Comment calculer la tangente d’une fonction ?

Je fais un article de mathématiques à propos d’une question assez fréquemment posée dans les forums où beaucoup cherchent une aide désespérée en maths.

  • Comment calculer la tangente d’une fonction ? Comment calculer l’équation d’une droite qui passe par un point d’une courbe ?

Je l’avoue, quand j’étais au lycée, cela m’était très difficile d’y répondre. Mais j’ai fini par trouver. En fait il faut raisonner et être logique, sans même avoir besoin de lire un cours. Il faut juste savoir calculer une dérivée pour résoudre ce type de problème.

Soient a,b,c,d,e des nombres réels. Pour la courbe, on pose f(x) = ax²+bx+c. Sa dérivée est donc f’(x) = df(x)/dx = 2ax+b.

La tangente est une droite passant par un point précis de f(x). La tangente est donc de la forme g(x) = dx+e.

Maintenant on définit le point par lequel passe la courbe f(x) et par lequel passe aussi la tangente g(x). Le point P sera donc de coordonnées (u; f(u)).

Le coefficient directeur de la tangente (noté ‘d‘) est déterminé comme étant la dérivée f’(x) pour la valeur x = u, donc on calcule la dérivée f’(u). La hauteur de l’ordonnée (notée ‘e‘) pour x = 0 vaut f(0) et elle est donc égale à f(u) – u×f’(u).

  • Par conséquent, l’équation de la tangente est telle que :   g(x) = x×f’(u) + (f(u) – u×f’(u)).

———————-

Application pour f(x) = x² – x – 1.  

La dérivée est f’(x) = 2x – 1.

On choisit le point P qui correspond à la racine positive de l’équation f(x). Soit G le nombre d’or, puisque G = (1 + √5)/2 est la racine positive de l’égalité x²-x-1=0. Les coordonnées de P sont donc (G ; 0), là où la courbe f(x) coupe l’axe des abscisses.

En calculant la tangente passant par ce point P, je trouve g(x) = x√5 – (G+2).

Maintenant, si je veux m’amuser encore, je définis aussi la tangente h(x) qui passe par le point Q qui passe exactement sur l’axe des abscisses, à une valeur de x qui correspond à la racine négative de x²-x-1=0. Le point Q a pour coordonnées (1-G ; 0).

Je trouve donc h(x) = (1 – 2G)x – (1 – G)(2(1-G) – 1).

Je peux m’amuser à trouver les coordonnées du point T où les deux tangentes g(x) et h(x) font intersection.   Je pose g(x) = h(x).

Point T :   x = 1/2    et   y = -5/2

© 2012 John Philip C. Manson

About these ads