie ce résultat ? »

Ce problème existe au collège et au lycée, et même en math sup ou math spé – où les étudiants n’ont même pas conscience du lien entre une dérivée et une tangente… Mais ils trouvent quand même les bons résultats aux équations différentielles. Ahurissant, non ? Évidemment à ce niveau, on ne dira jamais que ces étudiants sont en difficultés mathématiques… Je parle en connaissance de cause : au lycée, je savais très bien calculer une dérivée mais je ne savais pas à quoi cela pouvait servir.

Appliquer des formules ne suffit pas. Les maths doivent nécessairement conduire à des raisonnements, à un argumentaire. Qui sait retranscrire de façon littéraire le langage mathématique, en détaillant à plat, mot à mot, les subtilités ? La plupart des élèves posent des chiffres et des notations mathématiques sans écrire de texte qui explique leur raisonnement.

Le problème de base dans la compréhension des maths, c’est de faire connaître des définitions. Dire qu’une fonction est dérivable parce que (f(b) — f(a)) / (b — a) c’est seulement braire des formules prédigérées, mais ça n’est pas exprimer un raisonnement.

Ce que j’essaie d’expliquer, c’est que les profs de maths devraient illustrer chaque cours par des exemples concrets.

Par exemple, il y a un an sur Yahoo QR, j’ai eu l’occasion de répondre à une question «Qu’est ce qu’une fonction dérivée concrètement ?» et j’ai répondu en donnant un exemple, j’ai carrément fait un cours dessus. Je reproduis cette anecdote ci-dessous :

Le principal défaut de quelques profs de maths est de balancer des équations sans même les expliquer en détail. Cette mésaventure en tant qu’élève m’est arrivée au lycée. La source de confusion la plus fréquente en maths (et dans les sciences) ce sont les lacunes dans les définitions. Par exemple, ce n’est que relativement tardivement que j’ai compris l’enjeu de la nécessité des critères épistémologiques (dont celui de la réfutabilité) qui sont le fondement de la démarche scientifique. Cette mésaventure m’a également concerné dans les dérivées en maths. On savait tous calculer les dérivées mais on ignorait à quoi ça servait. Après, il ne faut pas s’étonner que les jeunes ne s’intéressent pas aux sciences. Des maths trop abstraites et absconses, mal présentées, prennent une apparence proche (à tort) du mysticisme de la numérologie, et ça peut conduire à un abandon injuste par les élèves. Mais les maths valent la peine d’être apprises car c’est un domaine passionnant quand il est bien compris.

La dérivée d’une fonction décrit la pente positive ou négative d’une fonction.

Je vais prendre l’exemple de la parabole du mouvement de chute libre avec une vitesse initiale qui s’oppose à la gravitation. L’axe des abscisses sera l’axe du temps t, l’axe des ordonnées sera la hauteur z en fonction de t. La fonction d’un corps qui s’oppose à la pesanteur avec une vitesse v depuis z(0) = 0 avec une vitesse initiale donnée sera la suivante : z(t) = v*t — (1/2) g*t²

Avec t le temps, g = accélération de la pesanteur terrestre, v la vitesse initiale.

On le voit, c’est une fonction parabolique qui décrit une courbe. En examinant la fonction, la parabole atteint une altitude maximum h au bout d’un temps tx.

La dérivée de la fonction est dz/dt = v — g*t
Les lycéens peuvent la calculer facilement, mais souvent il peut arriver qu’ils ne savent pas à quoi ça sert.

La dérivée est nulle dz/dt = 0 lorsque la fonction z(t) a une pente nulle (endroit du point où la tangente est parallèle à l’axe t), Ce point correspond à l’altitude maximale dans notre cas concret.

Comment calculer h = z(tx) grâce à notre dérivée ? La notation x indique un indice pour un t qui désigne le temps auquel l’altitude z est maximale.

Puisque dz/dt = v — g*tx = 0

Alors v = g*tx et donc tx = v/g

Puisque h = z(tx) = v*tx — (1/2) g*tx²
alors h = v*(v/g) — (1/2) g * v²/g²

h = v²/g — (1/2) v²/g

h = v²/g (1 — 1/2) = (1/2) v²/g

On a ainsi pu calculer l’altitude maximale atteinte par un projectile tiré verticalement, en fonction de sa vitesse et de g, en éliminant t. Et ceci grâce au calcul de la dérivée.

Une petite précision : la dérivée est positive lorsque le projectile n’a pas encore atteint son altitude maximale, puis négative après cette étape.

Sources :

Mécanique

Je trouve que c’est important de présenter une explication simple et claire sous la forme littéraire. Si un matheux sait calculer des dérivées mais sans savoir les expliquer simplement, c’est un robot. Certaines réponses, pas forcément ici, me font penser à une visite de notre ami googlebot. :)

  • Il y a 1 an
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Évaluation du demandeur :
 
Commentaire du demandeur :
Merci beaucoup ! Je comprends enfin ! Pourtant ce n’est pas faute d’avoir posé la question à mon prof de Maths, qui nous répondait « c’est là où est le délicat des Maths, on ne peut pas dire concrètement que.. blablabla.. »

Il faut absolument réformer l’enseignement des sciences, surtout les maths, en France. Nous traversons une crise de la filière scientifique qui compte de moins en moins de vocations d’année en année…

La clé des maths n’est pas dans les résultats par des chiffres dans les exercices, c’est avant tout essentiellement la maîtrise du langage, c’est la clé de la compréhension. Ce qui manque dans les maths c’est la pédagogie. Croire que donner des formules sans les expliquer par des exemples concrets est avoir fait son travail, c’est faire une erreur dont les conséquences est le décrochage des jeunes envers les sciences.

«Pour la seule France, selon les statistiques 2011 du ministère de l’Éducation Nationale, la licence de sciences n’attire que 11% des bacheliers contre 24% en 1996 et 17% en 2002. Entre 2002 et 2009, le nombre d’étudiants en formation scientifique ou en ingénierie a décru de 5,9%, celui des étudiants en sciences fondamentales de 17%, celui des SVT de 9,4%.»   (P. Bruckner, dans «Le fanatisme de l’Apocalypse», p.172 et 173)

© 2011-2012-2013 John Philip C. Manson

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