Géométrie tridimensionnelle et coordonnées GPS

Je crée un nouvel article pour compléter ces deux autres articles sur le même thème :

Je me suis aperçu que l’outil en ligne Wolframalpha, bien que très intéressant, ne présente pas une précision satisfaisante des résultats.

Avec un peu de patience, j’ai réussi à construire une représentation en trois dimensions à partir de coordonnées GPS. En effet, il est possible de représenter des lieux géographiques par des points sur un globe terrestre, mais dans un repère cartésien (0,x,y,z).

À partir des arêtes et des diagonales d’un cube, et au moyen de vecteurs, j’ai appliqué les formules de la trigonométrie afin d’établir un lien entre les trois axes d’un espace avec les coordonnées GPS.

Il y a de cela quelques mois, j’avais produit une étude sur le nombre d’or et La Mecque, à partir de l’outil Wolframalpha, et à partir des rapports angulaires.

Aujourd’hui, j’ai développé un outil beaucoup plus fiable, en apportant des équations complètes.

Tout point géographique sur un globe terrestre (défini par sa longitude et sa latitude) peut être représenté dans un maillage quadrillé (un repère cartésien en 3D), avec 3 coordonnées spatiales : x, y, z.

Voici le système d’équations permettant de convertir la longitude et la latitude en coordonnées cartésiennes :

  • x = R × cos l × sin L
  • y = R × cos l × cos L
  • z = R × sin l

L = longitude

l = latitude

R = rayon terrestre = 6371 km (rayon de référence en sciences de la Terre)

Dans les calculs, l’unité de distance utilisée est le kilomètre.

Ensuite, voici les coordonnées GPS de la Kaaba, à La Mecque :

  • Longitude = 39,826222° E
  • Latitude = 21,42249° N

Les angles sont en degrés, ils sont convertis en radians, en multipliant les angles par le coefficient pi/180.

Voici donc, selon les 3 équations cartésiennes, la position de la Kaaba en 3D :

  • x = 3798,476
  • y = 4554,832
  • z = 2326,958

Pour entrer dans les détails, le centre de la Terre est en position (0; 0; 0). Le pôle Nord est en position (0; 0; 6371). Le pôle Sud, lui, est en position (0; 0; -6371).

Si on a le globe terrestre devant soi, avec le méridien de Greenwich (longitude zéro) face à soi, alors la Kaaba se situe à 2327 km au-dessus du plan équatorial, et à 4555 km de l’axe z et en direction de soi via l’axe y, et à 3798 km à droite de l’axe y.

Si la longitude et la latitude peuvent présenter une précision de l’ordre de 1 mètre avec les GPS actuels pour automobiles, il existe cependant une marge d’erreur due à la valeur du rayon terrestre lui-même. En effet, la Terre est légèrement aplatie aux pôles : le rayon terrestre équatorial est plus grand que le rayon terrestre polaire. Je tiendrai en compte la marge d’incertitude dans les calculs à un moment ultérieur. Pour le moment, j’utiliserai la valeur R = 6371 km.

Maintenant, on peut calculer la distance rectiligne (un vecteur) entre la Kaaba et les pôles terrestres.

J’attribue donc au pôle Sud les coordonnées suivantes : a = 0, b = 0, c = -6371. Pour la Kaaba, j’utilise la position (x,y,z) telle qu’elle est mentionnée plus haut.

Maintenant, les calculs se compliquent un peu :

La distance rectiligne D entre la Kaaba et le pôle Sud est telle que :  D² = (x – a)² + (y – b)² + (z – c)²

Mais ce qu’il faut trouver, ce n’est pas une distance rectiligne pareille à une droite qui passe sous l’écorce terrestre. Ce qu’il faut trouver c’est la distance géodésique, en suivant rigoureusement la courbure du globe terrestre, comme à vol d’oiseau.

L’angle A (en radians) entre deux points (la Kaaba et le pôle Sud) est exprimé ainsi :

A = 2 × arcsin (D / (2R))

La distance géodésique est G = A × R = 2 × R × arcsin (D / (2R))

J’ai calculé D et G pour deux points comme la cathédrale de Chartres et le site mégalithique de Stonehenge, auxquels je trouve A = 0,060525 rad = 3,4679° et G = 385,61 km.

En ce qui concerne la Kaaba et les pôles, voici les résultats :

  • Distance géodésique entre la Kaaba et le pôle nord : 7625,47 km.
  • Distance géodésique entre la Kaaba et le pôle sud : 12389,62 km.

Ainsi, le nombre d’or, selon certains partisans de miracles, serait égal à la division de la distance Kaaba-pôle sud par la distance Kaaba-pôle nord.

12389,62 / 7625,47 = 1,62477

Le résultat présente donc une coïncidence troublante avec le fameux nombre d’or, certes, mais ce n’est pas rigoureusement égal au nombre d’or. Avec R = 6371 km, le rapport présente une marge d’erreur d’environ 0,42%. Ce qui est quand même assez faible.

Ma conclusion est la même que les deux articles précédents et relatifs au même thème.

Qu’aurait-il fallu pour que la Kaaba soit exactement en une position géographique afin que le rapport soit exactement égal au nombre d’or ?

(12389.62 – x)/(7625.47 + x) = (1 + √5)/2

Je trouve x = 19,614 km

C’est-à-dire que pour que le rapport soit exactement égal au nombre d’or, il aurait fallu placer la Kaaba à un lieu qui se situe exactement à 19,614 km au sud du lieu actuel qui, lui, se localise trop au nord.

Ajout du 14 mars 2012 :

Un nouveau calcul plus rigoureux a été réalisé. La marge d’incertitude a été prise en compte enfin.

  • La distance entre la Kaaba et le pôle sud géographique est comprise entre 12393,34 et 12403,49 km.
  • La distance entre la Kaaba et le pôle nord géographique est comprise entre 7608,42 et 7634,01 km.
  • En conséquence, le rapport des distances est rigoureusement et certainement compris entre ces deux valeurs : 1,624767324 et 1,628897984.
  • Conclusion : même en prenant compte de la marge d’incertitude due au rayon terrestre et à la forme de géoïde de la Terre, on s’aperçoit que le fameux nombre d’or 1,618033988… n’est lui-même pas inclus dans l’intervalle.

© 2012 John Philip C. Manson

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